Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC , o ramionach AC i BC , leży wewnątrz tego trójkąta. Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zadanie jest najprostsze do udowodnienia w momencie, gdy dorysujemy sobie odcinek pomocniczy CS. Powstaną nam w tym momencie dwa trójkąty ASC oraz SBC, o których wiemy że są równoramienne i przystające. Skąd to wiemy? Ramiona tych dwóch trójkątów mają długość równą promieniowi koła, więc z tego faktu możemy wysnuć wniosek, że są to trójkąty równoramienne. O tym, że są przystające wiemy dzięki temu, że w treści zadania podano nam informację, że boki AC oraz BC są równej miary - czyli obydwa te trójkąty mają ramiona równej długości i mają tą samą długość podstawy.
To z kolei pozwoli nam wysnuć wniosek, że jeżeli kąt SBC oznaczymy jako α, to także kąty SCB, SAC oraz SCA będą miały miarę równą α (wiemy to, bo kąty równoramienne mają identyczne miary kątów przy swojej podstawie). Wszystkie ewentualne wątpliwości rozwieje poniższy rysunek.
Krok 2. Wyznaczenie miary kątów ASC oraz BSC.
Skoro już ustaliliśmy, że trójkąty ASC oraz SBC mają po dwa kąty o mierze równej α, to i trzeci kąt jesteśmy w stanie obliczyć i będzie to 180°-2α. W związku z tym:
|∢ASC|=180°-2α |∢BSC|=180°-2α
Krok 3. Wyznaczenie miary kąta ASB.
Znając miary kątów wyliczone w drugim kroku możemy teraz obliczyć miarę kąta ASB:
|∢ASB|=360°-|∢ASC|-|∢BSC| |∢ASB|=360°-(180°-2α)-(180°-2α) |∢ASB|=360°-180°+2α-180°+2α |∢ASB|=4α
W ten oto sposób udowodniliśmy, że miara kąta ASB jest czterokrotnie większa od miary kąta SBC.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.