Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30° . Pole kwadratu DEFG , wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4 . Oblicz pole trójkąta ACB .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=4+19√(3)/6
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństw trójkątów.
Rozpatrzmy sobie trzy małe trójkąty: DAE, CDG oraz GFB.
- każdy z nich jest prostokątny, co do tego nie mamy chyba wątpliwości.
- skoro |∢DAE|=30° to |∢EDA|=60° (bo suma kątów w trójkącie DAE musi być równa 180°).
- skoro |∢EDA|=60° oraz |∢GDE|=90°, to z kątów przyległych widzimy że |∢CDG|=30°.
- skoro |∢CDG|=30° to |∢CGD|=60° (bo suma kątów w trójkącie CDG musi być równa 180°).
- skoro |∢CGD|=60° oraz |∢FGD|=90°, to z kątów przyległych widzimy że |∢BGF|=30°.
- skoro |∢BGF|=30° to |∢GBF|=60° (bo suma kątów w trójkącie GFB musi być równa 180°).
Wszystkie te trójkąty mają więc miary kątów równe 30°, 60°, 90°.
Dodatkowo każdy z tych trójkątów ma długość jednego z boków równą 2, bo skoro pole kwadratu jest równe 4, to:
|GD|=|DE|=|FE|=|GF|=2
Krok 2. Obliczenie długości odcinków DA, GC, CD oraz BG.
Wszystkie te długości możemy obliczyć albo wykorzystując cechy trójkątów 30°, 60°, 90°, albo wykorzystując funkcje trygonometryczne.
a) Obliczenie długości |DA|
|DE|/|DA|=sin30° 2/|DA|=1/2 2=1/2 · |DA| |DA|=4
b) Obliczenie długości |GC|
|GC|/|GD|=sin30° |GC|/2=1/2 |GC|=1
c) Obliczenie długości |CD|
|CD|/|GD|=cos30° |CD|/2=√(3)/2 |CD|=√(3)
d) Obliczenie długości |BG|
|GF|/|BG|=cos30° 2/|BG|=√(3)/2 2=√(3)/2 · |BG| |BG|=2/(√(3)/2) |BG|=4/√(3)=4 · √(3)/(√(3) · √(3))=4√(3)/3
Krok 3. Obliczenie pola trójkąta ABC.
a=|CD|+|DA|=√(3)+4 h=|BG|+|GC|=4√(3)/3+1
Podstawiając poszczególne długości boków możemy teraz wyliczyć pole naszego trójkąta.
P=1/2 a · h P=1/2 · (√(3)+4) · (4√(3)/3+1) P=(√(3)/2+2) · (4√(3)/3+1) P=4√(3) · √(3)/6+√(3)/2+8√(3)/3+2 P=12/6+√(3)/2+8√(3)/3+2 P=2+3√(3)/6+16√(3)/6+2 P=4+19√(3)/6
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.