Przejdź do treści

Matura maj 2015 matematyka - zadania z arkusza i przykładowe rozwiązanie

Arkusz matury z matematyki, maj 2015 - zadania do rozwiązania w aplikacji i jedno przykładowe rozwiązanie krok po kroku. Rozkład kategorii arkusza.

·9 min czytania

O arkuszu - Matura maj 2015

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2015 to arkusz o szczególnym znaczeniu historycznym. Był to pierwszy rok Formuły 2015 - CKE dopiero ustalało trudność i styl pytań. Efekt? Arkusz jest solidny, zbalansowany i świetnie nadaje się jako materiał treningowy, bo zadania testują szeroki przekrój wiedzy bez sztucznych pułapek.

Arkusz w Formule 2015 (matura 2015-2022) na poziomie podstawowym był wart 50 punktów, a czas na jego rozwiązanie to 170 minut. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów. W naszej bazie znajdziesz 34 zadania z tego arkusza, sumujące się dokładnie do tych 50 punktów.

Jeśli chcesz porównać ten arkusz z kolejnymi latami, sprawdź maturę z maja 2016 - zobaczysz, jak CKE stopniowo doprecyzowywało nową formułę. Pełna lista arkuszy z lat 2010-2025 czeka w kompletnej bazie arkuszy CKE.

Numery zadań i podział na zadania zamknięte i otwarte w tym artykule pochodzą z naszej bazy i są takie same jak na stronach zadań w aplikacji; mogą różnić się od oficjalnego arkusza CKE.

Rozkład kategorii w arkuszu

KategoriaLiczba zadańPunkty
Równania i nierówności68
Geometria analityczna68
Stereometria47
Ciągi37
Prawdopodobieństwo25
Funkcja kwadratowa23
Funkcja liniowa22
Planimetria22
Wyrażenia algebraiczne12
Logarytmy11
Procenty11
Potęgi i pierwiastki11
Układy równań11
Funkcje11
Trygonometria11

Zdecydowanymi liderami są w naszej bazie równania i nierówności i geometria analityczna - po 6 zadań za 8 punktów każda. To więcej niż w wielu kolejnych rocznikach i jasny sygnał od CKE, że oba te działy są fundamentem egzaminu.

Stereometria pojawia się w klasycznym schemacie: 4 zadania za 7 punktów, w tym graniastosłup za 4 punkty - najwyżej punktowane zadanie w tej kategorii. Ciągi też ważą dużo - 3 zadania za 7 punktów, w tym zadanie 34, najwyżej punktowane zadanie całego arkusza za 5 punktów.

Rozwiązania krok po kroku

Zadanie 26 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2015Zadanie 26Równania i nierówności2 pktOtwarte
Rozwiąż nierówność 2x2−4x>(x+3)(x−2)2x^2-4x\gt (x+3)(x-2).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

  1. Krok 1

    Rozwijamy prawą stronę:

    (x+3)(x−2)=x2+x−6(x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6
  2. Krok 2

    Przenosimy wszystko na lewą stronę

    nierówności:

    2x2−4x−(x2+x−6)>02x^2 - 4x - (x^2 + x - 6) > 02x2−4x−x2−x+6>02x^2 - 4x - x^2 - x + 6 > 0x2−5x+6>0x^2 - 5x + 6 > 0
  3. Krok 3

    Rozkładamy na czynniki

    Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi −5-5, a iloczyn 66. To −2-2 i −3-3:

    (x−2)(x−3)>0(x - 2)(x - 3) > 0
  4. Krok 4

    Rozwiązujemy nierówność iloczynową

    Miejsca zerowe: x=2x = 2 i x=3x = 3. Parabola y=x2−5x+6y = x^2 - 5x + 6 ma ramiona skierowane do góry (a=1>0a = 1 > 0), więc jest dodatnia na zewnątrz pierwiastków:

    x∈(−∞,2)∪(3,+∞)x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)
Odpowiedź:

x∈(−∞,2)∪(3,+∞)x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)

Schemat oceniania CKE wymaga jasnego pokazania każdego kroku: rozwinięcia prawej strony, przeniesienia na jedną stronę, rozkładu na czynniki i prawidłowego odczytania rozwiązania. Pominięcie któregokolwiek etapu kosztuje punkt. Narysowanie szkicu paraboli to dodatkowe zabezpieczenie - egzaminator od razu widzi, że rozumiesz, co robisz.

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Pozostałe zadania arkusza

Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie.

Logarytmy (zadanie 2)

Tylko dwie z trzech wielkości w tym zadaniu są logarytmami - trzecia to zwykła liczba wymierna. Wskazówka: zapisz podstawy obu logarytmów jako potęgi o wykładniku ujemnym (14=4−1\frac{1}{4}=4^{-1}, 13=3−1\frac{1}{3}=3^{-1}), żeby policzyć je wprost z definicji.

Matura maj 2015Zadanie 2Logarytmy1 pkt
Dane są liczby a=−127a=-\frac{1}{27}, b=log⁡1464b=\log_{\frac{1}{4}}64, c=log⁡1327c=\log_{\frac{1}{3}}27. Iloczyn abcabc jest równy
  • A. 33
  • B. 13\frac{1}{3}
  • C. −13-\frac{1}{3}
  • D. −9-9
Losuj kolejne zadanie z działu Logarytmy
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Zaczynamy od obliczenia każdej liczby osobno. Kluczowe to sprowadzenie logarytmów do potęg o wspólnej podstawie.

Liczba aa jest już podana: a=−127a = -\frac{1}{27}.

Obliczamy b=log⁡1464b = \log_{\frac{1}{4}}64. Szukamy, do jakiej potęgi podnieść 14\frac{1}{4}, żeby dostać 6464:

(14)b=64\left(\frac{1}{4}\right)^b = 64 4−b=434^{-b} = 4^3

bo 64=4364 = 4^3. Stąd −b=3-b = 3, czyli b=−3b = -3.

Obliczamy c=log⁡1327c = \log_{\frac{1}{3}}27. Analogicznie:

(13)c=27\left(\frac{1}{3}\right)^c = 27 3−c=333^{-c} = 3^3

bo 27=3327 = 3^3. Stąd −c=3-c = 3, czyli c=−3c = -3.

Teraz mnożymy:

a⋅b⋅c=(−127)⋅(−3)⋅(−3)=(−127)⋅9=−927=−13a \cdot b \cdot c = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot (-3) \cdot (-3) = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot 9 = -\frac{9}{27} = -\frac{1}{3}

Odpowiedź: a⋅b⋅c=−13a \cdot b \cdot c = -\frac{1}{3}

Zwróć uwagę na znaki! Trzy liczby ujemne dają iloczyn ujemny (minus razy minus to plus, ale plus razy minus to znowu minus). Najczęstszy błąd: pomylenie znaku logarytmu, gdy podstawa jest ułamkiem. Pamiętaj - logarytm z liczby większej niż 1 przy podstawie mniejszej niż 1 jest zawsze ujemny.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Potęgi i pierwiastki (zadanie 4)

Aby wyznaczyć niewiadomą, obie strony równania mnożymy przez sam mianownik z lewej strony - po prawej stronie powstaje wtedy różnica kwadratów. Wskazówka: skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 zamiast mnożyć nawiasy wprost.

Matura maj 2015Zadanie 4Potęgi i pierwiastki1 pkt
Równość m5−5=5+55\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5} zachodzi dla
  • A. m=−5m=-5
  • B. m=1m=1
  • C. m=4m=4
  • D. m=5m=5
Losuj kolejne zadanie z działu Potęgi i pierwiastki
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Mnożymy na krzyż (iloczyn skrajnych równa się iloczynowi środkowych):

5m=(5−5)(5+5)5m = (5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})

Po prawej stronie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia (a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2:

(5−5)(5+5)=25−(5)2=25−5=20(5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 25 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20

Stąd:

5m=205m = 20 m=4m = 4

Odpowiedź: m=4m = 4

Piękne zadanie na wzór skróconego mnożenia - różnicę kwadratów. Klucz to zauważenie, że 5−55 - \sqrt{5} i 5+55 + \sqrt{5} to wyrażenia sprzężone. Ich iloczyn zawsze daje "czyste" wyrażenie wymierne, bez pierwiastków. To ten sam schemat, którego używasz przy usuwaniu niewymierności z mianownika. Więcej ćwiczeń na stronie potęg i pierwiastków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Ciągi (zadanie 13)

Zależność między czwartym a pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego prowadzi wprost do równania trzeciego stopnia na iloraz qq. Wskazówka: skorzystaj ze wzoru an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}, żeby zapisać czwarty wyraz przez pierwszy i iloraz, a potem uprość otrzymane równanie.

Matura maj 2015Zadanie 13Ciągi1 pkt
W rosnącym ciągu geometrycznym (an)(a_n), określonym dla n≥1n\ge 1, spełniony jest warunek a4=3a1a_4=3a_1. Iloraz qq tego ciągu jest równy
  • A. q=133q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}
  • B. q=13q=\frac{1}{3}
  • C. q=3q=3
  • D. q=33q=\sqrt[3]{3}
Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na nn-ty wyraz ciągu geometrycznego: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}.

Zapisujemy warunek z treści:

a4=3a1a_4 = 3a_1 a1⋅q3=3a1a_1 \cdot q^3 = 3a_1

Ponieważ a1≠0a_1 \neq 0 (ciąg geometryczny), dzielimy obie strony przez a1a_1:

q3=3q^3 = 3 q=33q = \sqrt[3]{3}

Sprawdzenie: 33≈1,44>1\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44 > 1, więc ciąg jest rosnący (dla a1>0a_1 > 0) ✓\checkmark

Odpowiedź: q=33q = \sqrt[3]{3}

Zadanie proste, jeśli znasz wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego. Kluczowe to pamiętać, że a4=a1⋅q3a_4 = a_1 \cdot q^3 (potęga to n−1=4−1=3n - 1 = 4 - 1 = 3, nie 44). Warunek "ciąg rosnący" gwarantuje, że q>1q > 1, więc nie musimy rozpatrywać ujemnych pierwiastków sześciennych.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Stereometria (zadanie 22)

Przekrój osiowy stożka będący trójkątem równobocznym od razu daje promień podstawy i wysokość stożka. Wskazówka: wysokość trójkąta równobocznego o boku aa to a32\frac{a\sqrt{3}}{2} - to również wysokość stożka.

Matura maj 2015Zadanie 22Stereometria1 pkt
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości 66. Objętość tego stożka jest równa
  • A. 6π6\pi
  • B. 18π18\pi
  • C. 9π39\pi\sqrt{3}
  • D. 27π327\pi\sqrt{3}
Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy stożka to trójkąt, którego podstawa to średnica podstawy, a boki to tworzące stożka. Skoro ten trójkąt jest równoboczny o boku 6, to:

  • •Średnica podstawy = 6, więc promień r=3r = 3
  • •Tworząca stożka l=6l = 6 (boki trójkąta równobocznego)

Obliczamy wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt prostokątny: hh, rr, ll):

h=l2−r2=36−9=27=33h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

Objętość stożka:

V=13πr2h=13π⋅9⋅33=9π3V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}

Odpowiedź: V=9π3V = 9\pi\sqrt{3}

Najczęstszy błąd: pomylenie boku trójkąta ze średnicą lub promieniem. Przekrój osiowy stożka to zawsze trójkąt, którego podstawa to średnica (nie promień!). Dlatego bok 6 oznacza promień 3. Przeczytaj nasz przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Równania i nierówności (zadanie 27)

Dowody nierówności dla dowolnych liczb rzeczywistych najczęściej sprowadzają się do zapisania wyrażenia jako sumy kwadratów. Wskazówka: spróbuj wydzielić pełny kwadrat z wyrazów zawierających xx.

Matura maj 2015Zadanie 27Równania i nierówności2 pktOtwarte
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej xx i dla każdej liczby rzeczywistej yy prawdziwa jest nierówność 4x2−8xy+5y2≥04x^2-8xy+5y^2\ge 0.
Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wyrazy z xx dopełniamy do pełnego kwadratu: (2x−2y)2=4x2−8xy+4y2(2x - 2y)^2 = 4x^2 - 8xy + 4y^2, więc z 5y25y^2 zużywamy 4y24y^2, a zostaje y2y^2:

4x2−8xy+5y2=(2x−2y)2+y24x^2 - 8xy + 5y^2 = (2x - 2y)^2 + y^2

Kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny i suma liczb nieujemnych też nie jest, więc dla każdych rzeczywistych xx i yy prawa strona jest nieujemna:

4x2−8xy+5y2≥0□4x^2 - 8xy + 5y^2 \ge 0 \quad \square

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Stereometria (zadanie 32)

Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, a podany cosinus kąta nachylenia wiąże w nim przekątną podstawy z przekątną bryły. Wskazówka: z jedynki trygonometrycznej wyznacz sinus tego samego kąta - to on łączy daną wysokość z przekątną bryły, a przekątna kwadratu o boku aa ma długość a2a\sqrt{2}.

Matura maj 2015Zadanie 32Stereometria4 pktOtwarte
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 1616. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 35\frac{3}{5}. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Niech aa to krawędź podstawy, dd przekątna bryły, α\alpha kąt jej nachylenia do podstawy. Wysokość, przekątna podstawy i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny, w którym α\alpha leży przy przekątnej podstawy.

Z jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego:

sin⁡α=1−(35)2=1625=45\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

Sinus wiąże daną wysokość z przekątną bryły, a cosinus tę przekątną z przekątną podstawy:

d=16:45=20,a2=dcos⁡α=20⋅35=12d = 16 : \frac{4}{5} = 20, \qquad a\sqrt{2} = d\cos\alpha = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12

Stąd a=62a = 6\sqrt{2}, a pole podstawy to a2=72a^2 = 72. Pole boczne to obwód podstawy razy wysokość:

Pc=2⋅72+4⋅62⋅16=144+3842P_c = 2 \cdot 72 + 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 144 + 384\sqrt{2}

Odpowiedź: Pc=144+3842P_c = 144 + 384\sqrt{2}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Ciągi (zadanie 34)

To najwyżej punktowane zadanie arkusza - łączy wzór na sumę ciągu arytmetycznego z warunkiem geometrycznym na wybrane wyrazy. Wskazówka: zacznij od wzoru na sumę n początkowych wyrazów, żeby wyznaczyć pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

Matura maj 2015Zadanie 34Ciągi5 pktOtwarte
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an)(a_n), określonym dla n≥1n\ge 1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 1212. Wyrazy a1,a3,aka_1, a_3, a_k ciągu (an)(a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn)(b_n). Oblicz kk.
Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Niech a1a_1 to pierwszy wyraz, a rr różnica ciągu. Ze wzoru na sumę:

S11=2a1+10r2⋅11=187⇒a1+5r=17S_{11} = \frac{2a_1 + 10r}{2} \cdot 11 = 187 \Rightarrow a_1 + 5r = 17

Ze średniej arytmetycznej trzech wskazanych wyrazów:

a1+a3+a93=12⇒3a1+10r=36\frac{a_1 + a_3 + a_9}{3} = 12 \Rightarrow 3a_1 + 10r = 36

Podstawiamy a1=17−5ra_1 = 17 - 5r i dostajemy 51−5r=3651 - 5r = 36, więc r=3r = 3, a1=2a_1 = 2 oraz a3=a1+2r=8a_3 = a_1 + 2r = 8. W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych:

a32=a1⋅ak⇒64=2ak⇒ak=32a_3^2 = a_1 \cdot a_k \Rightarrow 64 = 2a_k \Rightarrow a_k = 32 ak=a1+(k−1)r=2+3(k−1)=32⇒k=11a_k = a_1 + (k - 1)r = 2 + 3(k - 1) = 32 \Rightarrow k = 11

Odpowiedź: k=11k = 11

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

W naszej bazie znajdziesz 34 zadania z tego arkusza z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte:

Zadania otwarte:

Kluczowe wnioski z matury maj 2015

  1. 1.Równania i nierówności i geometria analityczna rządzą równo. Po 6 zadań za 8 punktów każda - to więcej niż w większości roczników. CKE od samego początku nowej formuły jasno komunikowało: algebra i geometria analityczna to fundament. Ćwicz równania i nierówności do skutku.
  1. 2.Geometria analityczna mocno reprezentowana. 6 zadań za 8 punktów to dużo. Proste, odcinki, współrzędne - te tematy CKE traktuje poważnie od 2015 roku. Ćwicz geometrię analityczną
  1. 3.Stereometria za duże punkty. 4 zadania za 7 punktów (w tym graniastosłup za 4 pkt). Kto opanuje bryły, ma ogromną przewagę nad resztą zdających. Ćwicz stereometrię
  1. 4.Ciągi - mało zadań, dużo punktów. 3 zadania za łącznie 7 punktów, w tym najwyżej punktowane zadanie arkusza za 5 pkt. Ciągi arytmetyczne i geometryczne to obowiązkowy temat. Ćwicz ciągi
  1. 5.Wzory skróconego mnożenia wszędzie. Pojawiają się w zadaniu z potęgami (zad. 4) i w dowodzie nierówności (zad. 27). To nie przypadek - wzory skróconego mnożenia to fundament, który pozwala rozwiązywać zadania szybciej i pewniej.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Tydzień 1 - Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych. Daj sobie 170 minut, wyłącz telefon - kalkulator prosty możesz zostawić przy sobie, tak jak na prawdziwym egzaminie. Nie zaglądaj do rozwiązań. Zapisz swoje odpowiedzi i porównaj z kluczem. Zanotuj każde zadanie, przy którym się wahałeś lub nie wiedziałeś, jak zacząć.

Tydzień 2 - Przeanalizuj błędy systematycznie. Dla każdego błędnego zadania określ przyczynę: brak wiedzy (nie znasz wzoru), brak umiejętności (znasz wzór, ale nie umiesz go zastosować) czy błąd rachunkowy (wiesz co robić, ale się pomyliłeś). Wróć do odpowiedniego tematu:

Tydzień 3 - Rozwiąż ponownie i porównaj. Rozwiąż ten sam arkusz jeszcze raz - tym razem powinno pójść szybciej i pewniej. Gdy wynik przekroczy 80%, przejdź do matury z maja 2016. Możesz też potrenować na symulatorze matury, który losowo składa arkusze z prawdziwych zadań CKE.

Przygotowujesz się do matury? Na Sprawnej Maturze mamy ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować losowego zadania, żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Powiązane artykuły

Arkusz maturalny

Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Kompletne rozwiązania wybranych zadań z matury z matematyki, maj 2014. Pierwszy arkusz w nowej formule CKE - analiza, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania krok po kroku.

Arkusz maturalny

Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Kompletne rozwiązania wszystkich 34 zadań z matury z matematyki, sesja dodatkowa czerwiec 2013. Nietypowy rozkład z dominacją geometrii analitycznej i liczbami rzeczywistymi.

Arkusz maturalny

Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Kompletne rozwiązania wszystkich 34 zadań z matury z matematyki, maj 2016. Rozkład kategorii, analiza trudności i rozwiązania wybranych zadań krok po kroku z objaśnieniami.