Matura maj 2015 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2015

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2015 to arkusz o szczególnym znaczeniu historycznym. Był to drugi rok nowej formuły egzaminu - CKE dopiero ustalało trudność i styl pytań. Efekt? Arkusz jest solidny, zbalansowany i świetnie nadaje się jako materiał treningowy, bo zadania testują szeroki przekrój wiedzy bez sztucznych pułapek.

Arkusz składał się z 34 zadań: 25 zamkniętych (po 1 punkcie) i 9 otwartych (za 2-5 punktów), łącznie 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów. Średnia zdawalność w 2015 roku utrzymała się na przyzwoitym poziomie - większość uczniów radziła sobie z zadaniami zamkniętymi, a trudność narastała dopiero w części otwartej.

Jeśli chcesz porównać ten arkusz z kolejnymi latami, sprawdź maturę z maja 2016 - zobaczysz, jak CKE stopniowo doprecyzowywało nową formułę. Pełna lista arkuszy z lat 2010-2025 czeka w kompletnej bazie arkuszy CKE.

Rozkład kategorii w arkuszu

Zdecydowanym liderem są równania i nierówności - aż 5 zadań za 7 punktów. To więcej niż w kolejnych rocznikach i jasny sygnał od CKE, że algebra jest fundamentem egzaminu. Na drugim miejscu geometria analityczna z 4 zadaniami za 6 punktów - proporcjonalnie dużo jak na ten dział.

Stereometria pojawia się w klasycznym schemacie: tylko 3 zadania, ale za aż 6 punktów. Kto opanował bryły, mógł zgarnąć pokaźny bonus. Ciągi też ważą dużo - 2 zadania, ale jedno z nich (zadanie 34) to najtrudniejsze zadanie arkusza za 5 punktów.

Poziom trudności

Arkusz z maja 2015 miał łagodne otwarcie i stopniowo rosnącą trudność. Zadania zamknięte nie powinny sprawić problemów nikomu, kto regularnie ćwiczy. Prawdziwy test zaczynał się od zadań otwartych za 4-5 punktów.

Łatwe (ok. 15 punktów) - podstawowe operacje na potęgach, logarytm z definicji, procenty, odczytywanie wykresu, proste zadania z geometrii analitycznej. To absolutne minimum do zdania matury. Jeśli masz tu braki, zacznij od potęg i pierwiastków i logarytmów.

Średnie (ok. 20 punktów) - nierówności kwadratowe, ciąg geometryczny, stożek z przekrojem osiowym, równanie prostej w geometrii analitycznej, dowód algebraiczny. Tu potrzebujesz solidnego opanowania wzorów i umiejętności przekształceń. Przeczytaj jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze, żeby maksymalizować punkty cząstkowe.

Trudne (ok. 15 punktów) - graniastosłup prawidłowy czworokątny za 4 punkty, ciąg arytmetyczny za 5 punktów, prawdopodobieństwo za 4 punkty. To zadania, które dzielą wynik 60% od 80%+. Ale nawet tutaj punkty cząstkowe są w zasięgu - sam prawidłowy rysunek i wyznaczenie podstawowych wielkości dają 1-2 punkty.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 2 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Dane są trzy liczby: $a = -\frac{1}{27}$, $b = \log_{\frac{1}{4}}64$, $c = \log_{\frac{1}{3}}27$. Iloczyn $a \cdot b \cdot c$ jest równy

Rozwiązanie:

Zaczynamy od obliczenia każdej liczby osobno. Kluczowe to sprowadzenie logarytmów do potęg o wspólnej podstawie.

Liczba $a$ jest już podana: $a = -\frac{1}{27}$.

Obliczamy $b = \log_{\frac{1}{4}}64$. Szukamy, do jakiej potęgi podnieść $\frac{1}{4}$, żeby dostać $64$:

$$\left(\frac{1}{4}\right)^b = 64$$ $$4^{-b} = 4^3$$

bo $64 = 4^3$. Stąd $-b = 3$, czyli $b = -3$.

Obliczamy $c = \log_{\frac{1}{3}}27$. Analogicznie:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^c = 27$$ $$3^{-c} = 3^3$$

bo $27 = 3^3$. Stąd $-c = 3$, czyli $c = -3$.

Teraz mnożymy:

$$a \cdot b \cdot c = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot (-3) \cdot (-3) = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot 9 = -\frac{9}{27} = -\frac{1}{3}$$

Odpowiedź: $a \cdot b \cdot c = -\frac{1}{3}$

Zwróć uwagę na znaki! Trzy liczby ujemne dają iloczyn ujemny (minus razy minus to plus, ale plus razy minus to znowu minus). Najczęstszy błąd: pomylenie znaku logarytmu, gdy podstawa jest ułamkiem. Pamiętaj - logarytm z liczby większej niż 1 przy podstawie mniejszej niż 1 jest zawsze ujemny.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 4 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Jeżeli $\frac{m}{5 - \sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5}}{5}$, to $m$ jest równe

Rozwiązanie:

Mnożymy na krzyż (iloczyn skrajnych równa się iloczynowi środkowych):

$$5m = (5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})$$

Po prawej stronie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$$(5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 25 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20$$

Stąd:

$$5m = 20$$ $$m = 4$$

Odpowiedź: $m = 4$

Piękne zadanie na wzór skróconego mnożenia - różnicę kwadratów. Klucz to zauważenie, że $5 - \sqrt{5}$ i $5 + \sqrt{5}$ to wyrażenia sprzężone. Ich iloczyn zawsze daje "czyste" wyrażenie wymierne, bez pierwiastków. To ten sam schemat, którego używasz przy usuwaniu niewymierności z mianownika. Więcej ćwiczeń na stronie potęg i pierwiastków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 13 - Ciąg geometryczny (1 pkt) ↗

Treść: Rosnący ciąg geometryczny $(a_n)$ spełnia warunek $a_4 = 3a_1$. Iloraz tego ciągu jest równy

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.

Zapisujemy warunek z treści:

$$a_4 = 3a_1$$ $$a_1 \cdot q^3 = 3a_1$$

Ponieważ $a_1 \neq 0$ (ciąg geometryczny), dzielimy obie strony przez $a_1$:

$$q^3 = 3$$ $$q = \sqrt[3]{3}$$

Sprawdzenie: $\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44 > 1$, więc ciąg jest rosnący (dla $a_1 > 0$) $\checkmark$

Odpowiedź: $q = \sqrt[3]{3}$

Zadanie proste, jeśli znasz wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego. Kluczowe to pamiętać, że $a_4 = a_1 \cdot q^3$ (potęga to $n - 1 = 4 - 1 = 3$, nie $4$). Warunek "ciąg rosnący" gwarantuje, że $q > 1$, więc nie musimy rozpatrywać ujemnych pierwiastków sześciennych.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 22 - Stożek, stereometria (1 pkt) ↗

Treść: Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 6. Objętość tego stożka jest równa

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy stożka to trójkąt, którego podstawa to średnica podstawy, a boki to tworzące stożka. Skoro ten trójkąt jest równoboczny o boku 6, to:

Obliczamy wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt prostokątny: $h$, $r$, $l$):

$$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$

Objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}$$

Odpowiedź: $V = 9\pi\sqrt{3}$

Najczęstszy błąd: pomylenie boku trójkąta ze średnicą lub promieniem. Przekrój osiowy stożka to zawsze trójkąt, którego podstawa to średnica (nie promień!). Dlatego bok 6 oznacza promień 3. Przeczytaj nasz przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 26 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $2x^2 - 4x > (x + 3)(x - 2)$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Rozwijamy prawą stronę:

$$(x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6$$

Krok 2 - Przenosimy wszystko na lewą stronę nierówności:

$$2x^2 - 4x - (x^2 + x - 6) > 0$$ $$2x^2 - 4x - x^2 - x + 6 > 0$$ $$x^2 - 5x + 6 > 0$$

Krok 3 - Rozkładamy na czynniki. Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi $-5$, a iloczyn $6$. To $-2$ i $-3$:

$$(x - 2)(x - 3) > 0$$

Krok 4 - Rozwiązujemy nierówność iloczynową. Miejsca zerowe: $x = 2$ i $x = 3$. Parabola $y = x^2 - 5x + 6$ ma ramiona skierowane do góry ($a = 1 > 0$), więc jest dodatnia na zewnątrz pierwiastków:

$$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$$

Odpowiedź: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$

Schemat oceniania CKE wymaga jasnego pokazania każdego kroku: rozwinięcia prawej strony, przeniesienia na jedną stronę, rozkładu na czynniki i prawidłowego odczytania rozwiązania. Pominięcie któregokolwiek etapu kosztuje punkt. Narysowanie szkicu paraboli to dodatkowe zabezpieczenie - egzaminator od razu widzi, że rozumiesz, co robisz.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 27 - Dowód algebraiczny (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ prawdziwa jest nierówność $x^2 + y^2 \geq 2xy$

Rozwiązanie:

To klasyczny dowód algebraiczny. Zamiast zaczynać od nierówności, którą chcemy udowodnić, wykonujemy równoważne przekształcenia:

Krok 1 - Przenosimy prawą stronę na lewą:

$$x^2 + y^2 - 2xy \geq 0$$

Krok 2 - Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:

$$(x - y)^2 \geq 0$$

Krok 3 - Uzasadnienie. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc $(x - y)^2 \geq 0$ dla każdych $x, y \in \mathbb{R}$.

Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne, wyjściowa nierówność $x^2 + y^2 \geq 2xy$ jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$. $\square$

Równość zachodzi, gdy $x = y$.

To jeden z najważniejszych schematów dowodowych na maturze. Ilekroć widzisz "wykaż nierówność" z $x^2$, $y^2$ i $2xy$ - od razu myśl o wzorach skróconego mnożenia. Nierówność $(a - b)^2 \geq 0$ to fundament - jest zawsze prawdziwa i służy jako "punkt docelowy" wielu dowodów.

Pułapka: Nie wolno zacząć od tego, co chcesz udowodnić, i "dojść" do prawdy. Musisz albo przekształcać równoważnie, albo zacząć od oczywistej prawdy i dojść do tezy. CKE akceptuje oba kierunki, o ile jasno zaznaczysz, że każdy krok to równoważność.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 32 - Graniastosłup prawidłowy czworokątny (otwarte, 4 pkt) ↗

Treść: Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma wysokość $h = 16$. Przekątna graniastosłupa tworzy z przekątną podstawy kąt $30°$. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Rysunek i oznaczenia. Graniastosłup prawidłowy czworokątny to taki, którego podstawą jest kwadrat o boku $a$, a krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Wysokość: $H = 16$. Oznaczmy przekątną podstawy jako $d$ i przekątną graniastosłupa jako $D$.

Krok 2 - Przekątna podstawy. Podstawa to kwadrat o boku $a$, więc:

$$d = a\sqrt{2}$$

Krok 3 - Związek między przekątnymi. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny (kąt prosty przy wysokości). Kąt między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy wynosi $30°$.

Z definicji tangensa:

$$\tg 30° = \frac{H}{d} = \frac{16}{a\sqrt{2}}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{16}{a\sqrt{2}}$$ $$a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 16$$ $$a = \frac{16 \cdot 3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{6}} = \frac{48\sqrt{6}}{6} = 8\sqrt{6}$$

Krok 4 - Objętość:

$$V = a^2 \cdot H = (8\sqrt{6})^2 \cdot 16 = 384 \cdot 16 = 6144$$

Krok 5 - Pole powierzchni całkowitej. Pole jednej podstawy:

$$P_p = a^2 = 384$$

Pole powierzchni bocznej (4 prostokąty $a \times H$):

$$P_b = 4 \cdot a \cdot H = 4 \cdot 8\sqrt{6} \cdot 16 = 512\sqrt{6}$$

Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 2P_p + P_b = 2 \cdot 384 + 512\sqrt{6} = 768 + 512\sqrt{6}$$

Odpowiedź: $V = 6144$, $P_c = 768 + 512\sqrt{6}$

To zadanie za 4 punkty testuje stereometrię w połączeniu z trygonometrią. Schemat oceniania CKE przyznaje punkty za: (1) prawidłowy rysunek z oznaczeniami, (2) wyznaczenie boku podstawy, (3) objętość, (4) pole powierzchni. Nawet jeśli pomylisz się w obliczeniu $a$, poprawny wzór na objętość i pole da ci punkty cząstkowe.

Najczęstsze błędy:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 34 - Ciąg arytmetyczny (otwarte, 5 pkt) ↗

Treść: Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ spełnia warunki: $S_{11} = 55$ i $a_1 \cdot a_{11} = 21$, gdzie $S_{11}$ to suma jedenastu początkowych wyrazów ciągu. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

Rozwiązanie:

To najtrudniejsze zadanie arkusza - za 5 punktów. Wymaga połączenia wzorów na sumę i wyrazy ciągu arytmetycznego.

Krok 1 - Korzystamy ze wzoru na sumę. Wzór na sumę $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n)}{2} \cdot n$$

Dla $n = 11$:

$$S_{11} = \frac{(a_1 + a_{11})}{2} \cdot 11 = 55$$ $$\frac{a_1 + a_{11}}{2} = 5$$ $$a_1 + a_{11} = 10$$

Krok 2 - Wyrażamy $a_{11}$ przez $a_1$ i $r$:

$$a_{11} = a_1 + 10r$$

Z kroku 1:

$$a_1 + a_1 + 10r = 10$$ $$2a_1 + 10r = 10$$ $$a_1 + 5r = 5$$ $$a_1 = 5 - 5r \quad (*)$$

Krok 3 - Korzystamy z drugiego warunku:

$$a_1 \cdot a_{11} = 21$$ $$a_1 \cdot (a_1 + 10r) = 21$$

Podstawiamy $(*): a_1 = 5 - 5r$ i $a_{11} = a_1 + 10r = 5 - 5r + 10r = 5 + 5r$:

$$(5 - 5r)(5 + 5r) = 21$$

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:

$$25 - 25r^2 = 21$$ $$25r^2 = 4$$ $$r^2 = \frac{4}{25}$$ $$r = \pm\frac{2}{5}$$

Krok 4 - Obliczamy $a_1$ dla obu przypadków:

Dla $r = \frac{2}{5}$: $a_1 = 5 - 5 \cdot \frac{2}{5} = 5 - 2 = 3$

Dla $r = -\frac{2}{5}$: $a_1 = 5 - 5 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = 5 + 2 = 7$

Sprawdzenie:

Dla $a_1 = 3$, $r = \frac{2}{5}$: $a_{11} = 3 + 10 \cdot \frac{2}{5} = 3 + 4 = 7$. Iloczyn: $3 \cdot 7 = 21$ $\checkmark$. Suma: $\frac{(3+7)}{2} \cdot 11 = 55$ $\checkmark$

Dla $a_1 = 7$, $r = -\frac{2}{5}$: $a_{11} = 7 + 10 \cdot (-\frac{2}{5}) = 7 - 4 = 3$. Iloczyn: $7 \cdot 3 = 21$ $\checkmark$. Suma: $\frac{(7+3)}{2} \cdot 11 = 55$ $\checkmark$

Odpowiedź: $a_1 = 3$, $r = \frac{2}{5}$ lub $a_1 = 7$, $r = -\frac{2}{5}$

To zadanie pięknie łączy dwa kluczowe wzory na ciąg arytmetyczny i prowadzi do równania kwadratowego. Największy trick to rozpoznanie wzoru $(5 - 5r)(5 + 5r) = 25 - 25r^2$ - dzięki niemu unikasz rozwijania nawiasów "na piechotę". Pamiętaj: w zadaniach za 5 punktów CKE oczekuje dwóch rozwiązań i sprawdzenia obu.

Schemat punktowania: (1) wyznaczenie $a_1 + a_{11}$, (2) wyrażenie $a_1$ przez $r$, (3) równanie kwadratowe na $r$, (4) obliczenie $r$, (5) obliczenie $a_1$ i sprawdzenie. Nawet bez końcowego wyniku, same kroki 1-3 dają 3 punkty.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury maj 2015

1. Równania i nierówności rządzą. 5 zadań za 7 punktów - to więcej niż w większości roczników. CKE od samego początku nowej formuły jasno komunikowało: algebra jest fundamentem. Ćwicz równania i nierówności do skutku.

2. Geometria analityczna mocno reprezentowana. 4 zadania za 6 punktów to dużo. Proste, odcinki, współrzędne - te tematy CKE traktuje poważnie od 2015 roku. Ćwicz geometrię analityczną

3. Stereometria za duże punkty. Tylko 3 zadania, ale za 6 punktów (w tym graniastosłup za 4 pkt). Kto opanuje bryły, ma ogromną przewagę nad resztą zdających. Ćwicz stereometrię

4. Ciągi - mało zadań, dużo punktów. 2 zadania za łącznie 6 punktów, w tym najtrudniejsze zadanie arkusza za 5 pkt. Ciągi arytmetyczne i geometryczne to obowiązkowy temat. Ćwicz ciągi

5. Wzory skróconego mnożenia wszędzie. Pojawiają się w zadaniu z potęgami (zad. 4), w dowodzie (zad. 27) i w ciągu arytmetycznym (zad. 34). To nie przypadek - wzory skróconego mnożenia to fundament, który pozwala rozwiązywać zadania szybciej i pewniej.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Tydzień 1 - Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych. Daj sobie 170 minut, wyłącz telefon, kalkulator odłóż (nie jest dozwolony na maturze podstawowej). Nie zaglądaj do rozwiązań. Zapisz swoje odpowiedzi i porównaj z kluczem. Zanotuj każde zadanie, przy którym się wahałeś lub nie wiedziałeś, jak zacząć.

Tydzień 2 - Przeanalizuj błędy systematycznie. Dla każdego błędnego zadania określ przyczynę: brak wiedzy (nie znasz wzoru), brak umiejętności (znasz wzór, ale nie umiesz go zastosować) czy błąd rachunkowy (wiesz co robić, ale się pomyliłeś). Wróć do odpowiedniego tematu:

Tydzień 3 - Rozwiąż ponownie i porównaj. Rozwiąż ten sam arkusz jeszcze raz - tym razem powinno pójść szybciej i pewniej. Gdy wynik przekroczy 80%, przejdź do matury z maja 2016. Możesz też potrenować na symulatorze matury, który losowo składa arkusze z prawdziwych zadań CKE.

Przygotowujesz się do matury? Na Sprawnej Maturze mamy ponad 2400 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować losowego zadania, żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii.