Matura maj 2015 - rozwiązania i zadania z arkusza CKE

O arkuszu - Matura maj 2015

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2015 to arkusz o szczególnym znaczeniu historycznym. Był to pierwszy rok Formuły 2015 - CKE dopiero ustalało trudność i styl pytań. Efekt? Arkusz jest solidny, zbalansowany i świetnie nadaje się jako materiał treningowy, bo zadania testują szeroki przekrój wiedzy bez sztucznych pułapek.

Arkusz w Formule 2015 (matura 2015-2022) na poziomie podstawowym był wart 50 punktów, a czas na jego rozwiązanie to 170 minut. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów. W naszej bazie znajdziesz 34 zadania z tego arkusza, sumujące się dokładnie do tych 50 punktów.

Jeśli chcesz porównać ten arkusz z kolejnymi latami, sprawdź maturę z maja 2016 - zobaczysz, jak CKE stopniowo doprecyzowywało nową formułę. Pełna lista arkuszy z lat 2010-2025 czeka w kompletnej bazie arkuszy CKE.

Numery zadań i podział na zadania zamknięte i otwarte w tym artykule pochodzą z naszej bazy i są takie same jak na stronach zadań w aplikacji; mogą różnić się od oficjalnego arkusza CKE.

Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2015

Rozkład kategorii w arkuszu

Kategoria	Liczba zadań	Punkty
Równania i nierówności	6	8
Geometria analityczna	6	8
Stereometria	4	7
Ciągi	2	6
Prawdopodobieństwo	2	5
Funkcja kwadratowa	2	3
Funkcja liniowa	2	2
Planimetria	2	2
Wyrażenia algebraiczne	1	2
Logarytmy	1	1
Procenty	1	1
Potęgi i pierwiastki	1	1
Układy równań	1	1
Funkcje	1	1
Trygonometria	1	1
Statystyka	1	1

Zdecydowanymi liderami są w naszej bazie równania i nierówności i geometria analityczna - po 6 zadań za 8 punktów każda.

Stereometria pojawia się w klasycznym schemacie: 4 zadania za 7 punktów, w tym graniastosłup za 4 punkty - najwyżej punktowane zadanie w tej kategorii. Ciągi też ważą dużo - 2 zadania za 6 punktów, w tym zadanie 34, najwyżej punktowane zadanie całego arkusza za 5 punktów.

Rozwiązania krok po kroku

Zadanie 26 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2015Zadanie 26Równania i nierówności2 pktOtwarte

Rozwiąż nierówność

2x^2-4x\gt (x+3)(x-2)

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1
Rozwijamy prawą stronę:
$(x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6$
Krok 2
Przenosimy wszystko na lewą stronę
nierówności:
$2x^2 - 4x - (x^2 + x - 6) > 0$ $2x^2 - 4x - x^2 - x + 6 > 0$ $x^2 - 5x + 6 > 0$
Krok 3
Rozkładamy na czynniki
Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi $-5$ , a iloczyn $6$ . To $-2$ i $-3$ :
$(x - 2)(x - 3) > 0$
Krok 4
Rozwiązujemy nierówność iloczynową
Miejsca zerowe: $x = 2$ i $x = 3$ . Parabola $y = x^2 - 5x + 6$ ma ramiona skierowane do góry ( $a = 1 > 0$ ), więc jest dodatnia na zewnątrz pierwiastków:
$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$

Odpowiedź

$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$

Pokaż wszystkie przekształcenia: rozwinięcie prawej strony, przeniesienie na jedną stronę, miejsca zerowe i odczytanie zbioru rozwiązań. Egzaminator musi widzieć, skąd wzięły się pierwiastki 2 i 3. Szkic paraboli z zaznaczonymi miejscami zerowymi pomaga nie pomylić się przy odczytywaniu, gdzie wyrażenie jest dodatnie.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2015

Pozostałe zadania arkusza

Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie.

Logarytmy (zadanie 2)

Tylko dwie z trzech wielkości w tym zadaniu są logarytmami - trzecia to zwykła liczba wymierna. Wskazówka: zapisz podstawy obu logarytmów jako potęgi o wykładniku ujemnym ( $\frac{1}{4}=4^{-1}$ , $\frac{1}{3}=3^{-1}$ ), żeby policzyć je wprost z definicji.

Matura maj 2015Zadanie 2Logarytmy1 pkt

Dane są liczby

a=-\frac{1}{27}

b=\log_{\frac{1}{4}}64

c=\log_{\frac{1}{3}}27

. Iloczyn

abc

jest równy

A. $3$
B. $\frac{1}{3}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. $-9$

Losuj kolejne zadanie z działu Logarytmy

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Zaczynamy od obliczenia każdej liczby osobno. Kluczowe to sprowadzenie logarytmów do potęg o wspólnej podstawie.

Liczba $a$ jest już podana: $a = -\frac{1}{27}$ .

Obliczamy $b = \log_{\frac{1}{4}}64$ . Szukamy, do jakiej potęgi podnieść $\frac{1}{4}$ , żeby dostać $64$ :

\left(\frac{1}{4}\right)^b = 64

4^{-b} = 4^3

bo $64 = 4^3$ . Stąd $-b = 3$ , czyli $b = -3$ .

Obliczamy $c = \log_{\frac{1}{3}}27$ . Analogicznie:

\left(\frac{1}{3}\right)^c = 27

3^{-c} = 3^3

bo $27 = 3^3$ . Stąd $-c = 3$ , czyli $c = -3$ .

Teraz mnożymy:

a \cdot b \cdot c = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot (-3) \cdot (-3) = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot 9 = -\frac{9}{27} = -\frac{1}{3}

Odpowiedź: $a \cdot b \cdot c = -\frac{1}{3}$

Zwróć uwagę na znaki! Trzy liczby ujemne dają iloczyn ujemny (minus razy minus to plus, ale plus razy minus to znowu minus). Najczęstszy błąd: pomylenie znaku logarytmu, gdy podstawa jest ułamkiem. Pamiętaj - logarytm z liczby większej niż 1 przy podstawie mniejszej niż 1 jest zawsze ujemny.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Potęgi i pierwiastki (zadanie 4)

Aby wyznaczyć niewiadomą, obie strony równania mnożymy przez sam mianownik z lewej strony - po prawej stronie powstaje wtedy różnica kwadratów. Wskazówka: skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ zamiast mnożyć nawiasy wprost.

Matura maj 2015Zadanie 4Potęgi i pierwiastki1 pkt

Równość

\frac{m}{5-\sqrt{5}}=\frac{5+\sqrt{5}}{5}

zachodzi dla

A. $m=-5$
B. $m=1$
C. $m=4$
D. $m=5$

Losuj kolejne zadanie z działu Potęgi i pierwiastki

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Mnożymy na krzyż (iloczyn skrajnych równa się iloczynowi środkowych):

5m = (5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})

Po prawej stronie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ :

(5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 25 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20

Stąd:

5m = 20

m = 4

Odpowiedź: $m = 4$

Piękne zadanie na wzór skróconego mnożenia - różnicę kwadratów. Klucz to zauważenie, że $5 - \sqrt{5}$ i $5 + \sqrt{5}$ to wyrażenia sprzężone. Ich iloczyn zawsze daje "czyste" wyrażenie wymierne, bez pierwiastków. To ten sam schemat, którego używasz przy usuwaniu niewymierności z mianownika. Więcej ćwiczeń na stronie potęg i pierwiastków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Ciągi (zadanie 13)

Zależność między czwartym a pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego prowadzi wprost do równania trzeciego stopnia na iloraz $q$ . Wskazówka: skorzystaj ze wzoru $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ , żeby zapisać czwarty wyraz przez pierwszy i iloraz, a potem uprość otrzymane równanie.

Matura maj 2015Zadanie 13Ciągi1 pkt

W rosnącym ciągu geometrycznym

(a_n)

, określonym dla

n\ge 1

, spełniony jest warunek

a_4=3a_1

. Iloraz

q

tego ciągu jest równy

A. $q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$
B. $q=\frac{1}{3}$
C. $q=3$
D. $q=\sqrt[3]{3}$

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ .

Zapisujemy warunek z treści:

a_4 = 3a_1

a_1 \cdot q^3 = 3a_1

Ponieważ $a_1 \neq 0$ (ciąg geometryczny), dzielimy obie strony przez $a_1$ :

q^3 = 3

q = \sqrt[3]{3}

Sprawdzenie: $\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44 > 1$ , więc ciąg jest rosnący (dla $a_1 > 0$ ) $\checkmark$

Odpowiedź: $q = \sqrt[3]{3}$

Zadanie proste, jeśli znasz wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego. Kluczowe to pamiętać, że $a_4 = a_1 \cdot q^3$ (potęga to $n - 1 = 4 - 1 = 3$ , nie $4$ ). Równanie $q^3 = 3$ ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste, więc nie trzeba rozważać innych przypadków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Stereometria (zadanie 22)

Przekrój osiowy stożka będący trójkątem równobocznym od razu daje promień podstawy i wysokość stożka. Wskazówka: wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ to $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ - to również wysokość stożka.

Matura maj 2015Zadanie 22Stereometria1 pkt

Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości

6

. Objętość tego stożka jest równa

A. $6\pi$
B. $18\pi$
C. $9\pi\sqrt{3}$
D. $27\pi\sqrt{3}$

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Przekrój osiowy stożka to trójkąt, którego podstawa to średnica podstawy, a boki to tworzące stożka. Skoro ten trójkąt jest równoboczny o boku 6, to:

•Średnica podstawy = 6, więc promień $r = 3$
•Tworząca stożka $l = 6$ (boki trójkąta równobocznego)

Obliczamy wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt prostokątny: $h$ , $r$ , $l$ ):

h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}

Objętość stożka:

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}

Odpowiedź: $V = 9\pi\sqrt{3}$

Najczęstszy błąd: pomylenie boku trójkąta ze średnicą lub promieniem. Przekrój osiowy stożka to zawsze trójkąt, którego podstawa to średnica (nie promień!). Dlatego bok 6 oznacza promień 3. Przeczytaj nasz przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Równania i nierówności (zadanie 27)

Dowody nierówności dla dowolnych liczb rzeczywistych najczęściej sprowadzają się do zapisania wyrażenia jako sumy kwadratów. Wskazówka: spróbuj wydzielić pełny kwadrat z wyrazów zawierających $x$ .

Matura maj 2015Zadanie 27Równania i nierówności2 pktOtwarte

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej

x

i dla każdej liczby rzeczywistej

y

prawdziwa jest nierówność

4x^2-8xy+5y^2\ge 0

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wyrazy z $x$ dopełniamy do pełnego kwadratu: $(2x - 2y)^2 = 4x^2 - 8xy + 4y^2$ , więc z $5y^2$ zużywamy $4y^2$ , a zostaje $y^2$ :

4x^2 - 8xy + 5y^2 = (2x - 2y)^2 + y^2

Kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny i suma liczb nieujemnych też nie jest, więc dla każdych rzeczywistych $x$ i $y$ prawa strona jest nieujemna:

4x^2 - 8xy + 5y^2 \ge 0 \quad \square

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Stereometria (zadanie 32)

Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, a podany cosinus kąta nachylenia wiąże w nim przekątną podstawy z przekątną bryły. Wskazówka: z jedynki trygonometrycznej wyznacz sinus tego samego kąta - to on łączy daną wysokość z przekątną bryły, a przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$ .

Matura maj 2015Zadanie 32Stereometria4 pktOtwarte

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa

16

. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy

\frac{3}{5}

. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Niech $a$ to krawędź podstawy, $d$ przekątna bryły, $\alpha$ kąt jej nachylenia do podstawy. Wysokość, przekątna podstawy i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny, w którym $\alpha$ leży przy przekątnej podstawy.

Z jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego:

\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}

Sinus wiąże daną wysokość z przekątną bryły, a cosinus tę przekątną z przekątną podstawy:

d = 16 : \frac{4}{5} = 20, \qquad a\sqrt{2} = d\cos\alpha = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12

Stąd $a = 6\sqrt{2}$ , a pole podstawy to $a^2 = 72$ . Pole boczne to obwód podstawy razy wysokość:

P_c = 2 \cdot 72 + 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 144 + 384\sqrt{2}

Odpowiedź: $P_c = 144 + 384\sqrt{2}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Ciągi (zadanie 34)

To najwyżej punktowane zadanie arkusza - łączy wzór na sumę ciągu arytmetycznego z warunkiem geometrycznym na wybrane wyrazy. Wskazówka: zacznij od wzoru na sumę n początkowych wyrazów, żeby wyznaczyć pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

Matura maj 2015Zadanie 34Ciągi5 pktOtwarte

W nieskończonym ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla

n\ge 1

, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa

187

. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa

12

. Wyrazy

a_1, a_3, a_k

ciągu

(a_n)

, w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny

(b_n)

. Oblicz

k

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Niech $a_1$ to pierwszy wyraz, a $r$ różnica ciągu. Ze wzoru na sumę:

S_{11} = \frac{2a_1 + 10r}{2} \cdot 11 = 187 \Rightarrow a_1 + 5r = 17

Ze średniej arytmetycznej trzech wskazanych wyrazów:

\frac{a_1 + a_3 + a_9}{3} = 12 \Rightarrow 3a_1 + 10r = 36

Podstawiamy $a_1 = 17 - 5r$ i dostajemy $51 - 5r = 36$ , więc $r = 3$ , $a_1 = 2$ oraz $a_3 = a_1 + 2r = 8$ . W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych:

a_3^2 = a_1 \cdot a_k \Rightarrow 64 = 2a_k \Rightarrow a_k = 32

a_k = a_1 + (k - 1)r = 2 + 3(k - 1) = 32 \Rightarrow k = 11

Odpowiedź: $k = 11$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

W naszej bazie znajdziesz 34 zadania z tego arkusza z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte:

•Zadanie 2 - Logarytmy (1 pkt)
•Zadanie 3 - Procenty (1 pkt)
•Zadanie 4 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt)
•Zadanie 5 - Układy równań (1 pkt)
•Zadanie 6 - Równania i nierówności (1 pkt)
•Zadanie 7 - Równania i nierówności (1 pkt)
•Zadanie 8 - Funkcje (1 pkt)
•Zadanie 9 - Funkcja liniowa (1 pkt)
•Zadanie 10 - Funkcja liniowa (1 pkt)
•Zadanie 11 - Funkcja kwadratowa (1 pkt)
•Zadanie 12 - Równania i nierówności (1 pkt)
•Zadanie 13 - Ciągi (1 pkt)
•Zadanie 14 - Geometria analityczna (1 pkt)
•Zadanie 15 - Trygonometria (1 pkt)
•Zadanie 16 - Planimetria (1 pkt)
•Zadanie 17 - Planimetria (1 pkt)
•Zadanie 18 - Geometria analityczna (1 pkt)
•Zadanie 19 - Geometria analityczna (1 pkt)
•Zadanie 20 - Geometria analityczna (1 pkt)
•Zadanie 21 - Stereometria (1 pkt)
•Zadanie 22 - Stereometria (1 pkt)
•Zadanie 23 - Stereometria (1 pkt)
•Zadanie 24 - Statystyka (1 pkt)
•Zadanie 25 - Prawdopodobieństwo (1 pkt)

Zadania otwarte:

•Zadanie 1 - Równania i nierówności (1 pkt)
•Zadanie 26 - Równania i nierówności (2 pkt)
•Zadanie 27 - Równania i nierówności (2 pkt)
•Zadanie 28 - Geometria analityczna (2 pkt)
•Zadanie 29 - Funkcja kwadratowa (2 pkt)
•Zadanie 30 - Geometria analityczna (2 pkt)
•Zadanie 31 - Wyrażenia algebraiczne (2 pkt)
•Zadanie 32 - Stereometria (4 pkt)
•Zadanie 33 - Prawdopodobieństwo (4 pkt)
•Zadanie 34 - Ciągi (5 pkt)

Kluczowe wnioski z matury maj 2015

1.Równania i nierówności i geometria analityczna rządzą równo. Po 6 zadań za 8 punktów każdy z tych działów. Ćwicz równania i nierówności do skutku.

2.Geometria analityczna mocno reprezentowana. 6 zadań za 8 punktów to dużo. Proste, odcinki, współrzędne - te tematy CKE traktuje poważnie od 2015 roku. Ćwicz geometrię analityczną

3.Stereometria za duże punkty. 4 zadania za 7 punktów (w tym graniastosłup za 4 pkt). Kto opanuje bryły, ma ogromną przewagę nad resztą zdających. Ćwicz stereometrię

4.Ciągi - mało zadań, dużo punktów. 2 zadania za łącznie 6 punktów, w tym najwyżej punktowane zadanie arkusza za 5 pkt. Ciągi arytmetyczne i geometryczne to obowiązkowy temat. Ćwicz ciągi

5.Wzory skróconego mnożenia wszędzie. Pojawiają się w zadaniu z potęgami (zad. 4) i w dowodzie nierówności (zad. 27). To nie przypadek - wzory skróconego mnożenia to fundament, który pozwala rozwiązywać zadania szybciej i pewniej.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Tydzień 1 - Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych. Daj sobie 170 minut, wyłącz telefon - kalkulator prosty możesz zostawić przy sobie, tak jak na prawdziwym egzaminie. Nie zaglądaj do rozwiązań. Zapisz swoje odpowiedzi i porównaj z kluczem. Zanotuj każde zadanie, przy którym się wahałeś lub nie wiedziałeś, jak zacząć.

Tydzień 2 - Przeanalizuj błędy systematycznie. Dla każdego błędnego zadania określ przyczynę: brak wiedzy (nie znasz wzoru), brak umiejętności (znasz wzór, ale nie umiesz go zastosować) czy błąd rachunkowy (wiesz co robić, ale się pomyliłeś). Wróć do odpowiedniego tematu:

•Algebra: równania i nierówności i logarytmy
•Geometria: planimetria, stereometria i geometria analityczna
•Ciągi: przewodnik po ciągach
•Prawdopodobieństwo: przewodnik
•Potęgi: przewodnik po potęgach

Tydzień 3 - Rozwiąż ponownie i porównaj. Rozwiąż ten sam arkusz jeszcze raz - tym razem powinno pójść szybciej i pewniej. Gdy wynik przekroczy 80%, przejdź do matury z maja 2016. Możesz też potrenować na symulatorze matury, który losowo składa arkusze z prawdziwych zadań CKE.

Przygotowujesz się do matury? Na Sprawnej Maturze mamy ponad 2300 zadań maturalnych z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować losowego zadania, żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Matura maj 2015 matematyka - zadania z arkusza i przykładowe rozwiązanie

O arkuszu - Matura maj 2015

Rozkład kategorii w arkuszu

Rozwiązania krok po kroku

Zadanie 26 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Pozostałe zadania arkusza

Logarytmy (zadanie 2)

Potęgi i pierwiastki (zadanie 4)

Ciągi (zadanie 13)

Stereometria (zadanie 22)

Równania i nierówności (zadanie 27)

Stereometria (zadanie 32)

Ciągi (zadanie 34)

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Kluczowe wnioski z matury maj 2015

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Czytaj dalej

Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2015

Rozkład kategorii w arkuszu

Rozwiązania krok po kroku

Zadanie 26 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Pozostałe zadania arkusza

Logarytmy (zadanie 2)

Potęgi i pierwiastki (zadanie 4)

Ciągi (zadanie 13)

Stereometria (zadanie 22)

Równania i nierówności (zadanie 27)

Stereometria (zadanie 32)

Ciągi (zadanie 34)

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Kluczowe wnioski z matury maj 2015

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Czytaj dalej

Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Matura czerwiec 2013 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Pliki cookie