Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków - odpowiednio AE i EC. Punkty L i N leżą na przekątnej BD tak, że |BL|=1/3|BE| i |DN|=1/3|DE| (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy 1:3.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Generalnie naszym zadaniem jest porównanie pola powstałego rombu do pola dużego kwadratu. Do wyznaczenia pola rombu przydadzą nam się długości jego przekątnych. Jeżeli przyjęlibyśmy, że |AC| (czyli przekątna kwadratu) ma długość d, to zgodnie z treścią zadania:
|KM|=1/2 d |LN|=2/3 d
Krok 2. Obliczenie pola rombu i kwadratu.
Zarówno pole rombu jak i kwadratu możemy wyliczyć mnożąc przez siebie długości przekątnych i dzieląc wynik na 2.
Pole rombu:
P_r=1/2 ef P_r=1/2 · 1/2 d · 2/3 d P_r=1/6 d²
Pole kwadratu:
P_k=1/2 ef P_k=1/2 · d · d P_k=1/2 d²
Krok 3. Porównanie pola rombu i kwadratu.
Musimy sprawdzić jaki jest stosunek między tymi polami, tak więc:
P_r/P_k=1/6 d²/(1/2 d²)=1/3
W ten sposób zadanie zostało udowodnione.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.