Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3/5. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=144+384√(2)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako a, to przekątna |AC|=a√(2).
Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości a, bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka |EC|.
Spójrzmy na trójkąt ACE. Znamy długość |AE|=16. Wiemy też, że |AC|=a√(2). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka |EC| to długość a obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że cosα=3/5.
cosα=|AC|/|EC| 3/5=a√(2)/|EC| / · |EC| 3/5|EC|=a√(2) / · 5/3 |EC|=5√(2)a/3
Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi a z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
a²+b²=c² |AC|²+|AE|²=|EC|² (a√(2))²+16²=(5√(2)a/3)² 2a²+256=50a²/9 · | · 9 18a²+2304=50a² -32a²+2304=0 /:(-32) a²-72=0
Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik b=0), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
a²-72=0 a²=72 a=√(72) a=-√(72)
Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
a=√(72)=a=√(36 · 2)=6√(2)
Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość a=6√(2) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
P_c=2P_p+4P_b P_c=2 · a²+4 · a · H P_c=2 · (6√(2))²+4 · 6√(2) · 16 P_c=2 · 72+384√(2) P_c=144+384√(2)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.