W nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n ≥ 1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a₁, a₃, a_k ciągu (a_n), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny (b_n). Oblicz k.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: k=11
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
S₁₁=187 (a₁+a₃+a₉)/3=12
Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru a_n=a₁+(n-1)r wiemy, że:
a₃=a₁+2r a₉=a₁+8r a₁₁=a₁+10r
Ze wzoru S_n=(a₁+a_n)/2 · n wynika, że:
S₁₁=(a₁+a₁₁)/2 · 11 S₁₁=(a₁+a₁+10r)/2 · 11 S₁₁=(2a₁+10r)/2 · 11 S₁₁=(a₁+5r) · 11 S₁₁=11a₁+55r
Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
11a₁+55r=187 (a₁+a₁+2r+a₁+8r)/3=12 11a₁+55r=187 /:11 (3a₁+10r)/3=12 / · 3 a₁+5r=17 / · (-3) 3a₁+10r=36 -3a₁-15r=-51 3a₁+10r=36
Dzięki pomnożeniu przez -3 możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej a₁. Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania a₁=17-5r. Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
-5r=-15 r=3
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając r=3 do dowolnego z równań otrzymamy:
3a₁+10r=36 3a₁+10 · 3=36 3a₁=6 a₁=2
Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
a₃=a₁+2r a₃=2+2 · 3 a₃=8
Krok 4. Zapisanie wzoru na a_k wyraz ciągu.
a_k=a₁+(k-1)r a_k=2+(k-1) · 3 a_k=2+3k-3 a_k=3k-1
Krok 5. Obliczenie wartości k.
Skoro a₁, a₃, a_k to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
a₃²=a₁ · a_k 8²=2 · (3k-1) 64=6k-2 66=6k k=11
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.