Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x²-6x+3 w przedziale ⟨0,4⟩.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: f_(max)=3 oraz f_(min)=-6
Funkcja będzie przyjmować największą i najmniejszą wartość w danym przedziale albo na krańcach tego przedziału albo w punkcie, który jest wierzchołkiem funkcji. Wartości krańcowe przedziałów są nam znane, więc potrzebujemy jeszcze wyznaczyć położenie wierzchołka (wystarczy nam jego współrzędna x).
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej x wierzchołka paraboli.
Współrzędną wierzchołka paraboli x_W dla funkcji określonej wzorem w postaci ax²+bx+c obliczymy w następujący sposób:
x_W=-b/(2a)=-(-6)/(2 · 1)=6/2=3
Sprawdzamy teraz, czy wierzchołek w ogóle znajduje się w naszym przedziale, który mamy przeanalizować. Tak się składa, że x=3 mieści się w przedziale ⟨0;4⟩, więc jak najbardziej uwzględnimy go w naszych obliczeniach.
Krok 2. Obliczenie wartości f(0), f(4) oraz f(3).
Zgodnie z tym co napisaliśmy sobie na początku, największych i najmniejszych wartości zawsze spodziewamy się na krańcach przedziału albo w punkcie który jest wierzchołkiem. Sprawdźmy więc jakie wartości przyjmuje ta funkcja dla tych trzech argumentów, a następnie wybierzemy z nich najmniejszą i największą wartość.
f(0)=0²-6 · 0+3=0-0+3=3 f(4)=4²-6 · 4+3=16-24+3=-5 f(3)=3²-6 · 3+3=9-18+3=-6
Najmniejszą wartością tej funkcji w przedziale ⟨0;4⟩ jest więc -6 (dla x=3), a największą jest 3 (dla x=0).
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.