Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej - kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje (zadania maturalne)

Q: Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej?

Oblicz pierwszą współrzędną wierzchołka p = -b/2a i sprawdź znak a. Przy a > 0 funkcja jest malejąca w (-∞, p⟩ i rosnąca w ⟨ p, +∞), przy a < 0 odwrotnie. Innych przedziałów monotoniczności funkcja kwadratowa nie ma.

Q: W jakim przedziale funkcja kwadratowa jest rosnąca?

To zależy od kierunku ramion paraboli. Gdy ramiona są skierowane w górę (a > 0), funkcja jest rosnąca w ⟨ p, +∞), czyli na prawo od wierzchołka. Gdy są skierowane w dół (a < 0), jest rosnąca w (-∞, p⟩, na lewo od wierzchołka.

Q: Czy przedział monotoniczności ma być otwarty, czy domknięty?

Oba zapisy są poprawne, bo funkcja rosnąca w ⟨ p, +∞) jest też rosnąca w (p, +∞). W zadaniu zamkniętym wybierasz ten wariant, który stoi wśród odpowiedzi. Gdy polecenie pyta o maksymalny przedział, jak w arkuszu z czerwca 2016 (zadanie 10), wskazujesz przedział domknięty przy p.

Q: Jak odczytać monotoniczność z postaci iloczynowej?

Odczytaj miejsca zerowe x_1 i x_2 z nawiasów, policz p = x_1 + x_2/2 i sprawdź znak liczby przed nawiasami. Dla f(x) = (x + 3)(x - 7) jest p = 2 i a = 1 > 0, więc funkcja jest malejąca w (-∞, 2⟩ i rosnąca w ⟨ 2, +∞).

Q: Jak z monotoniczności wyznaczyć współczynnik b?

Liczba, w której funkcja zmienia monotoniczność, to p. Wstaw ją do wzoru p = -b/2a razem ze znanym a i rozwiąż równanie, jak w przykładzie 4. Gdy znasz też wartość w wierzchołku, możesz od razu zapisać postać kanoniczną.

Funkcja kwadratowa zmienia monotoniczność w pierwszej współrzędnej wierzchołka p = -b/2a, a znak a mówi, który przedział jest rosnący. Jak wyznaczyć p z każdej postaci wzoru i sześć zadań maturalnych rozwiązanych krok po kroku.

Filip Maszota8 min czytania

30 września 2026

Spis treści

Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$ zmienia monotoniczność w pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, czyli w $p = -\frac{b}{2a}$ . Gdy $a > 0$ (ramiona w górę), funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, p\rangle$ i rosnąca w przedziale $\langle p, +\infty)$ . Gdy $a < 0$ (ramiona w dół), jest odwrotnie: rosnąca w $(-\infty, p\rangle$ i malejąca w $\langle p, +\infty)$ . Do odpowiedzi potrzebujesz więc tylko dwóch rzeczy: znaku $a$ i liczby $p$ .

Na maturze podstawowej to zwykle zadanie zamknięte za 1 punkt: „funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale...” i cztery przedziały do wyboru, jak w maju 2021 (zadanie 12) czy w sierpniu 2022 (zadanie 11). Wzór bywa podany w postaci iloczynowej albo kanonicznej, a nie ogólnej, i właśnie tam leży pułapka. Monotoniczność wraca też jako krok w większych zadaniach: przy szukaniu najmniejszej i największej wartości w przedziale i przy odtwarzaniu wzoru funkcji z danych o wierzchołku. Jak znaleźć sam wierzchołek, opisuje wpis jak znaleźć wierzchołek paraboli, a monotoniczność dowolnej funkcji odczytaną z wykresu omawia wpis o własnościach funkcji z wykresu. Tutaj chodzi o jedno: przedziały, w których funkcja kwadratowa rośnie i maleje.

Co znaczy, że funkcja kwadratowa jest rosnąca w przedziale

Funkcja jest rosnąca w przedziale, gdy dla większego argumentu z tego przedziału przyjmuje większą wartość. Na wykresie wygląda to tak, że idąc w prawo, wchodzisz pod górę. Parabola ma jeden punkt zwrotny, wierzchołek, więc każda funkcja kwadratowa ma dokładnie dwa przedziały monotoniczności: jeden na lewo od wierzchołka, drugi na prawo.

Formalnie funkcja $f$ jest rosnąca w przedziale, gdy dla dowolnych dwóch argumentów $x_1$ i $x_2$ z tego przedziału:

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Liczba $p$ należy do obu przedziałów i to nie jest błąd. Funkcja $f(x) = x^2$ jest malejąca w $(-\infty, 0\rangle$ i rosnąca w $\langle 0, +\infty)$ , bo w obu przedziałach warunek z definicji jest spełniony także wtedy, gdy jednym z argumentów jest zero. Dlatego największe przedziały monotoniczności zapisuje się jako domknięte przy $p$ . W arkuszach spotkasz dwa zapisy przedziału domkniętego: $\langle p, +\infty)$ oraz $[p, +\infty)$ . Oznaczają to samo.

Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności krok po kroku

Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej wyznaczasz w trzech krokach: odczytujesz znak współczynnika $a$ , obliczasz pierwszą współrzędną wierzchołka $p$ i zapisujesz dwa przedziały z granicą w $p$ . Przy $a > 0$ po lewej stronie jest przedział malejący, przy $a < 0$ rosnący.

1.Znak a. To współczynnik przy $x^2$ po wymnożeniu wszystkiego. W postaci iloczynowej i kanonicznej stoi przed nawiasem.
2.Liczba p. Sposób zależy od postaci wzoru, opisuję go w następnej sekcji.
3.Zapis. Lewy przedział to $(-\infty, p\rangle$ , prawy to $\langle p, +\infty)$ . Znak $a$ mówi, który z nich jest rosnący.

Szkic w głowie zastępuje regułę. Ramiona w górę to dolina: najpierw w dół, potem w górę. Ramiona w dół to górka: najpierw w górę, potem w dół.

Skąd wziąć p: trzy postacie wzoru

Pierwszą współrzędną wierzchołka liczysz inaczej w każdej z trzech postaci funkcji kwadratowej. Najszybciej idzie z postaci kanonicznej, bo $p$ stoi w nawiasie. Z postaci iloczynowej wystarczy średnia miejsc zerowych, a z postaci ogólnej wzór $p = -\frac{b}{2a}$ .

•Postać ogólna $f(x) = ax^2 + bx + c$ : $p = -\frac{b}{2a}$ .
•Postać iloczynowa $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ : $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ , bo wierzchołek leży na osi symetrii paraboli, dokładnie w połowie między miejscami zerowymi.
•Postać kanoniczna $f(x) = a(x - p)^2 + q$ : $p$ odczytujesz z nawiasu ze zmienionym znakiem. W $f(x) = 3(x + 2)^2 - 1$ jest $p = -2$ , a nie $2$ .

Przejścia między postaciami opisuje osobny wpis o postaci kanonicznej i iloczynowej. Do monotoniczności nie musisz niczego przekształcać: wystarczy $p$ i znak $a$ .

Wzory

Pierwsza współrzędna wierzchołka:

p = -\frac{b}{2a}

Wierzchołek z miejsc zerowych:

p = \frac{x_1 + x_2}{2}

Monotoniczność dla ramion w górę:

a > 0: \quad f \text{ maleje w } (-\infty, p\rangle, \quad f \text{ rośnie w } \langle p, +\infty)

Monotoniczność dla ramion w dół:

a < 0: \quad f \text{ rośnie w } (-\infty, p\rangle, \quad f \text{ maleje w } \langle p, +\infty)

Przykład 1: Funkcja w postaci ogólnej

0/6

Funkcja kwadratowa

Treść: Funkcja kwadratowa $f(x) = 2x^2 - 12x + 7$ jest rosnąca w przedziale:

A $(-\infty, 3\rangle$
B $\langle 3, +\infty)$
C $\langle -3, +\infty)$
D $(-\infty, 7\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Znak a
$a = 2 > 0$ , ramiona paraboli są skierowane w górę.
Krok 2
Oblicz p
$p = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
Krok 3
Zapisz przedziały
Przy $a > 0$ funkcja maleje na lewo od wierzchołka i rośnie na prawo od niego: jest malejąca w $(-\infty, 3\rangle$ i rosnąca w $\langle 3, +\infty)$ .

Odpowiedź B

Odpowiedź A to przedział, w którym funkcja maleje, a C bierze się z pominięcia minusa we wzorze na $p$ .

Przykład 2: Postać iloczynowa i ujemne a

0/6

Matura maj 2021Zadanie 12Funkcja kwadratowa

Treść: Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x) = -2(x + 1)(x - 3)$ jest malejąca w przedziale:

A $\langle 1, +\infty)$
B $(-\infty, 1\rangle$
C $(-\infty, -8\rangle$
D $\langle -8, +\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Odczytaj miejsca zerowe
Nawias $(x + 1)$ zeruje się dla $x = -1$ , nawias $(x - 3)$ dla $x = 3$ . Miejsca zerowe to $x_1 = -1$ i $x_2 = 3$ .
Krok 2
Oblicz p jako średnią
$p = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
Krok 3
Znak a i przedziały
$a = -2 < 0$ , więc ramiona są skierowane w dół. Funkcja rośnie aż do wierzchołka i maleje za nim: jest rosnąca w $(-\infty, 1\rangle$ i malejąca w $\langle 1, +\infty)$ .

Odpowiedź A

Liczba $-8$ w odpowiedziach C i D nie ma związku z wierzchołkiem. Wierzchołek ma współrzędne $(1, 8)$ , bo $f(1) = -2 \cdot 2 \cdot (-2) = 8$ , a przedziały monotoniczności zależą wyłącznie od jego pierwszej współrzędnej.

Przykład 3: Postać kanoniczna i znak w nawiasie

0/6

Funkcja kwadratowa

Treść: Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji $f(x) = -(x + 4)^2 + 5$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Odczytaj p
W postaci $a(x - p)^2 + q$ w nawiasie stoi $x - p$ . Tutaj $x + 4 = x - (-4)$ , więc $p = -4$ .
Krok 2
Znak a
Przed nawiasem stoi minus, czyli $a = -1 < 0$ . Ramiona są skierowane w dół, a wierzchołek $(-4, 5)$ jest najwyższym punktem wykresu.
Krok 3
Zapisz przedziały
$f \text{ rośnie w } (-\infty, -4\rangle, \qquad f \text{ maleje w } \langle -4, +\infty)$

Odpowiedź

funkcja jest rosnąca w przedziale $(-\infty, -4\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle -4, +\infty)$ .

Przykład 4: Współczynnik b z przedziałów monotoniczności

0/6

Funkcja kwadratowa

Treść: Funkcja kwadratowa $f(x) = -3x^2 + bx + 1$ jest rosnąca w przedziale $(-\infty, 2\rangle$ i malejąca w przedziale $\langle 2, +\infty)$ . Oblicz $b$ oraz największą wartość funkcji $f$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Zamień monotoniczność na wierzchołek
Funkcja zmienia monotoniczność w $x = 2$ , więc $p = 2$ .
Krok 2
Ułóż równanie
$-\frac{b}{2 \cdot (-3)} = 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{b}{6} = 2 \quad\Rightarrow\quad b = 12$
Krok 3
Policz wartość w wierzchołku
Przy $a < 0$ wierzchołek jest najwyższym punktem wykresu, więc największa wartość to $f(2)$ :
$f(2) = -3 \cdot 4 + 12 \cdot 2 + 1 = -12 + 24 + 1 = 13$

Odpowiedź

$b = 12$ , a największa wartość funkcji $f$ jest równa $13$ .

Przykład 5: Postać kanoniczna z monotoniczności i zbioru wartości

0/6

Matura próbna styczeń 2013Zadanie 17Funkcja kwadratowa

Treść: Funkcja kwadratowa $y = x^2 + bx + c$ jest malejąca dla $x \in (-\infty, 2\rangle$ , a zbiorem jej wartości jest przedział $\langle -4, +\infty)$ . Postać kanoniczna tej funkcji opisana jest wzorem:

A $f(x) = (x - 2)^2 - 4$
B $f(x) = (x + 2)^2 + 4$
C $f(x) = (x + 4)^2 + 2$
D $f(x) = (x - 4)^2 + 2$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Wyznacz p z monotoniczności
Współczynnik przy $x^2$ to $1 > 0$ , więc funkcja maleje do wierzchołka i od niego rośnie. Przedział malejący kończy się w $2$ , zatem $p = 2$ .
Krok 2
Wyznacz q ze zbioru wartości
Przy $a > 0$ zbiorem wartości jest $\langle q, +\infty)$ , więc $q = -4$ .
Krok 3
Złóż postać kanoniczną
$f(x) = 1 \cdot (x - 2)^2 + (-4) = (x - 2)^2 - 4$

Odpowiedź A

Wzór B ma wierzchołek $(-2, 4)$ , a wzory C i D mają drugą współrzędną wierzchołka równą $2$ , więc żaden z nich nie spełnia obu warunków.

Przykład 6: Czy funkcja jest monotoniczna w danym przedziale

0/6

Funkcja kwadratowa

Treść: Dana jest funkcja $f(x) = x^2 - 6x + 1$ . Sprawdź, czy jest monotoniczna w przedziale $\langle 4, 7\rangle$ oraz w przedziale $\langle 1, 5\rangle$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Oblicz p
$p = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$ i $a = 1 > 0$ , więc $f$ jest malejąca w $(-\infty, 3\rangle$ i rosnąca w $\langle 3, +\infty)$ .
Krok 2
Przedział bez wierzchołka
Przedział $\langle 4, 7\rangle$ leży w całości na prawo od $3$ , czyli wewnątrz $\langle 3, +\infty)$ . Funkcja jest w nim rosnąca.
Krok 3
Przedział z wierzchołkiem
Przedział $\langle 1, 5\rangle$ zawiera $3$ . Na $\langle 1, 3\rangle$ funkcja maleje, a na $\langle 3, 5\rangle$ rośnie, więc w całym $\langle 1, 5\rangle$ nie jest monotoniczna. Widać to też z wartości: $f(1) = -4$ , $f(3) = -8$ , $f(5) = -4$ .

Odpowiedź

w $\langle 4, 7\rangle$ funkcja jest rosnąca, a w $\langle 1, 5\rangle$ nie jest monotoniczna. Ten sam test rozstrzyga, gdzie szukać najmniejszej wartości w przedziale: przy $a > 0$ i $p$ leżącym wewnątrz przedziału jest nią $f(p)$ .

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Odczytać znak współczynnika $a$ z postaci ogólnej, iloczynowej i kanonicznej.
Obliczyć $p = -\frac{b}{2a}$ z postaci ogólnej, podstawiając $b$ razem ze znakiem.
Wyznaczyć $p$ jako średnią miejsc zerowych z postaci iloczynowej.
Odczytać $p$ z postaci kanonicznej ze zmienionym znakiem.
Zapisać przedział rosnący i malejący z domknięciem w $p$ .
Z danych o monotoniczności odtworzyć $p$ , a z niego brakujący współczynnik wzoru.
Sprawdzić, czy funkcja jest monotoniczna w danym przedziale, patrząc, czy $p$ leży w jego wnętrzu.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z funkcji kwadratowej z arkuszy maturalnych: przedziały monotoniczności z postaci iloczynowej, wierzchołek wyznaczony z miejsc zerowych i wartości funkcji w przedziale. Wszystkie zadania z tego działu znajdziesz na stronie funkcja kwadratowa, a powtórkę całego działu we wpisie funkcja kwadratowa na maturze.

Więcej zadań z działu Funkcja kwadratowa

Następny krok Losuj kolejne zadanie z funkcji kwadratowej

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej?

Oblicz pierwszą współrzędną wierzchołka $p = -\frac{b}{2a}$ i sprawdź znak $a$ . Przy $a > 0$ funkcja jest malejąca w $(-\infty, p\rangle$ i rosnąca w $\langle p, +\infty)$ , przy $a < 0$ odwrotnie. Innych przedziałów monotoniczności funkcja kwadratowa nie ma.

W jakim przedziale funkcja kwadratowa jest rosnąca?

To zależy od kierunku ramion paraboli. Gdy ramiona są skierowane w górę ( $a > 0$ ), funkcja jest rosnąca w $\langle p, +\infty)$ , czyli na prawo od wierzchołka. Gdy są skierowane w dół ( $a < 0$ ), jest rosnąca w $(-\infty, p\rangle$ , na lewo od wierzchołka.

Czy przedział monotoniczności ma być otwarty, czy domknięty?

Oba zapisy są poprawne, bo funkcja rosnąca w $\langle p, +\infty)$ jest też rosnąca w $(p, +\infty)$ . W zadaniu zamkniętym wybierasz ten wariant, który stoi wśród odpowiedzi. Gdy polecenie pyta o maksymalny przedział, jak w arkuszu z czerwca 2016 (zadanie 10), wskazujesz przedział domknięty przy $p$ .

Jak odczytać monotoniczność z postaci iloczynowej?

Odczytaj miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ z nawiasów, policz $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ i sprawdź znak liczby przed nawiasami. Dla $f(x) = (x + 3)(x - 7)$ jest $p = 2$ i $a = 1 > 0$ , więc funkcja jest malejąca w $(-\infty, 2\rangle$ i rosnąca w $\langle 2, +\infty)$ .

Jak odczytać przedziały monotoniczności z wykresu paraboli?

Znajdź na rysunku wierzchołek i odczytaj jego pierwszą współrzędną, to jest $p$ . Potem spójrz, w którą stronę idą ramiona: gdy w górę, funkcja maleje do $p$ i rośnie od $p$ , gdy w dół, odwrotnie. Przedziały zapisujesz na osi $x$ , a nie na osi $y$ , nawet jeśli wierzchołek ma wyraźnie zaznaczoną drugą współrzędną.

Czy funkcja kwadratowa może być rosnąca na całej prostej?

Nie. Parabola ma wierzchołek, w którym funkcja zmienia monotoniczność, więc na całym zbiorze liczb rzeczywistych funkcja kwadratowa nie jest ani rosnąca, ani malejąca. Monotoniczna na całej prostej jest na przykład funkcja liniowa z niezerowym współczynnikiem kierunkowym.

Jak z monotoniczności wyznaczyć współczynnik b?

Liczba, w której funkcja zmienia monotoniczność, to $p$ . Wstaw ją do wzoru $p = -\frac{b}{2a}$ razem ze znanym $a$ i rozwiąż równanie, jak w przykładzie 4. Gdy znasz też wartość w wierzchołku, możesz od razu zapisać postać kanoniczną.

Kategoria: Funkcja kwadratowa

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2916

zadań CKE

2916

rozwiązań

2401

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej - kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje (zadania maturalne)

Co znaczy, że funkcja kwadratowa jest rosnąca w przedziale

Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności krok po kroku

Skąd wziąć p: trzy postacie wzoru

Wzory

Przykład 1: Funkcja w postaci ogólnej

Przykład 2: Postać iloczynowa i ujemne a

Przykład 3: Postać kanoniczna i znak w nawiasie

Przykład 4: Współczynnik b z przedziałów monotoniczności

Przykład 5: Postać kanoniczna z monotoniczności i zbioru wartości

Przykład 6: Czy funkcja jest monotoniczna w danym przedziale

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej?

W jakim przedziale funkcja kwadratowa jest rosnąca?

Czy przedział monotoniczności ma być otwarty, czy domknięty?

Jak odczytać monotoniczność z postaci iloczynowej?

Jak odczytać przedziały monotoniczności z wykresu paraboli?

Czy funkcja kwadratowa może być rosnąca na całej prostej?

Jak z monotoniczności wyznaczyć współczynnik b?

Kategoria: Funkcja kwadratowa

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne

Zadania CKE z funkcji kwadratowej z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Funkcja kwadratowa z parametrem - Vieta i zadania krok po kroku