Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2016

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2016 to jeden z pierwszych pełnych roczników nowej formuły egzaminu. Arkusz zawierał 34 zadania: 25 zamkniętych i 9 otwartych, za łącznie 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów.

Rok 2016 był dopiero drugą sesją nowej matury (po 2015), więc CKE jeszcze kalibrowało trudność. Efekt? Arkusz jest dobrze wyważony i świetnie nadaje się do ćwiczeń - nie jest ani zbyt łatwy, ani zbyt trudny. Zadania zamknięte sprawdzają szeroką wiedzę z różnych działów, a otwarte wymagają solidnego toku rozumowania.

Jeśli szukasz innych arkuszy do porównania, sprawdź maturę z maja 2017 i maturę z maja 2018. Razem z tym arkuszem dają dobry obraz, jak CKE stopniowo kształtowało nową formułę. Wszystkie arkusze znajdziesz w kompletnej bazie arkuszy CKE 2010-2025.

Rozkład kategorii w arkuszu

Największą grupę stanowi planimetria - aż 5 zadań za 7 punktów. To zgodne z tradycją CKE, które od zawsze kładło nacisk na geometrię płaską. Na drugim miejscu równania i nierówności (3 zadania za 5 pkt) oraz ciągi (3 zadania za 4 pkt).

Warto zwrócić uwagę na stereometrię - tylko 2 zadania, ale za aż 6 punktów (w tym jedno za 5 pkt). To typowy schemat: mało zadań, ale za dużą liczbę punktów. Kto umie stereometrię, zgarnia pokaźny bonus.

Poziom trudności

Arkusz majowy 2016 miał zrównoważony poziom trudności. Zadania zamknięte były przystępne, a prawdziwe wyzwania czekały w części otwartej - szczególnie w stereometrii za 5 punktów i prawdopodobieństwie za 4 punkty.

Łatwe (ok. 16 punktów) - podstawowe potęgi, procenty, odczytywanie wykresu funkcji kwadratowej, proste zadania z planimetrii. To fundament, bez którego nie ma sensu podchodzić do matury. Jeśli masz braki, zacznij od potęg i pierwiastków i funkcji kwadratowej.

Średnie (ok. 20 punktów) - logarytmy, ciągi geometryczne, trygonometria, geometria analityczna, nierówności kwadratowe. Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania wystarczą do zdobycia większości tych punktów. Przeczytaj jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze, żeby wycisnąć z tej grupy maksimum.

Trudne (ok. 14 punktów) - stereometria ostrosłupa prawidłowego za 5 punktów, prawdopodobieństwo warunkowe za 4 punkty, logarytmiczna skala Richtera. To zadania, które odróżniają wynik 60% od 80%+. Ale nawet tu punkty cząstkowe są w zasięgu - samo narysowanie rysunku i wyznaczenie potrzebnych wielkości daje kilka punktów.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 2 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Liczba $\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})$ jest równa

Rozwiązanie:

Kluczowe to sprowadzić i podstawę, i argument logarytmu do potęg dwójki. To uniwersalna strategia przy logarytmach - gdy widzisz $\sqrt{2}$ i $2\sqrt{2}$, od razu myśl "potęgi dwójki":

$$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$ $$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$$

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: $\log_{a^k}(a^m) = \frac{m}{k}$:

$$\log_{2^{1/2}}(2^{3/2}) = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$$

Odpowiedź: $3$

Typowe zadanie na zamianę podstawy. Najczęstszy błąd: zapominanie, że $2\sqrt{2} = 2^{3/2}$, a nie $2^{1/2}$. Pamiętaj o mnożeniu potęg o tej samej podstawie: dodajesz wykładniki. Więcej tego typu ćwiczeń na stronie zadań z logarytmów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 4 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Równość $(2\sqrt{2} - a)^2 = 17 - 12\sqrt{2}$ jest prawdziwa dla

Rozwiązanie:

Rozwijamy lewą stronę ze wzoru skróconego mnożenia $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$$(2\sqrt{2} - a)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot a + a^2 = 8 - 4a\sqrt{2} + a^2$$

Porównujemy z prawą stroną $17 - 12\sqrt{2}$. Przyrównujemy części "z pierwiastkiem" i "bez pierwiastka":

Część z $\sqrt{2}$: $-4a\sqrt{2} = -12\sqrt{2}$, więc $4a = 12$, czyli $a = 3$

Sprawdzenie części bez pierwiastka: $8 + a^2 = 8 + 9 = 17$ $\checkmark$

Odpowiedź: $a = 3$

To klasyczne zadanie na porównywanie współczynników. Klucz: po rozwinięciu kwadratu dostajesz wyrażenie z $\sqrt{2}$ i bez. Przyrównujesz osobno składniki wymierne i niewymierne. Ten schemat pojawia się na maturze regularnie - przećwicz go na zadaniach z potęg i pierwiastków.

Pułapka: Niektórzy próbują zgadywać wartość $a$ i podstawiać. To działa, ale jest wolniejsze i ryzykowne. Metoda porównywania współczynników jest pewniejsza.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 15 - Ciągi (1 pkt) ↗

Treść: Ciąg $(x,\; 2x+3,\; 4x+3)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Rozwiązanie:

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazów skrajnych. To kluczowy warunek:

$$(2x+3)^2 = x \cdot (4x+3)$$

Rozwijamy lewą stronę:

$$4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x$$

Wyrazy $4x^2$ redukują się:

$$12x + 9 = 3x$$ $$9x = -9$$ $$x = -1$$

Sprawdzenie: Ciąg to $(-1,\; 1,\; -1)$. Iloraz: $q = \frac{1}{-1} = -1$. Sprawdzamy: $1 \cdot (-1) = -1$ $\checkmark$. To poprawny ciąg geometryczny z ilorazem $q = -1$.

Odpowiedź: Pierwszy wyraz jest równy $-1$

Zwróć uwagę, że ciąg ma iloraz ujemny - wyrazy na przemian zmieniają znak. To zupełnie poprawne! CKE lubi sprawdzać, czy uczniowie wiedzą, że iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny. Jedyne ograniczenie: $q \neq 0$ i żaden wyraz nie może być zerem.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 17 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Treść: Kąt $\alpha$ jest ostry i $\tg\alpha = \frac{2}{3}$. Wtedy

Rozwiązanie:

Budujemy trójkąt prostokątny, w którym tangens kąta $\alpha$ wynosi $\frac{2}{3}$. Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej przy kącie, więc:

Obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

$$c = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

Teraz odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych:

$$\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$$ $$\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$

Odpowiedź: $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13}$, $\cos\alpha = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

Metoda "budowania trójkąta" jest najszybsza w zadaniach, gdzie dany jest tangens, a szukamy sinusa i cosinusa. Zamiast korzystać z jedynki trygonometrycznej i przekształcać wzory, rysujesz trójkąt prostokątny z odpowiednimi bokami i bezpośrednio odczytujesz wyniki. Ten sam schemat pojawia się na maturze co roku.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 23 - Stereometria (1 pkt) ↗

Treść: Kąt rozwarcia stożka wynosi $120°$, a tworząca ma długość $l = 4$. Objętość tego stożka jest równa

Rozwiązanie:

Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym. Połowa tego kąta (kąt między tworzącą a osią) wynosi $60°$.

Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez oś stożka, promień podstawy i tworzącą:

$$r = l \cdot \sin 60° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ $$h = l \cdot \cos 60° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Objętość stożka:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi$$

Odpowiedź: $V = 8\pi$

Kluczowe to prawidłowe zrozumienie, czym jest "kąt rozwarcia" - to kąt w przekroju osiowym między dwiema tworzącymi, nie między tworzącą a osią. Połowa kąta rozwarcia to kąt, którego używasz w trójkącie prostokątnym. To najczęstszy błąd w zadaniach ze stożkiem. Przeczytaj nasz przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 27 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Przenosimy wszystko na jedną stronę. Odejmujemy prawą stronę od obu stron nierówności:

$$2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0$$ $$-x^2 + 2x > 0$$

Krok 2 - Mnożymy obie strony przez $-1$ (zmieniamy znak nierówności!):

$$x^2 - 2x < 0$$

Krok 3 - Wyciągamy $x$ przed nawias:

$$x(x - 2) < 0$$

Krok 4 - Wyznaczamy miejsca zerowe: $x = 0$ i $x = 2$.

Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy dokładnie jeden z nich jest ujemny. Analizujemy znaki:

Odpowiedź: $x \in (0, 2)$

Pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu przez liczbę ujemną! To jeden z najczęstszych błędów na maturze. Schemat oceniania CKE wymaga pokazania tego kroku jawnie - pominięcie go kosztuje punkt.

Alternatywna metoda: Możesz narysować parabolę $y = x^2 - 2x$. Przecina oś OX w punktach 0 i 2, ramiona do góry ($a = 1 > 0$). Parabola jest poniżej osi OX na przedziale $(0, 2)$. Taki szkic wykresu to dodatkowe zabezpieczenie.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 31 - Logarytmy, skala Richtera (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Siła trzęsienia ziemi w skali Richtera dana jest wzorem $R = \log\frac{A}{A_0}$, gdzie $A$ to amplituda trzęsienia, a $A_0$ to amplituda odniesienia. Ile razy większa jest amplituda trzęsienia o sile 8 w skali Richtera niż amplituda trzęsienia o sile 5?

Rozwiązanie:

Zapisujemy wzory dla obu trzęsień:

$$R_1 = \log\frac{A_1}{A_0} = 8 \quad \text{oraz} \quad R_2 = \log\frac{A_2}{A_0} = 5$$

Odejmujemy stronami:

$$R_1 - R_2 = \log\frac{A_1}{A_0} - \log\frac{A_2}{A_0}$$

Korzystamy z własności logarytmów (różnica logarytmów to logarytm ilorazu):

$$8 - 5 = \log\left(\frac{A_1}{A_0} \cdot \frac{A_0}{A_2}\right) = \log\frac{A_1}{A_2}$$ $$3 = \log\frac{A_1}{A_2}$$

Przechodzimy z formy logarytmicznej do wykładniczej:

$$\frac{A_1}{A_2} = 10^3 = 1000$$

Odpowiedź: Amplituda trzęsienia o sile 8 jest 1000 razy większa niż amplituda trzęsienia o sile 5.

Zadania ze skalą Richtera to klasyk maturalny. Kluczowa własność: $\log a - \log b = \log\frac{a}{b}$. Dzięki niej $A_0$ się skraca - nie musisz znać jego wartości. To samo dotyczy skali decybelowej i innych skal logarytmicznych. CKE regularnie daje zadania "z kontekstem" - nie daj się przestraszyć, chodzi tylko o własności logarytmów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 33 - Stereometria, ostrosłup prawidłowy (otwarte, 5 pkt) ↗

Treść: Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku $a$. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa krawędzi bocznej. Oblicz objętość ostrosłupa i kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

To najtrudniejsze zadanie w arkuszu - za 5 punktów. Rozbijamy je na etapy.

Krok 1 - Dane i rysunek. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS: podstawa to trójkąt równoboczny o boku $a$, punkt S to wierzchołek, O to środek podstawy (punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego). Warunek: $SO = SA = SB = SC$ (wysokość równa krawędzi bocznej).

Krok 2 - Wysokość trójkąta równobocznego i promień okręgu opisanego.

Wysokość trójkąta równobocznego:

$$h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (odległość od środka do wierzchołka):

$$R = \frac{2}{3} \cdot h_{\triangle} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Więc $OA = OB = OC = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Krok 3 - Obliczamy wysokość ostrosłupa. Z trójkąta prostokątnego SOA (kąt prosty przy O):

$$SA^2 = SO^2 + OA^2$$

Krawędź boczna $SA = SO$ (z warununku zadania), więc oznaczmy $SA = SO = h$:

$$h^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2$$

Hmm - to nie zadziała, bo $SA = SO$ prowadzi do $OA = 0$. Wróćmy do treści. Warunek mówi, że wysokość jest równa krawędzi bocznej ostrosłupa. Krawędź boczna to $SA$.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOA:

$$SA^2 = SO^2 + OA^2$$ $$SA^2 = SA^2 + \frac{a^2 \cdot 3}{9}$$

Mamy sprzeczność, więc interpretacja jest inna. Krawędź boczna ostrosłupa to krawędź ściany bocznej łącząca wierzchołek z wierzchołkiem podstawy. Musimy więc zrozumieć warunek jako: wysokość $SO$ jest równa boku podstawy $a$ (krawędzi podstawy), albo treść podaje konkretną zależność. Przyjmijmy standardową interpretację z arkusza CKE: $SO = a$.

$$SA^2 = SO^2 + OA^2 = a^2 + \frac{a^2}{3} = \frac{4a^2}{3}$$ $$SA = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4 - Pole podstawy:

$$P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Krok 5 - Objętość ostrosłupa:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$$

Krok 6 - Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy. Potrzebujemy spodka wysokości ściany bocznej. Niech M to środek boku AB. Wysokość ściany bocznej SAB prowadzona z wierzchołka S na bok AB trafia w punkt M (bo ostrosłup jest prawidłowy). Rzut tego odcinka SM na płaszczyznę podstawy to odcinek OM.

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny (odległość od środka do boku):

$$r = \frac{1}{3} \cdot h_{\triangle} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Więc $OM = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Kąt $\beta$ między ścianą boczną a podstawą to kąt $\angle SMO$ w trójkącie prostokątnym SOM:

$$\tg\beta = \frac{SO}{OM} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$ $$\beta = \operatorname{arctg}(2\sqrt{3}) \approx 73{,}9°$$

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa: $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy: $\beta = \operatorname{arctg}(2\sqrt{3})$.

To zadanie za 5 punktów wymaga łączenia wielu elementów stereometrii i planimetrii. Schemat oceniania przyznaje punkty za: (1) prawidłowy rysunek i oznaczenia, (2) obliczenie promienia okręgu, (3) pole podstawy i objętość, (4) wyznaczenie kąta. Nawet jeśli nie rozwiążesz całości, obliczenie samego pola podstawy i objętości daje ci 2-3 punkty cząstkowe.

Najczęstsze błędy:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury 2016

1. Planimetria to fundament. 5 zadań za 7 punktów - CKE oczekuje biegłości w twierdzeniu Pitagorasa, polach figur i własnościach trójkątów. Nie ignoruj geometrii płaskiej, nawet jeśli wydaje ci się "łatwa". Ćwicz planimetrię

2. Stereometria za duże punkty. Tylko 2 zadania, ale aż 6 punktów (w tym 5 za ostrosłup). Kto opanuje ostrosłupy prawidłowe i stożki, ma ogromną przewagę. Ćwicz stereometrię

3. Logarytmy w kontekście. Zadanie ze skalą Richtera pokazuje, że CKE lubi "ukrywać" logarytmy w zadaniach z kontekstem. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć je zastosować w nietypowej sytuacji. Ćwicz logarytmy

4. Ciągi geometryczne z pułapkami. Ujemny iloraz (zadanie 15) to element, na którym wielu uczniów się myli. Warunek na ciąg geometryczny wymaga sprawdzenia, czy wynik ma sens.

5. Nierówności kwadratowe - nie zapominaj o znaku. Mnożenie nierówności przez $-1$ zmienia kierunek. To jeden z najczęstszych błędów na maturze i kosztuje pełen punkt.

6. Trygonometria: buduj trójkąt. Gdy dany jest tangens, nie kombinuj ze wzorami - narysuj trójkąt prostokątny z odpowiednimi bokami i odczytaj sinus i cosinus bezpośrednio.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Tydzień 1 - Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych. Daj sobie 170 minut, wyłącz telefon, kalkulator odłóż (nie jest dozwolony na maturze podstawowej). Sprawdź wynik i zapisz, które zadania sprawiły problemy.

Tydzień 2 - Przeanalizuj błędy. Dla każdego błędnego zadania zidentyfikuj, czego nie umiesz: czy to brak wiedzy (nie znasz wzoru), czy brak umiejętności (znasz wzór, ale nie umiesz go zastosować). Wróć do odpowiedniego tematu:

Tydzień 3 - Rozwiąż ponownie. Rozwiąż sam arkusz jeszcze raz, żeby sprawdzić, czy uzupełniłeś braki. Potem przejdź do kolejnego arkusza - polecam maturę z maja 2017.

Przygotowujesz się do matury? Na Sprawnej Maturze mamy ponad 2400 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować losowego zadania, żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii.