Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Rozwiązanie:

Kluczowe to sprowadzić i podstawę, i argument logarytmu do potęg dwójki. To uniwersalna strategia przy logarytmach - gdy widzisz $\sqrt{2}$ i $2\sqrt{2}$, od razu myśl "potęgi dwójki":

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: $\log_{a^k}(a^m) = \frac{m}{k}$:

Typowe zadanie na zamianę podstawy. Najczęstszy błąd: zapominanie, że $2\sqrt{2} = 2^{3/2}$, a nie $2^{1/2}$. Pamiętaj o mnożeniu potęg o tej samej podstawie: dodajesz wykładniki. Więcej tego typu ćwiczeń na stronie zadań z logarytmów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Rozwijamy lewą stronę ze wzoru skróconego mnożenia $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

Porównujemy z prawą stroną $17 - 12\sqrt{2}$. Przyrównujemy części "z pierwiastkiem" i "bez pierwiastka":

Część z $\sqrt{2}$: $-4a\sqrt{2} = -12\sqrt{2}$, więc $4a = 12$, czyli $a = 3$

Sprawdzenie części bez pierwiastka: $8 + a^2 = 8 + 9 = 17$ $\checkmark$

To klasyczne zadanie na porównywanie współczynników. Klucz: po rozwinięciu kwadratu dostajesz wyrażenie z $\sqrt{2}$ i bez. Przyrównujesz osobno składniki wymierne i niewymierne. Ten schemat pojawia się na maturze regularnie - przećwicz go na zadaniach z potęg i pierwiastków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazów skrajnych. To kluczowy warunek:

Rozwijamy lewą stronę:

Wyrazy $4x^2$ redukują się:

Sprawdzenie: Ciąg to $(-1,\; 1,\; -1)$. Iloraz: $q = \frac{1}{-1} = -1$. Sprawdzamy: $1 \cdot (-1) = -1$ $\checkmark$. To poprawny ciąg geometryczny z ilorazem $q = -1$.

Zwróć uwagę, że ciąg ma iloraz ujemny - wyrazy na przemian zmieniają znak. To zupełnie poprawne! CKE lubi sprawdzać, czy uczniowie wiedzą, że iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny. Jedyne ograniczenie: $q \neq 0$ i żaden wyraz nie może być zerem.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Budujemy trójkąt prostokątny, w którym tangens kąta $\alpha$ wynosi $\frac{2}{3}$. Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej przy kącie, więc:

• •Przyprostokątna naprzeciwko $\alpha$: $2$
• •Przyprostokątna przy $\alpha$: $3$

Obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

Teraz odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych:

Metoda "budowania trójkąta" jest najszybsza w zadaniach, gdzie dany jest tangens, a szukamy sinusa i cosinusa. Zamiast korzystać z jedynki trygonometrycznej i przekształcać wzory, rysujesz trójkąt prostokątny z odpowiednimi bokami i bezpośrednio odczytujesz wyniki. Ten sam schemat pojawia się na maturze co roku.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym. Połowa tego kąta (kąt między tworzącą a osią) wynosi $60°$.

Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez oś stożka, promień podstawy i tworzącą:

Objętość stożka:

Kluczowe to prawidłowe zrozumienie, czym jest "kąt rozwarcia" - to kąt w przekroju osiowym między dwiema tworzącymi, nie między tworzącą a osią. Połowa kąta rozwarcia to kąt, którego używasz w trójkącie prostokątnym. To najczęstszy błąd w zadaniach ze stożkiem. Przeczytaj nasz przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Przenosimy wszystko na jedną stronę

   Odejmujemy prawą stronę od obu stron nierówności:

   $2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0$$-x^2 + 2x > 0$
2. Krok 2

   Mnożymy obie strony przez $-1$

   (zmieniamy znak nierówności!):

   $x^2 - 2x < 0$
3. Krok 3

   Wyciągamy $x$ przed nawias:

   $x(x - 2) < 0$
4. Krok 4

   Wyznaczamy miejsca zerowe:

   $x = 0$ i $x = 2$.

   Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy dokładnie jeden z nich jest ujemny. Analizujemy znaki:

   • •Dla $x < 0$: oba czynniki ujemne, iloczyn dodatni - nie spełnia
   • •Dla $0 < x < 2$: $x > 0$ i $x - 2 < 0$, iloczyn ujemny - spełnia
   • •Dla $x > 2$: oba czynniki dodatnie, iloczyn dodatni - nie spełnia

Pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu przez liczbę ujemną! To jeden z najczęstszych błędów na maturze. Zapisz ten krok jawnie, wtedy łatwiej go nie przeoczyć.

Alternatywna metoda: Możesz narysować parabolę $y = x^2 - 2x$. Przecina oś OX w punktach 0 i 2, ramiona do góry ($a = 1 > 0$). Parabola jest poniżej osi OX na przedziale $(0, 2)$. Taki szkic wykresu to dodatkowe zabezpieczenie.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Pozbywamy się logarytmu

   Logarytm bez podstawy to logarytm dziesiętny. Z definicji:

   $\log\frac{A}{A_0} = R \iff \frac{A}{A_0} = 10^R \iff A = A_0 \cdot 10^R$
2. Krok 2

   Podstawiamy dane

   $R = 6{,}2$, $A_0 = 10^{-4}$ cm:

   $A = 10^{-4} \cdot 10^{6{,}2} = 10^{6{,}2 - 4} = 10^{2{,}2} \text{ cm}$
3. Krok 3

   Porównanie ze 100 cm

   $100 = 10^2$, a funkcja $y = 10^x$ jest rosnąca, więc $10^{2{,}2} > 10^2 = 100$.

Zadania z kontekstem, takie jak skala Richtera, sprawdzają samą definicję logarytmu: z $\log x = R$ przechodzisz do $x = 10^R$. Wszystko, czego potrzebujesz, jest we wzorze podanym w treści. Uważaj tylko na znak wykładnika $A_0 = 10^{-4}$: mnożąc potęgi, dodajesz wykładniki, więc $6{,}2 + (-4) = 2{,}2$.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Oznaczenia

   Krawędź podstawy oznaczamy $a$. Wysokość trójkąta równobocznego to $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, a z treści wysokość ostrosłupa $H = |SO| = h$.

2. Krok 2

   Krawędź podstawy z objętości

   $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^3}{24} = \frac{a^3}{8}$$\frac{a^3}{8} = 27 \implies a^3 = 216 \implies a = 6$

   Stąd $H = h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

3. Krok 3

   Wysokość ściany bocznej

   Niech $D$ będzie środkiem krawędzi $AB$. Spodek wysokości $O$ to środek trójkąta równobocznego, więc $|DO| = \frac{1}{3}h = \sqrt{3}$. W trójkącie prostokątnym $DOS$:

   $|DS|^2 = |DO|^2 + |SO|^2 = 3 + 27 = 30 \implies |DS| = \sqrt{30}$
4. Krok 4

   Pole powierzchni bocznej

   Trzy jednakowe ściany o podstawie 6 i wysokości $\sqrt{30}$:

   $P_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{30} = 9\sqrt{30}$
5. Krok 5

   Cosinus kąta

   Kąt między wysokością ściany bocznej $DS$ a płaszczyzną podstawy to kąt $SDO$:

   $\cos\angle SDO = \frac{|DO|}{|DS|} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Kluczowe w tym zadaniu są dwa fakty o trójkącie równobocznym: wysokość $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ i to, że środek trójkąta dzieli wysokość w stosunku $2:1$ (stąd $|DO| = \frac{1}{3}h$). Kąt nachylenia wysokości ściany bocznej zawsze odczytujesz z trójkąta „wysokość ostrosłupa, odcinek $DO$, wysokość ściany”. Więcej w przewodnikach po stereometrii i planimetrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze