Przejdź do treści

Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Kompletne rozwiązania wszystkich 34 zadań z matury z matematyki, maj 2016. Rozkład kategorii, analiza trudności i rozwiązania wybranych zadań krok po kroku z objaśnieniami.

·11 min czytania

O arkuszu - Matura maj 2016

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2016 to jeden z pierwszych pełnych roczników nowej formuły egzaminu. Arkusz zawierał 34 zadania: 25 zamkniętych i 9 otwartych, za łącznie 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów.

Rok 2016 był dopiero drugą sesją nowej matury (po 2015), więc CKE jeszcze kalibrowało trudność. Efekt? Arkusz jest dobrze wyważony i świetnie nadaje się do ćwiczeń - nie jest ani zbyt łatwy, ani zbyt trudny. Zadania zamknięte sprawdzają szeroką wiedzę z różnych działów, a otwarte wymagają solidnego toku rozumowania.

Jeśli szukasz innych arkuszy do porównania, sprawdź maturę z maja 2017 i maturę z maja 2018. Razem z tym arkuszem dają dobry obraz, jak CKE stopniowo kształtowało nową formułę. Wszystkie arkusze znajdziesz w kompletnej bazie arkuszy CKE 2010-2025.

Rozkład kategorii w arkuszu

KategoriaLiczba zadańPunkty
Planimetria57
Równania i nierówności35
Potęgi i pierwiastki33
Ciągi34
Stereometria26
Prawdopodobieństwo25
Logarytmy23
Procenty23
Geometria analityczna22
Funkcja kwadratowa22
Funkcja liniowa11
Trygonometria11

Największą grupę stanowi planimetria - aż 5 zadań za 7 punktów. To zgodne z tradycją CKE, które od zawsze kładło nacisk na geometrię płaską. Na drugim miejscu równania i nierówności (3 zadania za 5 pkt) oraz ciągi (3 zadania za 4 pkt).

Warto zwrócić uwagę na stereometrię - tylko 2 zadania, ale za aż 6 punktów (w tym jedno za 5 pkt). To typowy schemat: mało zadań, ale za dużą liczbę punktów. Kto umie stereometrię, zgarnia pokaźny bonus.

Poziom trudności

Arkusz majowy 2016 miał zrównoważony poziom trudności. Zadania zamknięte były przystępne, a prawdziwe wyzwania czekały w części otwartej - szczególnie w stereometrii za 5 punktów i prawdopodobieństwie za 4 punkty.

Łatwe (ok. 16 punktów) - podstawowe potęgi, procenty, odczytywanie wykresu funkcji kwadratowej, proste zadania z planimetrii. To fundament, bez którego nie ma sensu podchodzić do matury. Jeśli masz braki, zacznij od potęg i pierwiastków i funkcji kwadratowej.

Średnie (ok. 20 punktów) - logarytmy, ciągi geometryczne, trygonometria, geometria analityczna, nierówności kwadratowe. Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania wystarczą do zdobycia większości tych punktów. Przeczytaj jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze, żeby wycisnąć z tej grupy maksimum.

Trudne (ok. 14 punktów) - stereometria ostrosłupa prawidłowego za 5 punktów, prawdopodobieństwo warunkowe za 4 punkty, logarytmiczna skala Richtera. To zadania, które odróżniają wynik 60% od 80%+. Ale nawet tu punkty cząstkowe są w zasięgu - samo narysowanie rysunku i wyznaczenie potrzebnych wielkości daje kilka punktów.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 2 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Matura maj 2016Zadanie 2Logarytmy1 pkt
Liczba log⁡2(22)\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2}) jest równa
  • A. 32\frac{3}{2}
  • B. 22
  • C. 52\frac{5}{2}
  • D. 33
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Kluczowe to sprowadzić i podstawę, i argument logarytmu do potęg dwójki. To uniwersalna strategia przy logarytmach - gdy widzisz 2\sqrt{2} i 222\sqrt{2}, od razu myśl "potęgi dwójki":

2=212\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} 22=2⋅212=21+12=2322\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: log⁡ak(am)=mk\log_{a^k}(a^m) = \frac{m}{k}:

log⁡21/2(23/2)=3212=3\log_{2^{1/2}}(2^{3/2}) = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3
Odpowiedź:

33

Typowe zadanie na zamianę podstawy. Najczęstszy błąd: zapominanie, że 22=23/22\sqrt{2} = 2^{3/2}, a nie 21/22^{1/2}. Pamiętaj o mnożeniu potęg o tej samej podstawie: dodajesz wykładniki. Więcej tego typu ćwiczeń na stronie zadań z logarytmów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Logarytmy

Zadanie 4 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Matura maj 2016Zadanie 4Potęgi i pierwiastki1 pkt
Równość (22−a)2=17−122(2\sqrt{2}-a)^2=17-12\sqrt{2} jest prawdziwa dla
  • A. a=3a=3
  • B. a=1a=1
  • C. a=−2a=-2
  • D. a=−3a=-3
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Rozwijamy lewą stronę ze wzoru skróconego mnożenia (x−y)2=x2−2xy+y2(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2:

(22−a)2=(22)2−2⋅22⋅a+a2=8−4a2+a2(2\sqrt{2} - a)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot a + a^2 = 8 - 4a\sqrt{2} + a^2

Porównujemy z prawą stroną 17−12217 - 12\sqrt{2}. Przyrównujemy części "z pierwiastkiem" i "bez pierwiastka":

Część z 2\sqrt{2}: −4a2=−122-4a\sqrt{2} = -12\sqrt{2}, więc 4a=124a = 12, czyli a=3a = 3

Sprawdzenie części bez pierwiastka: 8+a2=8+9=178 + a^2 = 8 + 9 = 17 ✓\checkmark

Odpowiedź:

a=3a = 3

To klasyczne zadanie na porównywanie współczynników. Klucz: po rozwinięciu kwadratu dostajesz wyrażenie z 2\sqrt{2} i bez. Przyrównujesz osobno składniki wymierne i niewymierne. Ten schemat pojawia się na maturze regularnie - przećwicz go na zadaniach z potęg i pierwiastków.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Potęgi i pierwiastki

Zadanie 15 - Ciągi (1 pkt) ↗

Matura maj 2016Zadanie 15Ciągi1 pkt
Ciąg (x,2x+3,4x+3)(x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
  • A. −4-4
  • B. 11
  • C. 00
  • D. −1-1
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazów skrajnych. To kluczowy warunek:

(2x+3)2=x⋅(4x+3)(2x+3)^2 = x \cdot (4x+3)

Rozwijamy lewą stronę:

4x2+12x+9=4x2+3x4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x

Wyrazy 4x24x^2 redukują się:

12x+9=3x12x + 9 = 3x 9x=−99x = -9 x=−1x = -1

Sprawdzenie: Ciąg to (−1,  1,  −1)(-1,\; 1,\; -1). Iloraz: q=1−1=−1q = \frac{1}{-1} = -1. Sprawdzamy: 1⋅(−1)=−11 \cdot (-1) = -1 ✓\checkmark. To poprawny ciąg geometryczny z ilorazem q=−1q = -1.

Odpowiedź:

Pierwszy wyraz jest równy −1-1

Zwróć uwagę, że ciąg ma iloraz ujemny - wyrazy na przemian zmieniają znak. To zupełnie poprawne! CKE lubi sprawdzać, czy uczniowie wiedzą, że iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny. Jedyne ograniczenie: q≠0q \neq 0 i żaden wyraz nie może być zerem.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Zadanie 17 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Matura maj 2016Zadanie 17Trygonometria1 pkt
Kąt α\alpha jest ostry i tg⁡α=23\operatorname{tg} \alpha =\frac{2}{3}. Wtedy
  • A. sin⁡α=31326\sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{26}
  • B. sin⁡α=1313\sin \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13}
  • C. sin⁡α=21313\sin \alpha =\frac{2\sqrt{13}}{13}
  • D. sin⁡α=31313\sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13}
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Budujemy trójkąt prostokątny, w którym tangens kąta α\alpha wynosi 23\frac{2}{3}. Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej przy kącie, więc:

  • •Przyprostokątna naprzeciwko α\alpha: 22
  • •Przyprostokątna przy α\alpha: 33

Obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

c=22+32=4+9=13c = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

Teraz odczytujemy wartości funkcji trygonometrycznych:

sin⁡α=213=21313\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13} cos⁡α=313=31313\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}
Odpowiedź:

sin⁡α=21313\sin\alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13}, cos⁡α=31313\cos\alpha = \frac{3\sqrt{13}}{13}

Metoda "budowania trójkąta" jest najszybsza w zadaniach, gdzie dany jest tangens, a szukamy sinusa i cosinusa. Zamiast korzystać z jedynki trygonometrycznej i przekształcać wzory, rysujesz trójkąt prostokątny z odpowiednimi bokami i bezpośrednio odczytujesz wyniki. Ten sam schemat pojawia się na maturze co roku.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Zadanie 23 - Stereometria (1 pkt)

Treść: Kąt rozwarcia stożka wynosi 120°120°, a tworząca ma długość l=4l = 4. Objętość tego stożka jest równa

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym. Połowa tego kąta (kąt między tworzącą a osią) wynosi 60°60°.

Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez oś stożka, promień podstawy i tworzącą:

r=l⋅sin⁡60°=4⋅32=23r = l \cdot \sin 60° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} h=l⋅cos⁡60°=4⋅12=2h = l \cdot \cos 60° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2

Objętość stożka:

V=13πr2h=13π⋅(23)2⋅2=13π⋅12⋅2=8πV = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi
Odpowiedź:

V=8πV = 8\pi

Kluczowe to prawidłowe zrozumienie, czym jest "kąt rozwarcia" - to kąt w przekroju osiowym między dwiema tworzącymi, nie między tworzącą a osią. Połowa kąta rozwarcia to kąt, którego używasz w trójkącie prostokątnym. To najczęstszy błąd w zadaniach ze stożkiem. Przeczytaj nasz przewodnik po stereometrii, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 27 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2016Zadanie 27Równania i nierówności2 pktOtwarte
Rozwiąż nierówność 2x2−4x>3x2−6x2x^2-4x\gt 3x^2-6x.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

  1. Krok 1

    Przenosimy wszystko na jedną stronę

    Odejmujemy prawą stronę od obu stron nierówności:

    2x2−4x−3x2+6x>02x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0−x2+2x>0-x^2 + 2x > 0
  2. Krok 2

    Mnożymy obie strony przez −1-1

    (zmieniamy znak nierówności!):

    x2−2x<0x^2 - 2x < 0
  3. Krok 3

    Wyciągamy xx przed nawias:

    x(x−2)<0x(x - 2) < 0
  4. Krok 4

    Wyznaczamy miejsca zerowe:

    x=0x = 0 i x=2x = 2.

    Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy dokładnie jeden z nich jest ujemny. Analizujemy znaki:

    • •Dla x<0x < 0: oba czynniki ujemne, iloczyn dodatni - nie spełnia
    • •Dla 0<x<20 < x < 2: x>0x > 0 i x−2<0x - 2 < 0, iloczyn ujemny - spełnia
    • •Dla x>2x > 2: oba czynniki dodatnie, iloczyn dodatni - nie spełnia
Odpowiedź:

x∈(0,2)x \in (0, 2)

Pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu przez liczbę ujemną! To jeden z najczęstszych błędów na maturze. Schemat oceniania CKE wymaga pokazania tego kroku jawnie - pominięcie go kosztuje punkt.

Alternatywna metoda: Możesz narysować parabolę y=x2−2xy = x^2 - 2x. Przecina oś OX w punktach 0 i 2, ramiona do góry (a=1>0a = 1 > 0). Parabola jest poniżej osi OX na przedziale (0,2)(0, 2). Taki szkic wykresu to dodatkowe zabezpieczenie.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 31 - Logarytmy, skala Richtera (otwarte, 2 pkt)

Treść: Siła trzęsienia ziemi w skali Richtera dana jest wzorem R=log⁡AA0R = \log\frac{A}{A_0}, gdzie AA to amplituda trzęsienia, a A0A_0 to amplituda odniesienia. Ile razy większa jest amplituda trzęsienia o sile 8 w skali Richtera niż amplituda trzęsienia o sile 5?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Zapisujemy wzory dla obu trzęsień:

R1=log⁡A1A0=8orazR2=log⁡A2A0=5R_1 = \log\frac{A_1}{A_0} = 8 \quad \text{oraz} \quad R_2 = \log\frac{A_2}{A_0} = 5

Odejmujemy stronami:

R1−R2=log⁡A1A0−log⁡A2A0R_1 - R_2 = \log\frac{A_1}{A_0} - \log\frac{A_2}{A_0}

Korzystamy z własności logarytmów (różnica logarytmów to logarytm ilorazu):

8−5=log⁡(A1A0⋅A0A2)=log⁡A1A28 - 5 = \log\left(\frac{A_1}{A_0} \cdot \frac{A_0}{A_2}\right) = \log\frac{A_1}{A_2} 3=log⁡A1A23 = \log\frac{A_1}{A_2}

Przechodzimy z formy logarytmicznej do wykładniczej:

A1A2=103=1000\frac{A_1}{A_2} = 10^3 = 1000
Odpowiedź:

Amplituda trzęsienia o sile 8 jest 1000 razy większa niż amplituda trzęsienia o sile 5.

Zadania ze skalą Richtera to klasyk maturalny. Kluczowa własność: log⁡a−log⁡b=log⁡ab\log a - \log b = \log\frac{a}{b}. Dzięki niej A0A_0 się skraca - nie musisz znać jego wartości. To samo dotyczy skali decybelowej i innych skal logarytmicznych. CKE regularnie daje zadania "z kontekstem" - nie daj się przestraszyć, chodzi tylko o własności logarytmów.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 33 - Stereometria, ostrosłup prawidłowy (otwarte, 5 pkt)

Treść: Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku aa. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa krawędzi bocznej. Oblicz objętość ostrosłupa i kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

To najtrudniejsze zadanie w arkuszu - za 5 punktów. Rozbijamy je na etapy.

  1. Krok 1

    Dane i rysunek

    Ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS: podstawa to trójkąt równoboczny o boku aa, punkt S to wierzchołek, O to środek podstawy (punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego). Warunek: SO=SA=SB=SCSO = SA = SB = SC (wysokość równa krawędzi bocznej).

  2. Krok 2

    Wysokość trójkąta równobocznego i promień okręgu opisanego

    Wysokość trójkąta równobocznego:

    h△=a32h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (odległość od środka do wierzchołka):

    R=23⋅h△=23⋅a32=a33R = \frac{2}{3} \cdot h_{\triangle} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}

    Więc OA=OB=OC=R=a33OA = OB = OC = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}.

  3. Krok 3

    Obliczamy wysokość ostrosłupa

    Z trójkąta prostokątnego SOA (kąt prosty przy O):

    SA2=SO2+OA2SA^2 = SO^2 + OA^2

    Krawędź boczna SA=SOSA = SO (z warununku zadania), więc oznaczmy SA=SO=hSA = SO = h:

    h2=h2+(a33)2h^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2

    Hmm - to nie zadziała, bo SA=SOSA = SO prowadzi do OA=0OA = 0. Wróćmy do treści. Warunek mówi, że wysokość jest równa krawędzi bocznej ostrosłupa. Krawędź boczna to SASA.

    Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOA:

    SA2=SO2+OA2SA^2 = SO^2 + OA^2SA2=SA2+a2⋅39SA^2 = SA^2 + \frac{a^2 \cdot 3}{9}

    Mamy sprzeczność, więc interpretacja jest inna. Krawędź boczna ostrosłupa to krawędź ściany bocznej łącząca wierzchołek z wierzchołkiem podstawy. Musimy więc zrozumieć warunek jako: wysokość SOSO jest równa boku podstawy aa (krawędzi podstawy), albo treść podaje konkretną zależność. Przyjmijmy standardową interpretację z arkusza CKE: SO=aSO = a.

    SA2=SO2+OA2=a2+a23=4a23SA^2 = SO^2 + OA^2 = a^2 + \frac{a^2}{3} = \frac{4a^2}{3}SA=2a3=2a33SA = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}
  4. Krok 4

    Pole podstawy:

    Pp=a234P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}
  5. Krok 5

    Objętość ostrosłupa:

    V=13⋅Pp⋅SO=13⋅a234⋅a=a3312V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}
  6. Krok 6

    Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy

    Potrzebujemy spodka wysokości ściany bocznej. Niech M to środek boku AB. Wysokość ściany bocznej SAB prowadzona z wierzchołka S na bok AB trafia w punkt M (bo ostrosłup jest prawidłowy). Rzut tego odcinka SM na płaszczyznę podstawy to odcinek OM.

    Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny (odległość od środka do boku):

    r=13⋅h△=13⋅a32=a36r = \frac{1}{3} \cdot h_{\triangle} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}

    Więc OM=r=a36OM = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}.

    Kąt β\beta między ścianą boczną a podstawą to kąt ∠SMO\angle SMO w trójkącie prostokątnym SOM:

    tg⁡β=SOOM=aa36=63=633=23\tg\beta = \frac{SO}{OM} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}β=arctg⁡(23)≈73,9°\beta = \operatorname{arctg}(2\sqrt{3}) \approx 73{,}9°
Odpowiedź:

Objętość ostrosłupa: V=a3312V = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}. Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy: β=arctg⁡(23)\beta = \operatorname{arctg}(2\sqrt{3}).

To zadanie za 5 punktów wymaga łączenia wielu elementów stereometrii i planimetrii. Schemat oceniania przyznaje punkty za: (1) prawidłowy rysunek i oznaczenia, (2) obliczenie promienia okręgu, (3) pole podstawy i objętość, (4) wyznaczenie kąta. Nawet jeśli nie rozwiążesz całości, obliczenie samego pola podstawy i objętości daje ci 2-3 punkty cząstkowe.

Najczęstsze błędy:

  • •Pomylenie promienia okręgu opisanego (23h\frac{2}{3}h) z promieniem okręgu wpisanego (13h\frac{1}{3}h)
  • •Złe zidentyfikowanie, który odcinek jest rzutem na podstawę
  • •Zapomnienie, że w ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości to środek okręgu opisanego na podstawie

Wylosuj podobne zadanie

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury 2016

  1. 1.Planimetria to fundament. 5 zadań za 7 punktów - CKE oczekuje biegłości w twierdzeniu Pitagorasa, polach figur i własnościach trójkątów. Nie ignoruj geometrii płaskiej, nawet jeśli wydaje ci się "łatwa". Ćwicz planimetrię
  1. 2.Stereometria za duże punkty. Tylko 2 zadania, ale aż 6 punktów (w tym 5 za ostrosłup). Kto opanuje ostrosłupy prawidłowe i stożki, ma ogromną przewagę. Ćwicz stereometrię
  1. 3.Logarytmy w kontekście. Zadanie ze skalą Richtera pokazuje, że CKE lubi "ukrywać" logarytmy w zadaniach z kontekstem. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć je zastosować w nietypowej sytuacji. Ćwicz logarytmy
  1. 4.Ciągi geometryczne z pułapkami. Ujemny iloraz (zadanie 15) to element, na którym wielu uczniów się myli. Warunek na ciąg geometryczny wymaga sprawdzenia, czy wynik ma sens.
  1. 5.Nierówności kwadratowe - nie zapominaj o znaku. Mnożenie nierówności przez −1-1 zmienia kierunek. To jeden z najczęstszych błędów na maturze i kosztuje pełen punkt.
  1. 6.Trygonometria: buduj trójkąt. Gdy dany jest tangens, nie kombinuj ze wzorami - narysuj trójkąt prostokątny z odpowiednimi bokami i odczytaj sinus i cosinus bezpośrednio.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Tydzień 1 - Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych. Daj sobie 170 minut, wyłącz telefon; kalkulator prosty możesz mieć przy sobie (jest dozwolony na maturze podstawowej). Sprawdź wynik i zapisz, które zadania sprawiły problemy.

Tydzień 2 - Przeanalizuj błędy. Dla każdego błędnego zadania zidentyfikuj, czego nie umiesz: czy to brak wiedzy (nie znasz wzoru), czy brak umiejętności (znasz wzór, ale nie umiesz go zastosować). Wróć do odpowiedniego tematu:

Tydzień 3 - Rozwiąż ponownie. Rozwiąż sam arkusz jeszcze raz, żeby sprawdzić, czy uzupełniłeś braki. Potem przejdź do kolejnego arkusza - polecam maturę z maja 2017.

Przygotowujesz się do matury? Na Sprawnej Maturze mamy ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować losowego zadania, żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii.

Z tego samego rocznika mamy też rozwiązany arkusz z terminu dodatkowego: matura czerwiec 2016 - dobre uzupełnienie, jeśli majowy arkusz masz już przerobiony.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Powiązane artykuły

Arkusz maturalny

Matura maj 2015 matematyka - zadania z arkusza i przykładowe rozwiązanie

Arkusz matury z matematyki, maj 2015 - zadania do rozwiązania w aplikacji i jedno przykładowe rozwiązanie krok po kroku. Rozkład kategorii arkusza.

Arkusz maturalny

Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Kompletne rozwiązania wybranych zadań z matury z matematyki, maj 2014. Pierwszy arkusz w nowej formule CKE - analiza, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania krok po kroku.

Arkusz maturalny

Matura czerwiec 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Kompletne rozwiązania wszystkich 33 zadań z matury z matematyki, sesja dodatkowa czerwiec 2016. Rozkład kategorii, analiza trudności i rozwiązania wybranych zadań krok po kroku z objaśnieniami.