Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

W podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest zawsze trójkąt równoboczny (co zresztą jest jeszcze potwierdzone w treści zadania), więc każdą długość jego krawędzi podstawy oznaczmy sobie jako niewiadomą a.

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy ze wzoru na objętość.

Wzór na objętość ostrosłupa to V=1/3 · P_p · H. Potrzebujemy więc znać pole podstawy i wysokość bryły.

a) Pole powierzchni trójkąta równobocznego (będącego podstawą bryły) możemy zapisać jako P_p=a²√(3)/4.

b) Wysokość ostrosłupa jest zgodnie z treścią zadania równa wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego też jest nam znany, stąd H=h=a√(3)/2.

c) Objętość mamy podaną w treści zadania i jest ona równa 27.

Podstawiając te wszystkie informacje do wzoru na objętość otrzymamy:

V=1/3 · P_p · H 27=1/3 · a²√(3)/4 · a√(3)/2 27=a³ · √(3) · √(3)/24 27=3a³/24 27=a³/8 a³=27 · 8 a³=216 a=6

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Znając już wartość długości krawędzi podstawy możemy zapisać wysokość ostrosłupa (i tym samym wysokość trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie) w formie konkretnej liczby:

H=a√(3)/2 H=6√(3)/2 H=3√(3)

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej, czyli odcinka |DS|.

Aby obliczyć pole powierzchni ściany bocznej ostrosłupa (bo o nią proszą nas w zadaniu) potrzebujemy znać długość podstawy (tą już mamy wyliczoną) oraz wysokość ściany bocznej - i to właśnie ją teraz sobie policzymy.

Do wyznaczenia wysokości ściany bocznej posłużymy się trójkątem prostokątnym DOS. Odcinek DO zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego stanowi 1/3 długości wysokości trójkąta, czyli:

|DO|=1/3 h |DO|=1/3 · 3√(3) |DO|=√(3)

Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:

|DO|²+|OS|²=|DS|² (√(3))²+(3√(3))²=|DS|² 3+9 · 3=|DS|² |DS|²=30 |DS|=√(30)

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.

Pamiętając o tym, że mamy trzy trójkąty w ścianach bocznych, to pole powierzchni bocznej jest równe:

P_b=1/2 · a · |DS| · 3 P_b=1/2 · 6 · √(30) · 3 P_b=9√(30)

Krok 6. Obliczenie cosinusa kąta SDB.

Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze podać wartość cosinusa jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa. W naszym przypadku będzie to kąt SDB:

cos∢SDB=|DO|/|DS| cos∢SDB=√(3)/√(30)

Usuwając jeszcze niewymierność z mianownika otrzymamy:

cos∢SDB=√(3) · √(30)/(√(30) · √(30))=√(90)/30= =√(9 · 10)/30=3√(10)/30=√(10)/10