Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności P, jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.14
- B.2√(33)
- C.4√(33)
- D.12
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Krok 1. Obliczenie długości odcinka PO₁.
Musimy dostrzec, że powstały trójkąt jest prostokątny. Skoro tak, to będziemy mogli skorzystać w nim z Twierdzenia Pitagorasa. Musimy też zauważyć, że odcinek PO₂ ma długość równą 4, bo jest to po prostu promień naszego okręgu. Skoro tak, to możemy teraz wyznaczyć długość przyprostokątnej PO₁:
a²+b²=c² |PO₂|²+|PO₁|²=|O₁O₂|² 4²+|PO₁|²=7² 16+|PO₁|²=49 |PO₁|²=33 |PO₁|=√(33)
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.
Obliczona przez nas długość odcinka |PO₁|=√(33) jest jednocześnie wysokością naszego trójkąta prostokątnego o podstawie |PO₂|=4. Pole powierzchni tej figury jest więc równe:
P=1/2 · |PO₂| · |PO₁| P=1/2 · 4 · √(33) P=2√(33)
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.