Kąt α jest ostry i tg α=2/3. Wtedy

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2016-17.png]

Zanim zaczniemy liczyć to mała podpowiedź. Jeśli nie umiemy obliczyć tego zadania w matematyczny sposób, to wystarczy w tablicach sprawdzić jaki kąt ostry ma tangens równy (lub bliski) 2/3. Następnie jeśli już wiemy jaki to jest mniej więcej kąt to możemy sprawdzić w tablicach jaką wartość przyjmuje on dla funkcji sinus. Na koniec na kalkulatorze sprawdzimy która z tych czterech odpowiedzi daje przybliżenie najbliższe odczytowi z tablicy i tak oto zadanie będzie rozwiązane poprawnie. Zobaczmy jednak jak do tego zadania podejść w sposób matematyczny.

Krok 2. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.

Z trygonometrii wiemy, że tgα=sinα/cosα. Użyjemy tej własności, bo musimy doprowadzić nasz wynik do sinusa. Zatem:

tgα=2/3 sinα/cosα=2/3

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:

3sinα=2cosα

Krok 3. Obliczenie wartości sinusa przy użyciu jedynki trygonometrycznej.

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że sin²α+cos²α=1. To oznacza, że moglibyśmy sobie wyznaczyć z równania z pierwszego kroku wartość cosinusa, a następnie podstawilibyśmy ją do jedynki trygonometrycznej i wtedy otrzymalibyśmy wartość sinusa. Zatem:

3sinα=2cosα cosα=3/2 sinα

Podstawiamy teraz to do jedynki trygonometrycznej:

sin²α+cos²α=1 sin²α+(3/2 sinα)²=1 sin²α+9/4 sin²α=1 13/4 sin²α=1 / · 4/13 sin²α=4/13 sinα=√(4/13)=√(4)/√(13)=2/√(13)=2√(13)/13

(Z racji tego iż kąt α jest ostry to nie bierzemy pod uwagę ujemnego rozwiązania, które wyszłoby nam z równania kwadratowego sin²α=4/13, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie).