Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2n²+2n dla n ≥ 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.
Jeżeli pierwszy wyraz ciągu zapiszemy jako a_n, to drugim wyrazem będzie a_(n+1). Wartość a_n jest podana w treści zadania, natomiast a_(n+1) obliczymy podstawiając n+1 w miejsce n. W związku z tym:
S=a_n+a_(n+1) S=2n²+2n+2(n+1)²+2(n+1) S=2n²+2n+2(n²+2n+1)+2n+2 S=2n²+2n+2n²+4n+2+2n+2 S=4n²+8n+4
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: (a+b)²=a²+2ab+b². Zgodnie z tym wzorem:
S=4n²+8n+4=(2n+2)²
2n+2 jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że n ∈ N, a liczba naturalna pomnożona przez 2 i powiększona o 2 dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.