Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G. Na przeciwprostokątnej BC wyznaczono punkty E i F takie, że |∢DEC|=|∢BGF|=90° (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt CDE jest podobny do trójkąta FBG.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKERozpatrzmy najpierw trójkąty ABC oraz FBG. Oba są prostokątne i mają wspólny kąt ∢GBF. Możemy sobie ten kąt oznaczyć jako α (patrz: rysunek). Skoro te dwie miary kątów w tych trójkątach (kąt prosty oraz kąt α) są jednakowe, to znaczy że także trzeci kąt ma jednakową miarę, czyli możemy zapisać, że |∢GFB|=|∢ACB|=β. Mamy więc w tym momencie następującą sytuację:
To teraz spójrzmy na trójkąt CDE. Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie, są one dokładnie takie same jak w trójkącie FBG, a więc i trzeci kąt musi być jednakowy, nie ma innej możliwości. Dzięki temu wiemy, że na pewno także |∢CDE|=α. To w zasadzie kończy nasze dowodzenie, bo udowodniliśmy, że trójkąty te są podobne na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.