Matura maj 2018 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2018

Matura z matematyki z maja 2018 to jeden z najczęściej wybieranych arkuszy do ćwiczeń. Dlaczego? Bo trafił w punkt pod względem trudności - zadania zamknięte były przystępne, ale nie banalne, a otwarte naprawdę sprawdzały umiejętność rozumowania.

Arkusz składał się z 25 zadań zamkniętych (po 1 punkcie) oraz 9 zadań otwartych (za 2-5 punktów). Łącznie do zdobycia było 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów - ale jeśli ćwiczysz ten arkusz, celuj w więcej.

W porównaniu z maturą z maja 2017 był nieco łatwiejszy w części zamkniętej, ale zadania otwarte za 4-5 punktów wymagały solidnej wiedzy ze stereometrii i funkcji kwadratowej. Z kolei matura maj 2019 poszła dalej w stronę geometrii analitycznej.

Poniżej znajdziesz analizę arkusza, rozwiązania wybranych zadań krok po kroku i pełną listę wszystkich 34 zadań z linkami do interaktywnych rozwiązań.

Rozkład kategorii w arkuszu

Aż 4 kategorie dawały po 5 i więcej punktów: funkcja kwadratowa (7 pkt), planimetria (6 pkt), równania i nierówności (5 pkt), stereometria (5 pkt) i prawdopodobieństwo (5 pkt). To typowy rozkład CKE - kluczowe działy matematyki są konsekwentnie nagradzane.

Zwróć uwagę na funkcję kwadratową - 3 zadania za 7 punktów. To prawie 15% całego arkusza. Jeśli dobrze opanujesz ten temat, masz spory zapas punktowy. Przeczytaj nasz przewodnik po funkcji kwadratowej, żeby mieć wszystkie wzory pod ręką.

Poziom trudności

Łatwe (ok. 18 punktów) - zadania zamknięte z logarytmów, procentów, potęg, funkcji liniowej, odczytywania danych z wykresu. Tutaj wystarczy znajomość podstawowych wzorów i spokojne rachunki. Jeśli te zadania sprawiają ci trudność, zacznij od powtórki potęg i pierwiastków i logarytmów.

Średnie (ok. 18 punktów) - ciągi, nierówności kwadratowe, planimetria (zadania zamknięte i otwarte za 2 pkt), geometria analityczna. Tu potrzebujesz pewności w stosowaniu wzorów i umiejętności rozrysowania problemu. Kluczowe materiały: ciągi arytmetyczne i geometryczne, równania i nierówności.

Trudne (ok. 14 punktów) - dowód nierówności (zad. 28), prawdopodobieństwo za 5 punktów, stereometria za 4 punkty (zad. 34), funkcja kwadratowa w kontekście parametrycznym. Te zadania odróżniają wynik 60% od 80%+. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, walcz o punkty cząstkowe - samo narysowanie rysunku i wyznaczenie podstawowych wielkości daje punkty. Przygotuj się z przewodnikiem po stereometrii i prawdopodobieństwa.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Liczba $2\log_36-\log_34$ jest równa

A) $\log_38$ B) $2\log_32$ C) $4$ D) $2$

Rozwiązanie:

Kluczowa własność: jeśli przed logarytmem stoi współczynnik, można go "wciągnąć" jako potęgę argumentu. To jedna z najważniejszych tożsamości logarytmicznych:

$$2\log_36 = \log_36^2 = \log_336$$

Teraz korzystamy z własności różnicy logarytmów (logarytm ilorazu):

$$\log_336 - \log_34 = \log_3\frac{36}{4} = \log_39$$

A $\log_39 = \log_33^2 = 2$.

Odpowiedź: D) 2

To klasyczne zadanie na własności logarytmów - pojawia się na niemal każdej maturze. Najczęstszy błąd? Próba obliczania $\log_36$ jako liczby dziesiętnej. Nie próbuj - korzystaj z tożsamości. Przeczytaj przewodnik po logarytmach, żeby mieć wszystkie własności w jednym miejscu.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 4 - Procenty (1 pkt) ↗

Treść: Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką rower kosztował

A) 1000 zł B) 977,50 zł C) 865 zł D) 850,15 zł

Rozwiązanie:

Obniżka o 15% oznacza, że cena po obniżce to 85% ceny początkowej. Oznaczmy cenę przed obniżką jako $x$:

$$0{,}85 \cdot x = 850$$ $$x = \frac{850}{0{,}85} = 1000 \text{ zł}$$

Odpowiedź: A) 1000 zł

Typowa pułapka w zadaniach procentowych: uczniowie liczą 15% z 850 i dodają do 850, co daje 977,50 zł (odpowiedź B). To błąd! 15% obliczasz od ceny przed obniżką, nie po. Pamiętaj zasadę: obniżka o $p\%$ daje cenę $(1 - p/100) \cdot x$, gdzie $x$ to cena początkowa.

Alternatywna metoda: 85% to 850 zł, więc 1% to $850/85 = 10$ zł, a 100% to 1000 zł.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 9 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) ↗

Treść: Wykresem funkcji $f(x) = x^2 - 6x - 3$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych

Rozwiązanie:

Wierzchołek paraboli $f(x) = ax^2 + bx + c$ ma współrzędne $W = (p, q)$, gdzie:

$$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$ $$q = f(p) = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 - 3 = 9 - 18 - 3 = -12$$

Odpowiedź: W = (3, -12)

To absolutna podstawa - wyznaczanie wierzchołka paraboli. Pojawia się na maturze co roku. Masz dwa sposoby obliczenia $q$: albo podstawić $p$ do wzoru funkcji (jak powyżej), albo użyć wzoru $q = -\Delta / (4a)$. Pierwsza metoda jest prostsza i mniej narażona na błędy rachunkowe.

Częsty błąd: pomylenie znaku w obliczaniu $p$. Wzór to $-b/(2a)$, a nie $b/(2a)$. Przy $b = -6$ mamy $-(-6) = 6$, nie $-6$. Przeczytaj kompletny przewodnik po funkcji kwadratowej.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 13 - Ciągi (1 pkt) ↗

Treść: Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, w którym $a_1 = \sqrt{2}$ i $a_2 = 2\sqrt{2}$.

Rozwiązanie:

W ciągu geometrycznym iloraz $q$ obliczamy jako stosunek kolejnych wyrazów:

$$q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$$

Znając iloraz, możemy obliczyć kolejne wyrazy. Na przykład:

$$a_3 = a_2 \cdot q = 2\sqrt{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}$$ $$a_4 = a_3 \cdot q = 4\sqrt{2} \cdot 2 = 8\sqrt{2}$$

Ogólnie: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = \sqrt{2} \cdot 2^{n-1}$.

Kluczowa obserwacja: Ciąg geometryczny z $q = 2$ rośnie bardzo szybko. $\sqrt{2} \cdot 2^{n-1}$ można też zapisać jako $2^{1/2} \cdot 2^{n-1} = 2^{n - 1/2}$. Taki zapis bywa przydatny, gdy odpowiedzi są podane w postaci potęg dwójki.

Zadania na ciąg geometryczny to pewniaki maturalne. Pamiętaj dwa wzory: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ i $S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ (dla $q \neq 1$). Więcej o ciągach arytmetycznych i geometrycznych.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 20 - Stereometria (1 pkt) ↗

Treść: Podstawą ostrosłupa jest kwadrat KLMN o boku 4. Wysokość ostrosłupa to krawędź NS o długości 6. Objętość tego ostrosłupa jest równa...

Rozwiązanie:

Mamy ostrosłup o podstawie kwadratowej z bokiem $a = 4$ i wysokością $h = 6$.

Pole podstawy (kwadratu):

$$P_p = a^2 = 4^2 = 16$$

Objętość ostrosłupa:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 6 = \frac{96}{3} = 32$$

Odpowiedź: V = 32

To proste zadanie na stereometrię - wystarczy znać wzór na objętość ostrosłupa. Kluczowe: krawędź NS jest wysokością ostrosłupa, co oznacza, że jest prostopadła do podstawy. Gdyby to była krawędź boczna (a nie wysokość), zadanie wyglądałoby zupełnie inaczej - musielibyśmy najpierw obliczyć wysokość z twierdzenia Pitagorasa.

Wskazówka: Na maturze zawsze czytaj uważnie, co jest wysokością, a co krawędzią boczną. To najczęstszy powód błędów w stereometrii. Przeczytaj przewodnik po stereometrii i przećwicz na zadaniach z ostrosłupów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 26 - Nierówność kwadratowa (2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $2x^2 - 3x > 5$.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Sprowadzenie do postaci standardowej. Przenosimy 5 na lewą stronę:

$$2x^2 - 3x - 5 > 0$$

Krok 2 - Wyznaczenie miejsc zerowych. Rozwiązujemy równanie $2x^2 - 3x - 5 = 0$:

$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$ $$\sqrt{\Delta} = 7$$ $$x_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$x_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$$

Krok 3 - Odczytanie rozwiązania. Współczynnik $a = 2 > 0$, więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Nierówność $> 0$ jest spełniona "na zewnątrz" pierwiastków:

$$x \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)$$

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)$

To jedno z najważniejszych zadań otwartych na maturze. Schemat oceniania daje punkty za: (1) poprawne wyznaczenie miejsc zerowych i (2) poprawne zapisanie odpowiedzi z uwzględnieniem znaku $a$. Nawet jeśli pomylisz się w rachunkach, poprawny schemat rozwiązania daje punkt cząstkowy.

Częsty błąd: odwrócenie nierówności. Przy $a > 0$ i nierówności $> 0$ odpowiedź to "na zewnątrz" (suma dwóch przedziałów). Przy nierówności $< 0$ byłby to przedział "wewnątrz" (między pierwiastkami). Narysuj sobie parabolę - wtedy jest to oczywiste. Przeczytaj więcej o równaniach i nierównościach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 28 - Dowód nierówności (2 pkt) ↗

Treść: Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ zachodzi nierówność:

$$\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} \geq \frac{1}{a+b}$$

Rozwiązanie:

Metoda 1 - algebraiczna (najprostsza na maturze):

Sprowadzamy lewą stronę do wspólnego mianownika:

$$\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} = \frac{b + a}{2ab} = \frac{a+b}{2ab}$$

Musimy pokazać, że:

$$\frac{a+b}{2ab} \geq \frac{1}{a+b}$$

Ponieważ $a, b > 0$, to $2ab > 0$ i $a + b > 0$. Mnożymy obie strony przez $2ab(a+b) > 0$ (nierówność nie zmienia zwrotu):

$$(a+b)^2 \geq 2ab$$

Rozwijamy lewą stronę:

$$a^2 + 2ab + b^2 \geq 2ab$$ $$a^2 + b^2 \geq 0$$

Ta nierówność jest zawsze prawdziwa, bo suma kwadratów dwóch liczb rzeczywistych jest nieujemna. Równość zachodzi tylko gdy $a = b = 0$, ale z założenia $a, b > 0$, więc nierówność jest ostra. $\square$

Metoda 2 - przez nierówność między średnią arytmetyczną a harmoniczną:

Dla $a, b > 0$ zachodzi nierówność AM-HM: średnia arytmetyczna jest nie mniejsza od harmonicznej. Ale na maturze podstawowej metoda algebraiczna jest pewniejsza - nie musisz powoływać się na twierdzenia, które mogą nie być w podstawie programowej.

Wskazówka egzaminacyjna: W zadaniach dowodowych CKE oczekuje pełnego, logicznego ciągu implikacji. Najczęstszy schemat: sprowadź nierówność do postaci $a^2 + b^2 \geq 0$ lub $(a-b)^2 \geq 0$. Ten trik działa w większości maturalnych dowodów nierówności.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 34 - Stereometria, graniastosłup (4 pkt) ↗

Treść: Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma pole powierzchni całkowitej równe pewnej wartości. Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Oznaczmy krawędź podstawy jako $a$. Krawędź boczna (czyli wysokość graniastosłupa prawidłowego) to $H = 2a$.

Krok 1 - Pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku $a$:

$$P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2 - Pole powierzchni bocznej. Graniastosłup ma 3 ściany boczne, każda jest prostokątem $a \times H = a \times 2a$:

$$P_b = 3 \cdot a \cdot 2a = 6a^2$$

Krok 3 - Pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 2P_p + P_b = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 6a^2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 6a^2$$

Jeśli znamy wartość $P_c$ z treści, wyznaczamy $a$ z tego równania.

Krok 4 - Objętość:

$$V = P_p \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \frac{a^3\sqrt{3}}{2}$$

Po wyznaczeniu $a$ z kroku 3, podstawiamy do wzoru na objętość.

Schemat punktowania CKE: (1) pole podstawy - trójkąt równoboczny, (2) pole boczne i zależność $H = 2a$, (3) wyznaczenie $a$ z pola całkowitego, (4) objętość. Nawet jeśli nie doprowadzisz rachunków do końca, każdy poprawny krok daje punkt.

Najczęstsze błędy:

To najtrudniejsze zadanie arkusza. Wymaga łączenia kilku wzorów i umiejętności algebraicznych. Przeczytaj przewodnik po stereometrii na maturze, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury 2018

1. Funkcja kwadratowa to fundament. 3 zadania za 7 punktów - to prawie 15% arkusza. Opanuj wyznaczanie wierzchołka, miejsc zerowych, rysowanie wykresu i analizę znaków. Przećwicz na zadaniach z funkcji kwadratowej.

2. Stereometria wymaga systematyczności. Dwa zadania otwarte za łącznie 8 punktów. Klucz to umiejętność rozrysowania bryły, oznaczenia wymiarów i konsekwentne stosowanie wzorów. Nie próbuj liczyć "w głowie" - rysuj i opisuj. Ćwicz stereometrię.

3. Dowody nierówności mają stały schemat. Zadanie 28 to klasyka: sprowadź do postaci $(a-b)^2 \geq 0$ lub $a^2 + b^2 \geq 0$. Ten schemat działa w 90% maturalnych dowodów. Przeczytaj przewodnik po równaniach i nierównościach.

4. Zadania procentowe to pułapka na nieuważnych. Zadanie 4 to typowy przykład - musisz wiedzieć, od czego liczysz procent. Cena po obniżce to $(1 - p/100)$ razy cena początkowa, nie odwrotnie.

5. Logarytmy pojawiają się regularnie. Jedno zadanie za 1 punkt, ale wymaga znajomości kluczowych własności: $n\log_a b = \log_a b^n$, $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$. To pewny punkt na maturze - nie odpuszczaj. Powtórz logarytmy.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

1. Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminowych. Daj sobie 170 minut, bez podglądania rozwiązań. Zaznacz, które zadania sprawiły ci trudność.

2. Sprawdź odpowiedzi i przeanalizuj błędy. Nie patrz tylko na wynik - porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem. Czy pominąłeś jakiś krok? Czy twoje uzasadnienie byłoby wystarczające na maturze?

3. Zidentyfikuj słabe obszary. Jeśli nie dałeś rady zadaniom ze stereometrii, przeczytaj przewodnik po stereometrii i rozwiąż 10-15 podobnych zadań z bazy zadań.

4. Przećwicz podobne arkusze. Po maturze z maja 2018 spróbuj matury maj 2019 i matury maj 2017 - mają zbliżony poziom trudności i pokrywające się tematy. Pełną listę znajdziesz w bazie arkuszy CKE.

5. Skup się na punktach cząstkowych. W zadaniach za 4-5 punktów nawet napisanie samej dziedziny, narysowanie rysunku lub obliczenie jednej wielkości pośredniej daje punkty. Nigdy nie zostawiaj pustej kartki.

Powodzenia! Jeśli chcesz przećwiczyć losowe zadanie z dowolnej kategorii, wejdź na stronę losowego zadania. A jeśli szukasz pełnych rozwiązań wszystkich zadań z interaktywnymi wskazówkami, sprawdź nasz plan premium lub przetestuj darmowo na Sprawnej Maturze.