Matura maj 2018 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Rozwiązanie:

Kluczowa własność: jeśli przed logarytmem stoi współczynnik, można go "wciągnąć" jako potęgę argumentu. To jedna z najważniejszych tożsamości logarytmicznych:

Teraz korzystamy z własności różnicy logarytmów (logarytm ilorazu):

A $\log_39 = \log_33^2 = 2$.

To klasyczne zadanie na własności logarytmów - pojawia się na niemal każdej maturze. Najczęstszy błąd? Próba obliczania $\log_36$ jako liczby dziesiętnej. Nie próbuj - korzystaj z tożsamości. Przeczytaj przewodnik po logarytmach, żeby mieć wszystkie własności w jednym miejscu.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Obniżka o 15% oznacza, że cena po obniżce to 85% ceny początkowej. Oznaczmy cenę przed obniżką jako $x$:

Typowa pułapka w zadaniach procentowych: uczniowie liczą 15% z 850 i dodają do 850, co daje 977,50 zł (odpowiedź B). To błąd! 15% obliczasz od ceny przed obniżką, nie po. Pamiętaj zasadę: obniżka o $p\%$ daje cenę $(1 - p/100) \cdot x$, gdzie $x$ to cena początkowa.

Alternatywna metoda: 85% to 850 zł, więc 1% to $850/85 = 10$ zł, a 100% to 1000 zł.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Wierzchołek paraboli $f(x) = ax^2 + bx + c$ ma współrzędne $W = (p, q)$, gdzie:

To absolutna podstawa - wyznaczanie wierzchołka paraboli. Pojawia się na maturze co roku. Masz dwa sposoby obliczenia $q$: albo podstawić $p$ do wzoru funkcji (jak powyżej), albo użyć wzoru $q = -\Delta / (4a)$. Pierwsza metoda jest prostsza i mniej narażona na błędy rachunkowe.

Częsty błąd: pomylenie znaku w obliczaniu $p$. Wzór to $-b/(2a)$, a nie $b/(2a)$. Przy $b = -6$ mamy $-(-6) = 6$, nie $-6$. Przeczytaj kompletny przewodnik po funkcji kwadratowej.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

W ciągu geometrycznym iloraz $q$ obliczamy jako stosunek kolejnych wyrazów:

Sprawdzenie na trzecim wyrazie: $a_3 = a_2 \cdot q = 2\sqrt{2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}$, zgadza się z treścią.

Wzór ogólny:

Ostatnia równość wynika z tego, że $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Kontrola: dla $n = 1$ wzór daje $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$, dla $n = 2$ daje $\frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

Zadania na ciąg geometryczny to pewniaki maturalne. Pamiętaj dwa wzory: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ i $S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ (dla $q \neq 1$). Więcej o ciągach arytmetycznych i geometrycznych.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Krawędź $NS$ jest wysokością, więc jest prostopadła do podstawy. Trójkąty $KNS$ i $MNS$ są prostokątne (kąt prosty przy $N$) i mają obie przyprostokątne równe 4:

Odcinek $KM$ to przekątna kwadratu o boku 4:

Trójkąt $KMS$ ma więc trzy boki długości $4\sqrt{2}$, czyli jest równoboczny. Każdy jego kąt ma miarę $60^\circ$, w tym kąt $α$ między krawędziami $KS$ i $MS$.

Tu nie trzeba liczyć żadnej funkcji trygonometrycznej. Wystarczy zauważyć, że trzy odcinki $KS$, $MS$ i $KM$ są przeciwprostokątnymi takich samych trójkątów prostokątnych. Przeczytaj przewodnik po stereometrii i przećwicz na zadaniach z ostrosłupów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Sprowadzenie do postaci standardowej

   Przenosimy 5 na lewą stronę:

   $2x^2 - 3x - 5 > 0$
2. Krok 2

   Wyznaczenie miejsc zerowych

   Rozwiązujemy równanie $2x^2 - 3x - 5 = 0$:

   $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$\sqrt{\Delta} = 7$$x_1 = \frac{3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$x_2 = \frac{3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
3. Krok 3

   Odczytanie rozwiązania

   Współczynnik $a = 2 > 0$, więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Nierówność $> 0$ jest spełniona "na zewnątrz" pierwiastków:

   $x \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)$

To jedno z najważniejszych zadań otwartych na maturze. Schemat oceniania daje punkty za: (1) poprawne wyznaczenie miejsc zerowych i (2) poprawne zapisanie odpowiedzi z uwzględnieniem znaku $a$. Nawet jeśli pomylisz się w rachunkach, poprawny schemat rozwiązania daje punkt cząstkowy.

Częsty błąd: odwrócenie nierówności. Przy $a > 0$ i nierówności $> 0$ odpowiedź to "na zewnątrz" (suma dwóch przedziałów). Przy nierówności $< 0$ byłby to przedział "wewnątrz" (między pierwiastkami). Narysuj sobie parabolę - wtedy jest to oczywiste. Przeczytaj więcej o równaniach i nierównościach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Znak mianowników

   Liczby $a$ i $b$ są dodatnie, więc $2a$, $2b$, $a+b$ i $2ab$ też są dodatnie. Mnożenie nierówności przez takie liczby nie zmienia jej zwrotu.

2. Krok 2

   Wspólny mianownik po lewej stronie:

   $\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} = \frac{b + a}{2ab}$

   Nierówność ma postać:

   $\frac{a+b}{2ab} \geq \frac{2}{a+b}$
3. Krok 3

   Mnożymy obie strony przez $2ab(a+b) > 0$:

   $(a+b)^2 \geq 4ab$$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \geq 0$$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$$(a-b)^2 \geq 0$
4. Krok 4

   Wniosek

   Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ostatnia nierówność jest prawdziwa. Wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożyliśmy przez liczbę dodatnią), więc prawdziwa jest też nierówność wyjściowa. Równość zachodzi dla $a = b$. $\square$

W dowodzie trzeba wprost napisać, dlaczego wolno pomnożyć przez mianowniki: bez informacji, że są dodatnie, przekształcenie nie jest uzasadnione. Przeczytaj przewodnik po równaniach i nierównościach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Oznaczmy krawędź podstawy przez $a$, a wysokość graniastosłupa przez $H$.

1. Krok 1

   Pole podstawy

   Graniastosłup ma 2 podstawy i 3 jednakowe ściany boczne. Pole ściany bocznej jest równe polu podstawy $P_p$, więc:

   $P_c = 2P_p + 3P_p = 5P_p \implies 5P_p = 45\sqrt{3} \implies P_p = 9\sqrt{3}$
2. Krok 2

   Krawędź podstawy

   Podstawą jest trójkąt równoboczny:

   $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \implies a^2 = 36 \implies a = 6$
3. Krok 3

   Wysokość graniastosłupa

   Ściana boczna to prostokąt $a \times H$ o polu $9\sqrt{3}$:

   $6H = 9\sqrt{3} \implies H = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
4. Krok 4

   Objętość:

   $V = P_p \cdot H = 9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{27 \cdot 3}{2} = \frac{81}{2} = 40\frac{1}{2}$

Najważniejszy jest krok 1: z warunku „pole podstawy równe polu ściany bocznej” od razu wychodzi $P_c = 5P_p$. Pamiętaj o dwóch podstawach w polu całkowitym i o wzorze na pole trójkąta równobocznego $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Przeczytaj przewodnik po stereometrii na maturze, żeby przećwiczyć wszystkie typy brył.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze