Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku A jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku B jest mniejszy od √(2) - 1.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro promień dużego okręgu jest równy 2, to otrzymamy następującą sytuację:
Krok 2. Ułożenie równania.
Na rysunku powstał nam kwadrat ABCD, którego boki są równe długości promienia okręgu. Z własności przekątnych kwadratu wiemy, że kwadrat o boku a ma przekątną równą a√(2). Nasz kwadrat ABCD ma bok długości 2, a skoro tak, to odcinek AC będący przekątną tego kwadratu ma długość 2√(2). To oznacza, że możemy zapisać iż:
x+r+r+2=2√(2) x+2r+2=2√(2)
Krok 3. Analiza otrzymanego równania i zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że x+2r+2=2√(2). Skoro x jest jakąś konkretną długością, to znaczy że odcinek 2r+2 jest mniejszy niż 2√(2). W związku z tym:
2r+2 < 2√(2) /:2 r+1 < √(2) r < √(2)-1
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.