W układzie współrzędnych punkty A = (4,3) i B = (10, 5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 3. Oblicz współrzędne punktu C, dla którego kąt ABC jest prosty.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2018-32.png]

Krok 2. Zapisanie współrzędnych punktu C.

Wiemy, że punkt C leży na prostej y=2x+3. Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument x funkcja przyjmuje wartość 2x+3. Z tego też względu współrzędne punktu C możemy zapisać jako C=(x;2x+3).

Krok 3. Obliczenie długości boku AB.

Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:

|AB|=√((x_B-x_A)²+(y_B-y_A)²) |AB|=√((10-4)²+(5-3)²) |AB|=√(6²+2²) |AB|=√(36+4) |AB|=√(40)

Krok 4. Obliczenie długości boku BC.

Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów B oraz C.

|BC|=√((x_C-x_B)²+(y_C-y_B)²) |BC|=√((x-10)²+(2x+3-5)²) |BC|=√((x-10)²+(2x-2)²)

Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.

Krok 5. Obliczenie długości boku AC.

I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku AC.

|AC|=√((x_C-x_A)²+(y_C-y_A)²) |AC|=√((x-4)²+(2x+3-3)²) |AC|=√((x-4)²+(2x)²)

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu C.

Skoro trójkąt ABC ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt ABC. Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku B. To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta AC. W związku z tym:

|AB|²+|BC|²=|AC|² (√(40))²+(√((x-10)²+(2x-2)²))²=(√((x-4)²+(2x)²))² 40+(x-10)²+(2x-2)²=(x-4)²+(2x)² 40+x²-20x+100+4x²-8x+4=x²-8x+16+4x² 5x²-28x+144=5x²-8x+16 -28x+144=-8x+16 -20x=-128 x=6,4

Krok 7. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu C.

Wiemy już, że x=6,4. Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia 2x+3 i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu C:

y=2x+3 y=2 · 6,4+3 y=12,8+3 y=15,8

To oznacza, że współrzędne punktu C wynoszą: C=(6,4;15,8).