Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 45√(3). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a = 6, H = 3√(3)/2, V = 40 1/2
Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że pole podstawy (czyli P_p) jest dokładnie takie samo jak pole ściany bocznej (które oznaczymy sobie jako P_(śb)). Skoro więc P_p=P_(śb) to korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy zapisać, że:
P_c=2P_p+3P_(śb) P_c=2P_p+3P_p P_c=5P_p 45√(3)=5P_p P_p=9√(3)
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro w podstawie jest trójkąt równoboczny i skoro znamy jego pole powierzchni (obliczyliśmy je przed chwilą) to w prosty sposób możemy obliczyć także długość krawędzi podstawy:
P=a²√(3)/4 9√(3)=a²√(3)/4 / · 4 36√(3)=a²√(3) /:√(3) a²=36 a=6 a=-6
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem a=6.
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest jednocześnie wysokością ściany bocznej. O tej ścianie bocznej wiemy, że jest prostokątem o polu powierzchni 9√(3) (bo jest to takie samo pole co pole podstawy). Skoro więc znamy miarę jednego boku tego prostokąta a=6, to drugi bok (będący jednocześnie wysokością graniastosłupa) jest już bardzo prosty do policzenia:
P_(śb)=a · H 9√(3)=6 · H H=3/2√(3)
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia objętości, zatem:
V=P_p · H V=9√(3) · 3/2√(3) V=27/2 · 3 V=81/2
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.