Przejdź do treści

Matura maj 2019 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku

Arkusz z matematyki z maja 2019, poziom podstawowy w formule 2015: odpowiedzi do wszystkich 25 zadań zamkniętych, omówienie wybranych z nich i pełne rozwiązania 9 zadań otwartych.

Opublikowano: · zaktualizowano · 14 min czytania

Spis treści

O arkuszu Matura maj 2019

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2019 roku była egzaminem w formule 2015. Arkusz miał 34 zadania: 25 zamkniętych (numery 1-25, każde za 1 punkt) i 9 otwartych (numery 26-34). Zadania 26-31 były warte po 2 punkty, zadania 32 i 33 po 4 punkty, a zadanie 34 - 5 punktów. Razem do zdobycia było 50 punktów, a na rozwiązanie arkusza 170 minut. Do zdania matury wystarczało 30% punktów, czyli 15.

Zadania otwarte dotyczyły kolejno: równania wielomianowego (26), nierówności kwadratowej (27), dowodu nierówności (28), dowodu o kątach w okręgu (29), prawdopodobieństwa (30), trapezu prostokątnego (31), ciągu arytmetycznego (32), symetralnej odcinka w układzie współrzędnych (33) i ostrosłupa prawidłowego czworokątnego (34).

Poniżej znajdziesz omówienie zadań zamkniętych z kluczem odpowiedzi do wszystkich 25, a potem pełne rozwiązania wszystkich zadań otwartych. Pod każdym rozwiązaniem jest link do zadania na Sprawnej Maturze, gdzie możesz rozwiązać je samodzielnie.

Zadania zamknięte (1-25) - omówienie

Zadania zamknięte dzielimy na grupy tematyczne. W każdej grupie rozwiązujemy krok po kroku jedno lub dwa zadania. Odpowiedzi do wszystkich 25 zadań są w tabeli na końcu tej części.

Liczby, procenty i równania (zadania 1-6)

Arkusz otwierają: logarytm (zadanie 1), liczba cyfr iloczynu potęg (2), procenty i punkty procentowe (3), równanie z ułamkami (4), układ równań z parametrem (5) i równanie wymierne (6).

Zadanie 3 - procenty i punkty procentowe (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 3Procenty1 pkt
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%4\%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 11 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o
  • A1%1\%
  • B25%25\%
  • C33%33\%
  • D75%75\%

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Prowizja spadła z 4%4\% do 3%3\%, czyli o 11 punkt procentowy. Pytanie dotyczy jednak tego, o ile procent zmalała sama prowizja, więc różnicę dzielimy przez starą wartość:

4%−3%4%=14=25%\frac{4\% - 3\%}{4\%} = \frac{1}{4} = 25\%

Odpowiedź A (1%1\%) myli punkt procentowy z procentem.

Odpowiedź: B

25%25\%

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Procenty
Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2019

Zadanie 6 - równanie wymierne (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 6Równania i nierówności1 pkt
Równanie (x−1)(x+2)x−3=0\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} = 0
  • Ama trzy różne rozwiązania: x=1,x=3,x=−2.x = 1, x = 3, x = -2.
  • Bma trzy różne rozwiązania: x=−1,x=−3,x=2.x = -1, x = -3, x = 2.
  • Cma dwa różne rozwiązania: x=1,x=−2.x = 1, x = -2.
  • Dma dwa różne rozwiązania: x=−1,x=2.x = -1, x = 2.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Mianownik nie może być zerem, więc x≠3x \neq 3. Ułamek jest równy zeru wtedy, gdy zeruje się licznik:

(x−1)(x+2)=0⇒x=1 lub x=−2(x-1)(x+2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \ \text{lub} \ x = -2

Obie liczby są różne od 33, więc równanie ma dwa rozwiązania. Liczba 33 z odpowiedzi A zeruje mianownik, a nie licznik, dlatego rozwiązaniem nie jest.

Odpowiedź: C

ma dwa różne rozwiązania: x=1x = 1, x=−2x = -2.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa (zadania 7-10)

Zadanie 7 dotyczy miejsca zerowego funkcji liniowej. Zadania 8, 9 i 10 pytają o tę samą funkcję kwadratową ff: jej wierzchołek to W=(2,−4)W = (2, -4), a miejsca zerowe to 00 i 44. W zadaniu 9 największa wartość ff w przedziale ⟨1,4⟩\langle 1, 4 \rangle to 00 (dla x=4x = 4), a w zadaniu 10 osią symetrii wykresu jest prosta x=2x = 2. Więcej o paraboli znajdziesz w dziale funkcja kwadratowa.

Zadanie 7 - miejsce zerowe funkcji liniowej (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 7Funkcja liniowa1 pkt
Miejscem zerowym funkcji liniowej ff określonej wzorem f(x)=3(x+1)−63f(x) = 3(x + 1) - 6\sqrt{3} jest liczba
  • A3−633 - 6\sqrt{3}
  • B1−631 - 6\sqrt{3}
  • C23−12\sqrt{3} - 1
  • D23−132\sqrt{3} - \frac{1}{3}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Przyrównujemy wzór funkcji do zera i dzielimy obie strony przez 33:

3(x+1)−63=0⇒x+1−23=0⇒x=23−13(x + 1) - 6\sqrt{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 1 - 2\sqrt{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2\sqrt{3} - 1
Odpowiedź: C

23−12\sqrt{3} - 1

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja liniowa

Zadanie 8 - zbiór wartości funkcji kwadratowej (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 8Funkcja kwadratowa1 pkt
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ff. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,−4)W = (2, -4). Liczby 00 i 44 to miejsca zerowe funkcji ff. Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział
  • A(−∞,0⟩(-\infty , 0\rangle
  • B⟨0,4⟩\langle 0, 4\rangle
  • C⟨−4,+∞)\langle -4, +\infty)
  • D⟨4,+∞)\langle 4, +\infty)

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Funkcja ma dwa miejsca zerowe, a wierzchołek ma drugą współrzędną −4-4, czyli leży pod osią OxOx. Taka parabola ma ramiona skierowane w górę, więc w wierzchołku funkcja osiąga wartość najmniejszą, a największej wartości nie ma. Zbiór wartości odczytujemy z osi OyOy: od −4-4 do +∞+\infty.

Odpowiedź: C

⟨−4,+∞)\langle -4, +\infty)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa

Ciągi i trygonometria (zadania 11-13)

Dwa zadania z ciągów: suma ośmiu wyrazów ciągu arytmetycznego (11) i iloraz ciągu geometrycznego (12). Zadanie 13 to cosinus kąta ostrego wyznaczony z sinusa.

Zadanie 12 - iloraz ciągu geometrycznego (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 12Ciągi1 pkt
Dany jest ciąg geometryczny (an)(a_n), określony dla n≥1n\ge1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek a5a3=19\frac{a_5}{a_3} = \frac{1}{9}. Iloraz tego ciągu jest równy
  • A13\frac{1}{3}
  • B13\frac{1}{\sqrt{3}}
  • C33
  • D3\sqrt{3}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Piąty wyraz powstaje z trzeciego przez dwukrotne pomnożenie przez iloraz: a5=a3⋅q2a_5 = a_3 \cdot q^2. Stąd:

a5a3=q2=19⇒q=13 lub q=−13\frac{a_5}{a_3} = q^2 = \frac{1}{9} \quad\Rightarrow\quad q = \frac{1}{3} \ \text{lub} \ q = -\frac{1}{3}

Przy ujemnym ilorazie wyrazy ciągu zmieniałyby znak na przemian, a z treści wszystkie są dodatnie. Zostaje q=13q = \frac{1}{3}.

Odpowiedź: A

13\frac{1}{3}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Zadanie 13 - cosinus z sinusa (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 13Trygonometria1 pkt
Sinus kąta ostrego α\alpha jest równy 45\frac{4}{5}. Wtedy
  • Acos⁡α=54\cos\alpha = \frac{5}{4}
  • Bcos⁡α=15\cos\alpha = \frac{1}{5}
  • Ccos⁡α=925\cos\alpha = \frac{9}{25}
  • Dcos⁡α=35\cos\alpha = \frac{3}{5}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej:

cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−1625=925\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}

Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni: cos⁡α=35\cos\alpha = \frac{3}{5}. Odpowiedź C (925\frac{9}{25}) to kwadrat cosinusa, a nie cosinus.

Odpowiedź: D

cos⁡α=35\cos\alpha = \frac{3}{5}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Planimetria (zadania 14-16)

Trzy zadania z planimetrii: kąty wpisane w okrąg opisany na trójkącie równobocznym (14), styczna do dwóch okręgów (15) i pole rombu (16).

Zadanie 15 - styczna do dwóch okręgów (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 15Planimetria1 pkt
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie OO i promieniu 55 oraz okrąg o środku w punkcie PP i promieniu 33. Odcinek OPOP ma długość 1616. Prosta ABAB jest styczna do tych okręgów w punktach AA i BB. Ponadto prosta ABAB przecina odcinek OPOP w punkcie KK (zobacz rysunek). Wtedy
  • A∣OK∣=6|OK| = 6
  • B∣OK∣=8|OK| = 8
  • C∣OK∣=10|OK| = 10
  • D∣OK∣=12|OK| = 12

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc trójkąty OAKOAK i PBKPBK są prostokątne. Kąty AKOAKO i BKPBKP są wierzchołkowe, czyli równe. Trójkąty mają więc równe kąty i są podobne, a stosunek odpowiednich boków jest stały:

∣OA∣∣OK∣=∣PB∣∣PK∣⇒5∣OK∣=3∣PK∣⇒∣PK∣=35∣OK∣\frac{|OA|}{|OK|} = \frac{|PB|}{|PK|} \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{|OK|} = \frac{3}{|PK|} \quad\Rightarrow\quad |PK| = \frac{3}{5}|OK|

Punkt KK leży na odcinku OPOP, więc ∣OK∣+∣PK∣=16|OK| + |PK| = 16:

∣OK∣+35∣OK∣=16⇒85∣OK∣=16⇒∣OK∣=10|OK| + \frac{3}{5}|OK| = 16 \quad\Rightarrow\quad \frac{8}{5}|OK| = 16 \quad\Rightarrow\quad |OK| = 10
Odpowiedź: C

∣OK∣=10|OK| = 10

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Planimetria

Zadanie 16 - pole rombu (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 16Planimetria1 pkt
Dany jest romb o boku długości 44 i kącie rozwartym 150∘150^\circ. Pole tego rombu jest równe
  • A88
  • B1212
  • C838\sqrt{3}
  • D1616

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Pole rombu o boku aa i kącie α\alpha to P=a2sin⁡αP = a^2 \sin\alpha. Ze wzoru redukcyjnego sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, więc:

P=42⋅12=8P = 4^2 \cdot \frac{1}{2} = 8
Odpowiedź: A

88

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Planimetria

Proste i punkty w układzie współrzędnych (zadania 17-20)

Proste równoległe (17), prosta prostopadła przechodząca przez dany punkt (18), obraz prostej w symetrii względem początku układu (19) i długość odcinka (20).

Zadanie 17 - proste równoległe (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 17Funkcja liniowa1 pkt
Proste o równaniach y=(2m+2)x−2019y = (2m + 2)x - 2019 oraz y=(3m−3)x+2019y = (3m - 3)x + 2019 są równoległe, gdy
  • Am=−1m = -1
  • Bm=0m = 0
  • Cm=1m = 1
  • Dm=5m = 5

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe:

2m+2=3m−3⇒m=52m + 2 = 3m - 3 \quad\Rightarrow\quad m = 5

Wyrazy wolne −2019-2019 i 20192019 są różne, więc dla m=5m = 5 proste są równoległe i się nie pokrywają.

Odpowiedź: D

m=5m = 5

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja liniowa

Zadanie 20 - okrąg wpisany w kwadrat (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 20Geometria analityczna1 pkt
Dane są punkty o współrzędnych A=(−2,5)A = (-2, 5) oraz B=(4,−1)B = (4, -1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku ABAB jest równa
  • A1212
  • B66
  • C626\sqrt{2}
  • D262\sqrt{6}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Okrąg wpisany w kwadrat dotyka wszystkich czterech boków, więc jego średnica jest równa długości boku. Wystarczy policzyć ∣AB∣|AB|:

∣AB∣=(4−(−2))2+(−1−5)2=36+36=72=62|AB| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}
Odpowiedź: C

626\sqrt{2}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Stereometria (zadania 21-22)

Dwa zadania ze stereometrii: przekątna prostopadłościanu i porównanie pól powierzchni kuli i stożka.

Zadanie 21 - przekątna prostopadłościanu (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 21Stereometria1 pkt
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 55 dm x 33 dm x 22 dm (zobacz rysunek). Przekątna KLKL tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do 0,010,01 dm – równa
  • A5,835,83 dm
  • B6,166,16 dm
  • C3,613,61 dm
  • D5,395,39 dm

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Przekątna podstawy, wysokość i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny. Dwa razy twierdzenie Pitagorasa daje wzór na przekątną prostopadłościanu:

∣KL∣2=52+32+22=25+9+4=38,∣KL∣=38≈6,16|KL|^2 = 5^2 + 3^2 + 2^2 = 25 + 9 + 4 = 38, \qquad |KL| = \sqrt{38} \approx 6{,}16

Sprawdzenie zaokrąglenia: 6,162=37,94566{,}16^2 = 37{,}9456, a 6,172=38,06896{,}17^2 = 38{,}0689, więc 38\sqrt{38} leży bliżej 6,166{,}16.

Odpowiedź: B

6,166{,}16 dm

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Zadanie 22 - kula i stożek (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 22Stereometria1 pkt
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 44. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa
  • A88
  • B44
  • C1616
  • D1212

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Pole powierzchni kuli to 4πr24\pi r^2, a pole powierzchni całkowitej stożka to πr(r+l)\pi r(r + l). Przyrównujemy je dla r=4r = 4 i dzielimy przez π\pi:

4⋅42=4(4+l)⇒64=16+4l⇒l=124 \cdot 4^2 = 4(4 + l) \quad\Rightarrow\quad 64 = 16 + 4l \quad\Rightarrow\quad l = 12
Odpowiedź: D

1212

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Statystyka, kombinatoryka i prawdopodobieństwo (zadania 23-25)

Mediana zestawu z niewiadomą (23), liczenie liczb pięciocyfrowych (24) i losowanie kuli z pudełka (25). Więcej zadań tego typu znajdziesz w dziale prawdopodobieństwo.

Zadanie 23 - mediana z niewiadomą (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 23Statystyka1 pkt
Mediana zestawu sześciu danych liczb: 44, 88, 2121, aa, 1616, 2525, jest równa 1414. Zatem
  • Aa=7a = 7
  • Ba=12a = 12
  • Ca=14a = 14
  • Da=20a = 20

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Najpierw porządkujemy znane liczby: 4,8,16,21,254, 8, 16, 21, 25. Danych jest sześć, więc mediana to średnia trzeciej i czwartej liczby po uporządkowaniu.

Gdyby a≤8a \le 8, w środku stałyby 88 i 1616, a mediana wyniosłaby 1212. Gdyby a≥21a \ge 21, w środku stałyby 1616 i 2121, a mediana wyniosłaby 18,518{,}5. Liczba aa musi więc stać w środku obok 1616:

a+162=14⇒a=12\frac{a + 16}{2} = 14 \quad\Rightarrow\quad a = 12

Sprawdzenie: 4,8,12,16,21,254, 8, 12, 16, 21, 25 ma medianę 12+162=14\frac{12 + 16}{2} = 14.

Odpowiedź: B

a=12a = 12

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Statystyka

Zadanie 24 - liczby pięciocyfrowe z cyfr 0, 2 i 5 (1 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 24Liczby rzeczywiste1 pkt
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 00, 22, 55, jest
  • A1212
  • B3636
  • C162162
  • D243243

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc na pierwszym miejscu stoi 22 albo 55. Na każdym z pozostałych czterech miejsc może stać dowolna z trzech cyfr. Z reguły mnożenia:

2⋅3⋅3⋅3⋅3=1622 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 162

Odpowiedź D (243=35243 = 3^5) liczy też ciągi zaczynające się od zera, które liczbami pięciocyfrowymi nie są.

Odpowiedź: C

162162

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Liczby rzeczywiste

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

ZadanieOdpowiedź
1A. 22
2B. 1515 cyfr
3B. 25%25\%
4D. a=2011a = \frac{20}{11}
5B. a=1a = 1
6C. x=1x = 1, x=−2x = -2
7C. 23−12\sqrt{3} - 1
8C. ⟨−4,+∞)\langle -4, +\infty)
9D. 00
10D. x=2x = 2
11A. −168-168
12A. 13\frac{1}{3}
13D. cos⁡α=35\cos\alpha = \frac{3}{5}
14A. α=30∘\alpha = 30^\circ
15C. ∣OK∣=10\lvert OK \rvert = 10
16A. 88
17D. m=5m = 5
18B. a=14a = \frac{1}{4} i b=−18b = -\frac{1}{8}
19C. g(x)=−x−4g(x) = -x - 4
20C. 626\sqrt{2}
21B. 6,166{,}16 dm
22D. 1212
23B. a=12a = 12
24C. 162162
25A. 18\frac{1}{8}

Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadania 26-34 wymagały pełnego zapisu rozwiązania. Przy każdym podajemy liczbę punktów z arkusza.

Zadanie 26 - równanie wielomianowe (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 26Równania i nierówności2 pktOtwarte
Rozwiąż równanie (x3−8)(x2−4x−5)=0(x^3 - 8)(x^2 - 4x - 5) = 0.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś z czynników.

Pierwszy czynnik: x3−8=0x^3 - 8 = 0, czyli x3=8x^3 = 8 i x=2x = 2.

Drugi czynnik: x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0. Liczymy wyróżnik, uważając na znak przy c=−5c = -5:

Δ=(−4)2−4⋅1⋅(−5)=16+20=36,Δ=6\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36, \qquad \sqrt{\Delta} = 6 x1=4−62=−1,x2=4+62=5x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5
Odpowiedź:

x=−1x = -1, x=2x = 2 lub x=5x = 5.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 27 - nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 27Równania i nierówności2 pktOtwarte
Rozwiąż nierówność 3x2−16x+16>03x^2 - 16x + 16\gt 0.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Miejsca zerowe trójmianu:

Δ=(−16)2−4⋅3⋅16=256−192=64,Δ=8\Delta = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64, \qquad \sqrt{\Delta} = 8 x1=16−86=43,x2=16+86=4x_1 = \frac{16 - 8}{6} = \frac{4}{3}, \qquad x_2 = \frac{16 + 8}{6} = 4

Współczynnik przy x2x^2 jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę. Wartości dodatnie trójmian przyjmuje na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi, a same miejsca zerowe odpadają, bo nierówność jest ostra.

Odpowiedź:

x∈(−∞,43)∪(4,+∞)x \in \left(-\infty, \frac{4}{3}\right) \cup (4, +\infty)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 28 - dowód nierówności (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 28Równania i nierówności2 pktOtwarte
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych aa i bb prawdziwa jest nierówność 3a2−2ab+3b2≥03a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Z wyrażenia wydzielamy kwadrat różnicy (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:

3a2−2ab+3b2=(a2−2ab+b2)+2a2+2b2=(a−b)2+2a2+2b23a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2

Każdy z trzech składników jest nieujemny, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a mnożenie przez 22 tego nie zmienia. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna.

Odpowiedź:

3a2−2ab+3b2=(a−b)2+2a2+2b2≥03a^2 - 2ab + 3b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2 \ge 0 dla dowolnych aa i bb, co należało wykazać.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 29 - kąty w okręgu, dowód (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 29Geometria analityczna2 pktOtwarte
Dany jest okrąg o środku w punkcie SS i promieniu rr. Na przedłużeniu cięciwy ABAB poza punkt BB odłożono odcinek BCBC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty CC i SS poprowadzono prostą. Prosta CSCS przecina dany okrąg w punktach DD i EE (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACSACS jest równa α\alpha, to miara kąta ASDASD jest równa 3α3\alpha.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1. W trójkącie SBCSBC mamy ∣SB∣=r|SB| = r (promień) i ∣BC∣=r|BC| = r (z treści). Trójkąt jest równoramienny, więc kąty przy podstawie SCSC są równe: ∢BSC=∢BCS=α\sphericalangle BSC = \sphericalangle BCS = \alpha. Trzeci kąt to ∢SBC=180∘−2α\sphericalangle SBC = 180^\circ - 2\alpha.

Krok 2. Punkty AA, BB, CC leżą na jednej prostej, więc kąty ABSABS i SBCSBC są przyległe:

∢ABS=180∘−(180∘−2α)=2α\sphericalangle ABS = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha

Krok 3. W trójkącie ABSABS boki SASA i SBSB są promieniami, więc ∢SAB=∢SBA=2α\sphericalangle SAB = \sphericalangle SBA = 2\alpha, a stąd:

∢ASB=180∘−4α\sphericalangle ASB = 180^\circ - 4\alpha

Krok 4. Punkty DD, SS, CC leżą na jednej prostej, więc kąty ASDASD, ASBASB i BSCBSC dają razem kąt półpełny:

∢ASD=180∘−(180∘−4α)−α=3α\sphericalangle ASD = 180^\circ - (180^\circ - 4\alpha) - \alpha = 3\alpha
Odpowiedź:

∢ASD=3α\sphericalangle ASD = 3\alpha, co należało wykazać.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 30 - prawdopodobieństwo, losowanie ze zwracaniem (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 30Prawdopodobieństwo2 pktOtwarte
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia AA polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Losujemy ze zwracaniem, więc wszystkich par jest ∣Ω∣=5⋅5=25|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25.

Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Za każdym razem trzeba więc wylosować 11, 33 albo 55: ∣A∣=3⋅3=9|A| = 3 \cdot 3 = 9.

P(A)=925P(A) = \frac{9}{25}
Odpowiedź:

P(A)=925P(A) = \frac{9}{25}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Prawdopodobieństwo

Zadanie 31 - przekątna trapezu prostokątnego (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 31Planimetria2 pktOtwarte
W trapezie prostokątnym ABCDABCD dłuższa podstawa ABAB ma długość 88. Przekątna ACAC tego trapezu ma długość 44 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30∘30^\circ (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BDBD tego trapezu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Ramię ADAD jest wysokością trapezu (kąty proste przy wierzchołkach AA i DD).

Krok 1. Trójkąt ACDACD jest prostokątny, a kąt ACDACD ma 30∘30^\circ. Bok ADAD leży naprzeciw tego kąta, więc jest połową przeciwprostokątnej ACAC:

∣AD∣=∣AC∣⋅sin⁡30∘=4⋅12=2|AD| = |AC| \cdot \sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2

Krok 2. Trójkąt ABDABD jest prostokątny z kątem prostym przy AA, a BDBD to jego przeciwprostokątna:

∣BD∣2=82+22=68,∣BD∣=68=217|BD|^2 = 8^2 + 2^2 = 68, \qquad |BD| = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}
Odpowiedź:

∣BD∣=217|BD| = 2\sqrt{17}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Planimetria

Zadanie 32 - ciąg arytmetyczny (otwarte, 4 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 32Ciągi4 pktOtwarte
Ciąg arytmetyczny (an)(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1n\ge1. Różnicą tego ciągu jest liczba r=−4r = -4, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: a1a_1, a2a_2, a3a_3, a4a_4, a5a_5, a6a_6, jest równa 1616. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Oblicz liczbę kk, dla której ak=−78a_k = -78.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1. Średnia sześciu wyrazów to 1616, więc ich suma to 6⋅16=966 \cdot 16 = 96.

Krok 2. Każdy wyraz zapisujemy przez a1a_1 i rr: an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r. Suma sześciu pierwszych wyrazów to:

6a1+(0+1+2+3+4+5)r=6a1+15r=966a_1 + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5)r = 6a_1 + 15r = 96

Dla r=−4r = -4:

6a1−60=96⇒6a1=156⇒a1=266a_1 - 60 = 96 \quad\Rightarrow\quad 6a_1 = 156 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 26

Krok 3. Szukamy kk, dla którego ak=−78a_k = -78:

26+(k−1)⋅(−4)=−78⇒30−4k=−78⇒4k=108⇒k=2726 + (k - 1) \cdot (-4) = -78 \quad\Rightarrow\quad 30 - 4k = -78 \quad\Rightarrow\quad 4k = 108 \quad\Rightarrow\quad k = 27
Odpowiedź:

a1=26a_1 = 26, k=27k = 27.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Zadanie 33 - symetralna odcinka (otwarte, 4 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 33Geometria analityczna5 pktOtwarte
Dany jest punkt A=(−18,10)A = (-18, 10). Prosta o równaniu y=3xy = 3x jest symetralną odcinka ABAB. Wyznacz współrzędne punktu BB.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1. Symetralna jest prostopadła do odcinka ABAB i przechodzi przez jego środek. Prosta ABAB ma więc współczynnik kierunkowy −13-\frac{1}{3}, bo 3⋅(−13)=−13 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1.

Krok 2. Prosta ABAB przechodzi przez A=(−18,10)A = (-18, 10):

10=−13⋅(−18)+b=6+b⇒b=4,AB ⁣: y=−13x+410 = -\frac{1}{3} \cdot (-18) + b = 6 + b \quad\Rightarrow\quad b = 4, \qquad AB\colon\ y = -\frac{1}{3}x + 4

Krok 3. Środek SS odcinka ABAB to punkt przecięcia prostej ABAB z symetralną:

3x=−13x+4⇒9x=−x+12⇒x=65,y=3⋅65=1853x = -\frac{1}{3}x + 4 \quad\Rightarrow\quad 9x = -x + 12 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{6}{5}, \qquad y = 3 \cdot \frac{6}{5} = \frac{18}{5}

Krok 4. Ze wzoru na środek odcinka xB=2xS−xAx_B = 2x_S - x_A i yB=2yS−yAy_B = 2y_S - y_A:

xB=125+18=1025,yB=365−10=−145x_B = \frac{12}{5} + 18 = \frac{102}{5}, \qquad y_B = \frac{36}{5} - 10 = -\frac{14}{5}

Sprawdzenie: −13⋅1025+4=−345+205=−145-\frac{1}{3} \cdot \frac{102}{5} + 4 = -\frac{34}{5} + \frac{20}{5} = -\frac{14}{5}, więc BB leży na prostej ABAB.

Odpowiedź:

punkt B=(1025,−145)B = \left(\frac{102}{5}, -\frac{14}{5}\right), czyli (2025,−245)\left(20\frac{2}{5}, -2\frac{4}{5}\right).

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 34 - ostrosłup prawidłowy czworokątny (otwarte, 5 pkt) ↗

Matura maj 2019Zadanie 34Stereometria5 pktOtwarte
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 66. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α\alpha jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α\alpha.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1. Pole podstawy to 62=366^2 = 36, więc pole całkowite to 4⋅36=1444 \cdot 36 = 144, a pole czterech ścian bocznych to 144−36=108144 - 36 = 108. Jedna ściana ma pole 2727.

Krok 2. Ściana boczna to trójkąt o podstawie 66, więc jego wysokość hh spełnia:

12⋅6⋅h=27⇒h=9\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 27 \quad\Rightarrow\quad h = 9

Krok 3. Wysokość ostrosłupa HH, połowa krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny:

H2+32=92⇒H2=72⇒H=62H^2 + 3^2 = 9^2 \quad\Rightarrow\quad H^2 = 72 \quad\Rightarrow\quad H = 6\sqrt{2}

Krok 4. Kąt α\alpha leży w trójkącie prostokątnym z wysokością HH, połową przekątnej podstawy 622=32\frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} i krawędzią boczną kk:

k2=(32)2+(62)2=18+72=90,k=310k^2 = (3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 18 + 72 = 90, \qquad k = 3\sqrt{10}

Krok 5. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przy kącie do przeciwprostokątnej:

cos⁡α=32310=15=55\cos\alpha = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}
Odpowiedź:

cos⁡α=55\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Błąd 1: punkt procentowy zamiast procentu

W zadaniu 3 prowizja spadła z 4%4\% do 3%3\%. To spadek o 11 punkt procentowy, ale o 25%25\% wartości prowizji. Odpowiedź A (1%1\%) to właśnie pomylenie tych dwóch pojęć.

Błąd 2: rozwiązanie, które zeruje mianownik

W zadaniu 6 liczba 33 zeruje mianownik ułamka (x−1)(x+2)x−3\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}, więc nie należy do dziedziny równania. Zanim przyrównasz licznik do zera, zapisz założenie x≠3x \neq 3 i na końcu sprawdź z nim wyniki.

Błąd 3: mediana z nieuporządkowanych danych

W zadaniu 23 liczby podano w kolejności 4,8,21,a,16,254, 8, 21, a, 16, 25. Kto weźmie dwie środkowe bez porządkowania, czyli 2121 i aa, dostanie a=7a = 7 (odpowiedź A). Medianę liczy się zawsze po ustawieniu danych od najmniejszej do największej.

Błąd 4: kwadrat cosinusa zamiast cosinusa

W zadaniu 13 z jedynki trygonometrycznej wychodzi cos⁡2α=925\cos^2\alpha = \frac{9}{25}, a to jest jedna z odpowiedzi (C). Trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek i wybrać znak: kąt ostry ma dodatni cosinus, więc cos⁡α=35\cos\alpha = \frac{3}{5}.

Błąd 5: zero na pierwszym miejscu

W zadaniu 24 wynik 35=2433^5 = 243 (odpowiedź D) liczy także zapisy w rodzaju 0252502525, a to nie są liczby pięciocyfrowe. Pierwszą cyfrę wybierasz tylko spośród 22 i 55.

Błąd 6: znak w wyróżniku

W zadaniu 26 przy x2−4x−5x^2 - 4x - 5 mamy c=−5c = -5, więc Δ=16−4⋅1⋅(−5)=16+20=36\Delta = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36. Zgubiony minus daje Δ=16−20=−4\Delta = 16 - 20 = -4 i fałszywy wniosek, że drugi czynnik nie ma miejsc zerowych.

Błąd 7: zły przedział w nierówności

W zadaniu 27 o wyniku decyduje znak współczynnika przy x2x^2 i kierunek nierówności. Przy a=3>0a = 3 > 0 i znaku >\gt rozwiązaniem są przedziały na zewnątrz miejsc zerowych, a nie przedział między nimi. W nierówności liniowej pułapka jest inna: dzielenie obu stron przez liczbę ujemną wymaga odwrócenia znaku, na przykład z −2x<6-2x < 6 wychodzi x>−3x > -3.

Jak przygotować się na podobny arkusz

1. Systematyczne powtórzenie materiału

Przygotowanie do matury wymaga systematycznego przerobienia każdego działu. Rekomendujemy:

  • •Codziennie rozwiązywać 5-10 zadań z danego tematu
  • •Robić notatki z popełnionych błędów
  • •Sprawdzać rozwiązania krok po kroku

Nasze narzędzie losowe zadania pozwala na codzienne ćwiczenie z różnych działów.

2. Praktyka z arkuszami poprzednich lat

Rozwiązanie kompletnych arkuszy maturalnych to najlepszy trening, bo uczy rozkładać siły na cały egzamin. Poza arkuszem z maja 2019 warto przerobić arkusze z innych lat:

3. Nauka od najczęstszych błędów

Po rozwiązaniu każdego arkusza przeanalizuj błędy. Czy wynikają z:

  • •Braku wiedzy teoretycznej?
  • •Błędu rachunkowego?
  • •Pominięcia warunku z treści zadania (jak dodatnie wyrazy ciągu w zadaniu 12 czy kąt ostry w zadaniu 13)?

4. Głębokie zrozumienie kluczowych działów

W tym arkuszu kilka działów wracało w więcej niż jednym zadaniu:

5. Podzielenie czasu na zadania zamknięte i otwarte

Arkusz z 2019 roku był przewidziany na 170 minut. Przy ćwiczeniu możesz przyjąć:

  • •około 60-70 minut na 25 zadań zamkniętych,
  • •około 100-110 minut na 9 zadań otwartych, które wymagają pełnego zapisu.

Obecna matura podstawowa trwa 180 minut i ma inny układ zadań, więc traktuj ten podział jako punkt wyjścia. Nie spędzaj zbyt dużo czasu na jednym zadaniu: przejdź do następnego i wróć później.

6. Podnoszenie szybkości bez straty dokładności

W ostatnich 2-3 tygodniach przed maturą rozwiązuj arkusze na czas. Ustaw limit równy czasowi prawdziwego egzaminu i trzymaj się go.

7. Psychika i pewność siebie

Matura sprawdza nie tylko umiejętności, ale też radzenie sobie ze stresem. Punkty najłatwiej stracić, gdy:

  • •w pośpiechu źle przeczytasz polecenie,
  • •nie masz planu na kolejność zadań,
  • •jeden błąd wytrąci cię z rytmu.

Regularna praktyka buduje pewność siebie. Im więcej arkuszy rozwiążesz, tym mniej zaskoczy cię prawdziwa matura.

Podsumowanie

Arkusz z maja 2019 sprawdzał materiał z całej podstawy: od logarytmów i procentów, przez funkcje i ciągi, po planimetrię, stereometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Najwięcej punktów dawały trzy ostatnie zadania otwarte: ciąg arytmetyczny, symetralna odcinka i ostrosłup, razem 13 z 50.

Kluczem do sukcesu na maturze jest:

  1. 1.Zrozumienie - nie tylko zapamiętywanie wzorów
  2. 2.Praktyka - rozwiązywanie dużej liczby zadań
  3. 3.Analiza błędów - nauka na własnych pomyłkach
  4. 4.Systematyczność - regularne przygotowania zamiast nauki na ostatnią chwilę

Każde zadanie z tego arkusza możesz rozwiązać na Sprawnej Maturze, korzystając z linków przy rozwiązaniach i w kluczu odpowiedzi.

Z tego samego rocznika mamy też rozwiązany arkusz z terminu dodatkowego: matura czerwiec 2019. Warto go przerobić zaraz po majowym - ten sam zakres, inne zadania.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Prawdziwe zadania z matur CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Rozwiąż ten arkusz sam, zadanie po zadaniu.

Rozwiąż arkusz: matura maj 2019

Arkusz CKE z rozwiązaniami

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Czytaj dalej

Arkusz maturalny

Matura czerwiec 2018 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Matura z matematyki, sesja dodatkowa czerwiec 2018: rozkład kategorii, poziom trudności, 8 zadań rozwiązanych krok po kroku i lista wszystkich 34 zadań z linkami do rozwiązań.

Arkusz maturalny

Matura maj 2018 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Kompletne rozwiązania wybranych zadań z matury z matematyki, maj 2018. Analiza arkusza, rozkład kategorii, poziom trudności i rozwiązania krok po kroku z objaśnieniami.

Arkusz maturalny

Matura czerwiec 2019 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Matura z matematyki, sesja dodatkowa czerwiec 2019: rozkład kategorii, poziom trudności, 8 zadań rozwiązanych krok po kroku i lista wszystkich 34 zadań z linkami do rozwiązań.