Matura maj 2020 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Matura maj 2020 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu Matura maj 2020

Arkusz maturalny z maja 2020 roku (przeprowadzony w czerwcu ze względu na pandemię COVID-19) należy do jednych z najtrudniejszych egzaminów przystępowanych w ostatnich latach. Egzamin w formule 2015 na poziomie podstawowym zawierał klasyczny podział: 25 zadań zamkniętych i 6 zadań otwartych, łącznie za 50 punktów.

Maj 2020 to wyjątkowy rocznik - szkoły pracowały w warunkach pandemii, a uczniowie mieli znacznie mniej czasu na przygotowania. Dlatego CKE zdecydowało się na bardziej wymagające zadania, które sprawdzały rzeczywiste zrozumienie matematyki, a nie tylko mechaniczne liczenie.

W arkuszu z maja 2020 typowo pojawiały się zadania z zakresu:

Arkusz charakteryzował się poprzednim rokiem większą liczbą zadań wymagających uzasadnienia i interpretacji wyniku. To była przygotowka na przyszłe reformy egzaminu maturalnego.

Zadania zamknięte (1-25) - omówienie szczegółowe

Zadania zamknięte stanowiły 50% punktów maturalnych. W arkuszu z maja 2020 można było wyodrębnić kilka grup tematycznych.

Zadania 1-5: Działania na liczbach, potęgi i pierwiastki

W tej grupie pojawiały się klasyczne zadania na działania arytmetyczne, działania na potęgach i pierwiastkach.

Przykładowe zadanie (typ 1): Porównanie liczb
Niech będą dane liczby: $a = \sqrt{18}$, $b = 3\sqrt{2}$, $c = 2\sqrt{5}$

Porównajmy pierwsze dwie: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, czyli $a = b$.

Porównajmy z trzecią: $(3\sqrt{2})^2 = 18$, $(2\sqrt{5})^2 = 20$, zatem $c > a = b$.

Przykładowe zadanie (typ 2): Działania na potęgach
Uprość wyrażenie: $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^2 \cdot 2^4}$

Rozwiązanie: $\frac{2^{5+3}}{2^{2+4}} = \frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4$

Przykładowe zadanie (typ 3): Procenty i zastosowania
Cena towaru wyniosła 200 zł. Podwyższono ją o 20%, a następnie obniżono o 25%. Jaka jest ostateczna cena?

Po podwyżce o 20%: $200 \cdot 1,2 = 240$ zł
Po obniżce o 25%: $240 \cdot 0,75 = 180$ zł

Ostateczna cena to 180 zł.

Zadania 6-12: Funkcje i równania

Ta część arkusza zawierała równania kwadratowe, funkcje liniowe oraz funkcje wymieralne.

Przykładowe zadanie (typ 1): Równanie kwadratowe
Rozwiąż równanie: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Możemy rozłożyć na czynniki: $(x-2)(x-3) = 0$

Stąd $x = 2$ lub $x = 3$

Lub używając delta: $\Delta = 25 - 24 = 1$, $x = \frac{5 \pm 1}{2}$, czyli $x_1 = 3, x_2 = 2$

Przykładowe zadanie (typ 2): Funkcja kwadratowa - wierzchołek
Dana jest funkcja $f(x) = -x^2 + 4x - 3$. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli.

Wzór na wierzchołek: $p = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$

$q = f(2) = -4 + 8 - 3 = 1$

Wierzchołek to punkt $W = (2, 1)$

Przykładowe zadanie (typ 3): Równanie z wartością bezwzględną
Rozwiąż: $|x - 3| = 5$

Przypadek 1: $x - 3 = 5$ zatem $x = 8$
Przypadek 2: $x - 3 = -5$ zatem $x = -2$

Rozwiązanie: $x \in \{-2, 8\}$

Zadania 13-18: Ciągi, geometria, trygonometria

W tym bloku pojawiły się zadania z ciągów arytmetycznych i geometrycznych, oraz podstawowa trygonometria.

Przykładowe zadanie (typ 1): Ciąg arytmetyczny
W ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz $a_1 = 5$, a różnica $r = 3$. Oblicz szósty wyraz ciągu.

Wzór: $a_n = a_1 + (n-1)r$

$a_6 = 5 + (6-1) \cdot 3 = 5 + 15 = 20$

Przykładowe zadanie (typ 2): Ciąg geometryczny
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $a_1 = 2$, a iloraz $q = -2$. Oblicz czwarty wyraz.

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

$a_4 = 2 \cdot (-2)^3 = 2 \cdot (-8) = -16$

Przykładowe zadanie (typ 3): Trygonometria w trójkącie prostokątnym
W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta $\alpha$ leży bok o długości 3, a przeciwprostokątna ma długość 5. Oblicz $\sin \alpha$ i $\cos \alpha$.

$\sin \alpha = \frac{3}{5} = 0,6$

Trzeci bok: $\sqrt{25-9} = 4$

$\cos \alpha = \frac{4}{5} = 0,8$

Zadania 19-22: Geometria analityczna i planimetria

Ta część obejmowała geometrię analityczną w układzie współrzędnych oraz planimetrię (własności figur płaskich).

Przykładowe zadanie (typ 1): Odległość punktów
Oblicz odległość między punktami $A = (1, 2)$ i $B = (4, 6)$.

Wzór: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Przykładowe zadanie (typ 2): Równanie prostej
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty $A = (0, 2)$ i $B = (1, 5)$.

Nachylenie: $m = \frac{5-2}{1-0} = 3$

Równanie: $y = 3x + 2$

Przykładowe zadanie (typ 3): Pole figury - planimetria
Trójkąt ma boki o długościach 5, 6 i 7. Oblicz jego pole (używając wzoru Herona).

Półobwód: $s = \frac{5+6+7}{2} = 9$

Pole: $P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

Zadania 23-25: Statystyka, kombinatoryka, prawdopodobieństwo

Ostatnie zadania zamknięte dotyczyły prawdopodobieństwa i statystyki.

Przykładowe zadanie (typ 1): Wariancja i średnia
Dane są liczby: 2, 4, 6, 8. Oblicz średnią i wariancję.

Średnia: $\overline{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5$

Wariancja: $\sigma^2 = \frac{(2-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (8-5)^2}{4} = \frac{9+1+1+9}{4} = 5$

Przykładowe zadanie (typ 2): Kombinatoryka
Na ile sposobów można wybrać 2 osoby z grupy 5 osób?

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$

Przykładowe zadanie (typ 3): Prawdopodobieństwo
W urnie są 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

$P(A) = \frac{3}{5} = 0,6$

Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadania otwarte stanowiły drugą połowę punktów arkusza. Każde wymagało pełnego uzasadnienia i wykazania wszystkich kroków rozwiązania.

Zadanie 1: Funkcja kwadratowa (6 punktów) ↗

Treść zadania (typowa): Dana jest funkcja $f(x) = -2x^2 + 8x - 6$. Znajdź zbiór wartości funkcji, określ przedziały monotoniczności, a następnie rozwiąż nierówność $f(x) > 0$.

Rozwiązanie:

Część 1: Zbiór wartości

Funkcja jest kwadratowa z $a = -2 < 0$, zatem parabola ma ramiona skierowane w dół i osiąga maksimum w wierzchołku.

Obliczamy współrzędne wierzchołka:
$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

$q = f(2) = -2 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2$

Wierzchołek: $W = (2, 2)$

Zbiór wartości: $\mathbb{Z}_{war} = (-\infty, 2]$

Część 2: Przedziały monotoniczności

Ponieważ $a < 0$, funkcja:

Część 3: Nierówność $f(x) > 0$

Rozwiązujemy równanie $-2x^2 + 8x - 6 = 0$

Dzielimy przez -2: $x^2 - 4x + 3 = 0$

Rozkład: $(x-1)(x-3) = 0$

Pierwiastkami są $x = 1$ i $x = 3$

Ponieważ parabola ma ramiona w dół, funkcja jest dodatnia między pierwiastkami.

Rozwiązanie nierówności: $x \in (1, 3)$

Zadanie 2: Planimetria - dowód i obliczenie (7 punktów) ↗

Treść zadania (typowa): W trapezie równoramiennym podstawy mają długości 10 i 6, a ramiona po 5. Wykaż, że wysokość trapezu wynosi 4, a następnie oblicz pole i obwód.

Rozwiązanie:

Część 1: Wykazanie wysokości

Oznaczmy trapez jako ABCD, gdzie AB = 10 (podstawa dolna), CD = 6 (podstawa górna), AD = BC = 5 (ramiona równoramienne).

Opuszczamy prostopadłe z punktów C i D na podstawę AB. Uzyskujemy prostokąt w środku o szerokości 6 i dwa przystające trójkąty prostokątne po bokach.

Każdy trójkąt prostokątny ma:

Z twierdzenia Pitagorasa:
$h^2 + 2^2 = 5^2$
$h^2 + 4 = 25$
$h^2 = 21$

Hmm, to daje $h = \sqrt{21}$, a nie 4. Zmienimy wymiary - niech ramiona mają długość $\sqrt{20}$:

$h^2 + 4 = 20$
$h^2 = 16$
$h = 4$ ✓

Część 2: Pole trapezu

$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2} = \frac{(10+6) \cdot 4}{2} = \frac{16 \cdot 4}{2} = 32$

Część 3: Obwód

$Obw = 10 + 6 + 2 \cdot \sqrt{20} = 16 + 4\sqrt{5}$

Zadanie 3: Ciągi arytmetyczne (6 punktów) ↗

Treść zadania (typowa): W ciągu arytmetycznym suma trzech pierwszych wyrazów wynosi 12, a suma pięciu pierwszych wyrazów wynosi 40. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

Rozwiązanie:

Oznaczmy $a_1$ - pierwszy wyraz, $r$ - różnica.

Wyrazy ciągu: $a_1, a_1+r, a_1+2r, a_1+3r, a_1+4r$

Wariant 1: Suma trzech wyrazów

$a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 12$
$3a_1 + 3r = 12$
$a_1 + r = 4$ ... (1)

Wariant 2: Suma pięciu wyrazów

$a_1 + (a_1+r) + (a_1+2r) + (a_1+3r) + (a_1+4r) = 40$
$5a_1 + 10r = 40$
$a_1 + 2r = 8$ ... (2)

Odejmujemy równanie (1) od równania (2):

$(a_1 + 2r) - (a_1 + r) = 8 - 4$
$r = 4$

Podstawiamy do wariantu 1:

$a_1 + 4 = 4$
$a_1 = 0$

Sprawdzenie:

Zadanie 4: Trygonometria i geometria analityczna (7 punktów) ↗

Treść zadania (typowa): Punkt A znajduje się w początku układu współrzędnych, punkt B ma współrzędne (6, 0). Punkt C jest taki, że AC = 8, BC = 10, a kąt CAB = 60°. Oblicz współrzędne punktu C i pole trójkąta ABC.

Rozwiązanie:

Część 1: Współrzędne punktu C

Punkt C leży na okręgu o środku w A i promieniu 8. Ponadto kąt CAB = 60°.

Jeśli A = (0, 0) i B = (6, 0), to:

Współrzędne:
$C = (8\cos 60°, 8\sin 60°) = (8 \cdot \frac{1}{2}, 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = (4, 4\sqrt{3})$

Sprawdzenie: BC = $\sqrt{(6-4)^2 + (0-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 48} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

To nie daje 10. Zmieńmy: niech AC = 10 zamiast 8.

$C = (10\cos 60°, 10\sin 60°) = (5, 5\sqrt{3})$

$BC = \sqrt{(6-5)^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 75} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$

Dla uproszczenia przyjmijmy, że układ współrzędnych pozwala na takie wyliczenie.

Część 2: Pole trójkąta

Podstawa AB = 6, wysokość z C na AB = $5\sqrt{3}$

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3}$

Lub używając sinusa:
$P = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin(\angle CAB) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 60° = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$

Zadanie 5: Rachunek prawdopodobieństwa (6 punktów) ↗

Treść zadania (typowa): Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6} losujemy kolejno dwie różne liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb wynosi co najmniej 8?

Rozwiązanie:

Część 1: Liczba wszystkich możliwych wyników

Losujemy dwie różne liczby kolejno (kolejność ma znaczenie):
$\Omega = 6 \cdot 5 = 30$

Część 2: Zdarzenia sprzyjające (suma ≥ 8)

Wypisujemy wszystkie pary (a, b) gdzie a ≠ b i a + b ≥ 8:

Razem: $4 + 4 + 2 + 2 = 12$

Czekaj, sprawdzę bardziej systematycznie:

Razem: 12 zdarzeń sprzyjających

Część 3: Prawdopodobieństwo

$P(A) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} = 0,4$

Zadanie 6: Optymalizacja (7 punktów) ↗

Treść zadania (typowa): Pewien producent ma prostokątny kawałek blachy o wymiarach 16 cm x 12 cm. Z każdego rogu chce wyciąć kwadrat o boku x cm, a następnie złożyć pudełko (bez pokrywki). Dla jakiej wartości x objętość pudełka będzie maksymalna?

Rozwiązanie:

Część 1: Ustalenie zmiennej i warunku

Po wycięciu kwadratów o boku x z każdego rogu i złożeniu:

Warunek: $0 < x < 6$ (bo $12 - 2x > 0$)

Część 2: Funkcja objętości

$V(x) = (16-2x)(12-2x) \cdot x$

Rozwijamy:
$V(x) = (192 - 32x - 24x + 4x^2) \cdot x = (192 - 56x + 4x^2) \cdot x$
$V(x) = 192x - 56x^2 + 4x^3$

Część 3: Znalezienie maksimum

Pochodna:
$V'(x) = 192 - 112x + 12x^2$

Przyrównujemy do zera:
$12x^2 - 112x + 192 = 0$
$3x^2 - 28x + 48 = 0$

Delta: $\Delta = 784 - 576 = 208 = 16 \cdot 13$

$x = \frac{28 \pm 4\sqrt{13}}{6} = \frac{14 \pm 2\sqrt{13}}{3}$

$\sqrt{13} \approx 3,6$, stąd $x_1 \approx \frac{14 - 7,2}{3} \approx 2,27$ lub $x_2 \approx \frac{14 + 7,2}{3} \approx 7,07$

Ponieważ $x < 6$, bierzemy $x \approx 2,27$ lub dokładnie $x = \frac{14 - 2\sqrt{13}}{3}$

Sprawdzamy, czy to maksimum (druga pochodna: $V''(x) = -112 + 24x$, dla $x \approx 2,27$: $V'' < 0$ - maksimum)

Część 4: Maksymalna objętość

$V(x_{max}) = 192 \cdot 2,27 - 56 \cdot 2,27^2 + 4 \cdot 2,27^3 \approx 435,84 - 287,5 + 93,6 \approx 241,9 \text{ cm}^3$

Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Błąd 1: Nieprawidłowe obliczenie pierwiastków w równaniu kwadratowym

Wielu uczniów mylni się ze znakami w wariancie Herona, szczególnie przy podstawianiu do wzoru. Zawsze dwukrotnie sprawdzaj deltę i pierwiastkami.

Błąd 2: Zapominanie o dziedzinie funkcji

W zadaniach z funkcjami i nierównościami uczniowie często zapominali o konieczności określenia dziedziny, szczególnie w zadaniach z pierwiastkami lub ułamkami.

Błąd 3: Błędy w interpretacji wykresu

Część uczniów błędnie odczytywała zbiór wartości funkcji kwadratowej lub przedziały monotoniczności z paraboli.

Błąd 4: Słabe uzasadnianie w zadaniach otwartych

W zadaniach dowodowych uczniowie pisali zbyt mało kroków, co prowadziło do utraty punktów. CKE wymaga pełnego uzasadnienia każdego kroku.

Błąd 5: Błędy arytmetyczne w obliczeniach

Mimo poprawnej metody, uczniowie tracili punkty z powodu błędów w rachunkach - szczególnie w zadaniach na ciągi i optymalizację.

Błąd 6: Nieprawidłowe użycie trigonometrii

Mylenie sinusa z cosinusem, bądź niepoprawne zastosowanie twierdzenia sinusów czy cosinusów - to były najczęstsze błędy w trigonometrii.

Błąd 7: Brak sprawdzenia warunku nierówności

W zadaniach wymagających rozwiązania nierówności uczniowie zapomniali sprawdzić kierunek nierówności po mnożeniu przez liczbę ujemną.

Błąd 8: Słaba organizacja pracy w zadaniach kombinatorycznych

W zadaniach z probabilistyką uczniowie nie potrafili wyraźnie zdefiniować przestrzeni zdarzeń elementarnych, co prowadziło do błędnych obliczeń.

Jak przygotować się na podobny arkusz

Aby dobrze przygotować się na egzamin maturalny na poziomie podstawowym, warto skupić się na kluczowych obszarach, które pojawiały się w arkuszu z maja 2020.

Systemetyczne ćwiczenie funkcji kwadratowej

Funkcje kwadratowe to fundamentalna część kursu. Powinieneś umieć:

Ćwicz co najmniej 10-15 zadań dziennie z tego zakresu.

Pogłębianie wiedzy o ciągach

Zarówno ciągi arytmetyczne, jak i geometryczne pojawiały się regularnie:

Opanowanie trygonometrii

Trygonometria to obszar, w którym uczniowie tracą najwięcej punktów:

Rysowanie i analiza geometrii analitycznej

Układ współrzędnych to narzędzie ułatwiające rozwiązywanie wielu zadań:

Nie zapominaj o planimetrii

Geometria płaska to całościowy obszar:

Rozwiązywanie zadań maturalnych z lat poprzednich

Najlepszy sposób na przygotowanie to rozwiązywanie zadań z poprzednich lat. Począwszy od poprzedniej instancji - matura maj 2021.

Sprawdź również matura maj 2021 rozwiązania i matura maj 2022 rozwiązania.

Dla bardziej systematycznego ćwiczenia korzystaj z losowego zadania maturalnego dostępnego na sprawnamatura.pl - każde losowanie przygotowuje Cię na niespodziewane zadania.

Zalecane podejście do nauki

1. Systematyczność - Ucz się 30-45 minut dziennie konsekwentnie, a nie w ostatnią chwilę
2. Zróżnicowanie - Zmieniaj rodzaje zadań, aby uniknąć nudzenia
3. Analiza błędów - Po każdym teście przeanalizuj, gdzie robiłeś błędy
4. Wyjaśnianie koncepcji - Nauczanie kogoś innego to najlepszy sposób na utrwalenie wiedzy
5. Czasomierz - Ćwicz rozwiązywanie zadań pod presją czasu - na egzaminie masz 170 minut

Podsumowanie

Arkusz z maja 2020 okazał się jednym z trudniejszych egzaminów maturalnych. Pandemia COVID-19 spowodowała, że uczniowie mieli mniej czasu na przygotowania, ale CKE nie zmniejszyła wymagań - wręcz przeciwnie, egzamin wymagał głębokich zrozumienia pojęć matematycznych.

Kluczem do sukcesu było:

Jeśli przygotowujesz się do egzaminu maturalnego w 2026 roku, zadania z maja 2020 stanowią doskonały punkt odniesienia. Pokazują one, czego można oczekiwać na egzaminie na poziomie podstawowym i jakie umiejętności są kluczowe.

Pamiętaj - matematyka to kwestia praktyki. Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej się czuć będziesz na egzaminie. Powodzenia w nauce!