Matura maj 2020 matematyka - odpowiedzi i rozwiązania

O arkuszu Matura maj 2020

To arkusz z matematyki na poziomie podstawowym z terminu głównego 2020 roku, w formule 2015. Z powodu pandemii COVID-19 egzamin odbył się wyjątkowo w czerwcu, a nie w maju. Arkusz miał 34 zadania: 25 zamkniętych (numery 1-25, każde za 1 punkt) i 9 otwartych (numery 26-34). Zadania 26-31 były warte po 2 punkty, zadania 32 i 33 po 4 punkty, a zadanie 34 - 5 punktów. Razem do zdobycia było 50 punktów, a na rozwiązanie arkusza 170 minut. Do zdania matury wystarczało 30% punktów, czyli 15.

Zadania sprawdzały następujące działy (w nawiasach numery zadań):

•liczby, potęgi, logarytmy i procenty (1-4),
•równania i nierówności (5, 6, 10, 26, 27) oraz dowód nierówności (28),
•funkcje i proste, w tym funkcja kwadratowa (7-9, 11-13, 16),
•ciągi arytmetyczne i geometryczne (14, 15, 33),
•trygonometria (19, 31),
•geometria analityczna (18, 20, 32),
•planimetria (17, 22, 29) i stereometria (24, 25, 34),
•kombinatoryka, statystyka i rachunek prawdopodobieństwa (21, 23, 30).

Poniżej znajdziesz omówienie zadań zamkniętych z kluczem odpowiedzi do wszystkich 25, a potem pełne rozwiązania wszystkich zadań otwartych. Pod każdym rozwiązaniem jest link do zadania na Sprawnej Maturze, gdzie możesz rozwiązać je samodzielnie.

Zadania zamknięte (1-25) - omówienie szczegółowe

Zadania zamknięte dawały połowę punktów arkusza: 25 z 50. Dzielimy je na grupy tematyczne i w każdej rozwiązujemy krok po kroku jedno lub dwa zadania. Odpowiedzi do wszystkich 25 zadań są w tabeli na końcu tej części.

Zadania 1-6: liczby, potęgi, logarytmy, procenty i równania

W tej grupie są: wartość wyrażenia dla $x = \sqrt{3} + 3$ (zadanie 1), działania na potęgach (2), logarytm z pierwiastka (3), obniżka i podwyżka ceny (4), nierówność liniowa (5) oraz suma rozwiązań równania w postaci iloczynowej (6).

Zadanie 1 - wartość wyrażenia z pierwiastkiem (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 1Potęgi i pierwiastki1 pkt

Wartość wyrażenia

x^2-6x+9

dla

x=\sqrt{3}+3

jest równa

A $1$
B $3$
C $1+2\sqrt{3}$
D $1-2\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wyrażenie to kwadrat różnicy: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ . Dla $x = \sqrt{3} + 3$ mamy $x - 3 = \sqrt{3}$ , więc:

(x - 3)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3

Ten sam wynik daje bezpośrednie podstawienie: $3 + 6\sqrt{3} + 9 - 6\sqrt{3} - 18 + 9 = 3$ .

Odpowiedź B

$3$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Potęgi i pierwiastki

Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2020

Zadanie 4 - powrót do ceny po obniżce (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 4Procenty1 pkt

Cenę

x

pewnego towaru obniżono o

20\%

i otrzymano cenę

y

. Aby przywrócić cenę

x

, nową cenę

y

należy podnieść o

A $25\%$
B $20\%$
C $15\%$
D $12\%$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Po obniżce $y = 0{,}8x$ . Podwyżka musi wynieść $x - 0{,}8x = 0{,}2x$ , ale procent liczymy od nowej, niższej ceny $y$ :

\frac{0{,}2x}{0{,}8x} = \frac{1}{4} = 25\%

Podwyżka o $20\%$ (odpowiedź B) dałaby tylko $0{,}8x \cdot 1{,}2 = 0{,}96x$ .

Odpowiedź A

$25\%$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Procenty

Zadania 7-13: funkcje, równania i proste

Zadania 7, 8 i 9 dotyczą tej samej funkcji kwadratowej $f(x) = a(x-1)(x-3)$ o wierzchołku $W = (2, 1)$ . W zadaniu 8 jej największa wartość w przedziale $\langle 1, 4 \rangle$ to $1$ , a w zadaniu 9 oś symetrii paraboli ma równanie $x = 2$ . Dalej są: równanie $x(x-2) = (x-2)^2$ (10), znaki współczynników funkcji liniowej odczytane z wykresu (11), wartość funkcji $f(x) = 4^{-x} + 1$ (12) i proste równoległe (13).

Zadanie 7 - współczynnik a funkcji kwadratowej (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 7Funkcja kwadratowa1 pkt

Funkcja kwadratowa

f

jest określona wzorem

f(x)=a(x-1)(x-3)

. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt

W = (2,1)

. Współczynnik

a

we wzorze funkcji

f

jest równy

A $1$
B $2$
C $-2$
D $-1$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wierzchołek należy do wykresu, więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji:

1 = a(2 - 1)(2 - 3) = a \cdot 1 \cdot (-1) = -a \quad\Rightarrow\quad a = -1

Ujemne $a$ zgadza się z tym, że wierzchołek leży nad osią $Ox$ , a miejsca zerowe to $1$ i $3$ : ramiona paraboli są skierowane w dół.

Odpowiedź D

$-1$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa

Zadanie 10 - równanie z kwadratem dwumianu (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 10Równania i nierówności1 pkt

Równanie

x(x-2)=(x-2)^2

w zbiorze liczb rzeczywistych

Anie ma rozwiązań.
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$ .
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 0$ .
Dma dwa różne rozwiązania: $x =1$ i $x = 2$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Rozpisujemy prawą stronę ze wzoru skróconego mnożenia:

x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4 \quad\Rightarrow\quad 2x = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 2

Sprawdzenie: dla $x = 2$ obie strony są równe $0$ . Nie wolno tu dzielić obu stron przez $x - 2$ : to wyrażenie jest zerem właśnie dla $x = 2$ , więc po takim dzieleniu znika jedyne rozwiązanie i wychodzi sprzeczność $x = x - 2$ (odpowiedź A).

Odpowiedź B

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$ .

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadania 14-16: ciągi i funkcja liniowa

Dwa zadania z ciągów: różnica wyrazów ciągu $a_n = 2n^2$ (14) i suma czterech wyrazów ciągu arytmetycznego (15). Zadanie 16 dotyczy punktu na wykresie funkcji liniowej.

Zadanie 15 - suma wyrazów ciągu arytmetycznego (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 15Ciągi1 pkt

W ciągu arytmetycznym

(a_n)

, określonym dla

n\ge1

, czwarty wyraz jest równy

3

, a różnica tego ciągu jest równa

5

. Suma

a_1+a_2+a_3+a_4

jest równa

A $-42$
B $-36$
C $-18$
D $6$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Cofamy się od czwartego wyrazu, odejmując różnicę $r = 5$ :

a_3 = 3 - 5 = -2, \qquad a_2 = -2 - 5 = -7, \qquad a_1 = -7 - 5 = -12

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -12 - 7 - 2 + 3 = -18

To samo daje wzór na sumę: $S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4 = \frac{-12 + 3}{2} \cdot 4 = -18$ .

Odpowiedź C

$-18$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Zadanie 16 - punkt na wykresie funkcji liniowej (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 16Funkcja liniowa1 pkt

Punkt

A=\left(\frac{1}{3},-1\right)

należy do wykresu funkcji liniowej

f

określonej wzorem

f(x)=3x+b

. Wynika stąd, że

A $b=2$
B $b=1$
C $b=-1$
D $b=-2$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Podstawiamy współrzędne punktu $A$ do wzoru funkcji:

-1 = 3 \cdot \frac{1}{3} + b = 1 + b \quad\Rightarrow\quad b = -2

Odpowiedź D

$b=-2$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja liniowa

Zadania 17-20: planimetria, geometria analityczna i trygonometria

Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg (17), prosta przez dwa punkty (18), wyrażenie trygonometryczne w trójkącie prostokątnym (19) i symetria względem początku układu współrzędnych (20). Więcej zadań znajdziesz w działach trygonometria i geometria analityczna.

Zadanie 18 - prosta przez dwa punkty (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 18Geometria analityczna1 pkt

Prosta przechodząca przez punkty

A=(3,-2)

B=(-1,6)

jest określona równaniem

A $y=-2x+4$
B $y=-2x-8$
C $y=2x+8$
D $y=2x-4$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Współczynnik kierunkowy to iloraz przyrostów:

a = \frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \frac{8}{-4} = -2

Wyraz wolny z punktu $A$ : $-2 = -2 \cdot 3 + b$ , więc $b = 4$ . Sprawdzenie punktem $B$ : $-2 \cdot (-1) + 4 = 6$ .

Odpowiedź A

$y=-2x+4$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 20 - symetria względem początku układu (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 20Geometria analityczna1 pkt

Punkt

B

jest obrazem punktu

A=(-3,5)

w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka

AB

jest równa

A $2\sqrt{34}$
B $8$
C $\sqrt{34}$
D $12$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

W symetrii względem początku układu obie współrzędne zmieniają znak, więc $B = (3, -5)$ . Ze wzoru na długość odcinka:

|AB| = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}

Odpowiedź A

$2\sqrt{34}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadania 21-23: kombinatoryka, planimetria i statystyka

Liczby dwucyfrowe o niepowtarzających się cyfrach (21), pole czworokąta wyciętego z prostokąta (22, dział planimetria) i mediana dwóch zestawów danych (23).

Zadanie 21 - liczby dwucyfrowe bez powtórzeń (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 21Kombinatoryka1 pkt

Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr:

1, 3, 5, 7, 9

, w których cyfry się nie powtarzają?

A $10$
B $15$
C $20$
D $25$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Cyfrę dziesiątek wybieramy na $5$ sposobów. Cyfrę jedności na $4$ sposoby, bo nie może powtórzyć cyfry dziesiątek. Zera wśród cyfr nie ma, więc każdy wybór daje liczbę dwucyfrową. Z reguły mnożenia:

5 \cdot 4 = 20

Odpowiedź C

$20$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Kombinatoryka

Zadanie 23 - mediana dwóch zestawów danych (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 23Statystyka1 pkt

Cztery liczby:

2, 3, a, 8

, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych:

5, 3, 6, 8, 2

. Zatem

A $a=7$
B $a=6$
C $a=5$
D $a=4$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Porządkujemy drugi zestaw: $2, 3, 5, 6, 8$ . Danych jest pięć, więc medianą jest środkowa liczba, czyli $5$ .

Pierwszy zestaw jest już uporządkowany i ma cztery liczby, więc jego mediana to średnia dwóch środkowych:

\frac{3 + a}{2} = 5 \quad\Rightarrow\quad a = 7

Liczba $7$ leży między $3$ a $8$ , więc zestaw $2, 3, 7, 8$ rzeczywiście jest uporządkowany rosnąco.

Odpowiedź A

$a=7$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Statystyka

Zadania 24-25: stereometria

Sześcian o danej przekątnej (24) i bryła złożona z dwóch stożków o wspólnej podstawie (25).

Zadanie 24 - pole powierzchni sześcianu (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 24Stereometria1 pkt

Przekątna sześcianu ma długość

4\sqrt{3}

. Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

A $96$
B $24\sqrt{3}$
C $192$
D $16\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$ , więc $a = 4$ . Powierzchnię tworzy sześć kwadratów:

P = 6a^2 = 6 \cdot 16 = 96

Odpowiedź A

$96$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Zadanie 25 - dwa stożki o wspólnej podstawie (1 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 25Stereometria1 pkt

Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy

3:2

. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa

12 \text{cm}^3

. Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

A $20 \text{cm}^3$
B $30 \text{cm}^3$
C $39 \text{cm}^3$
D $52{,}5 \text{cm}^3$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Objętość stożka to $V = \frac{1}{3}P_p \cdot H$ . Oba stożki mają tę samą podstawę, więc ich objętości są w tym samym stosunku co wysokości, czyli $3 : 2$ . Wyższy stożek ma objętość:

V_d = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18 \ \text{cm}^3

Cała bryła: $12 + 18 = 30 \ \text{cm}^3$ .

Odpowiedź B

$30 \ \text{cm}^3$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Zadanie	Odpowiedź
1	B. $3$
2	C. $2^{30}\cdot 3^{20}$
3	D. $\frac{3}{2}$
4	A. $25\%$
5	A. $\left(-\frac{5}{3};+\infty\right)$
6	B. $1$
7	D. $-1$
8	C. $1$
9	B. $x=2$
10	B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$
11	D. $a\cdot b\lt0$
12	B. $\frac{3}{2}$
13	C. $m=\frac{11}{4}$
14	D. $18$
15	C. $-18$
16	D. $b=-2$
17	D. $31^\circ$
18	A. $y=-2x+4$
19	B. $\cos \alpha$
20	A. $2\sqrt{34}$
21	C. $20$
22	C. $54$
23	A. $a=7$
24	A. $96$
25	B. $30 \ \text{cm}^3$

Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadania otwarte dawały drugą połowę punktów arkusza: sześć zadań za 2 punkty, dwa za 4 punkty i jedno za 5. Każde wymagało pełnego zapisu rozwiązania.

Zadanie 26 - nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 26Równania i nierówności2 pktOtwarte

Rozwiąż nierówność

2(x-1)(x+3)\gt x-1

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1. Przenosimy wszystko na lewą stronę i porządkujemy:

2x^2 + 4x - 6 - x + 1 \gt 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 + 3x - 5 \gt 0

Krok 2. Miejsca zerowe:

\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49, \qquad \sqrt{\Delta} = 7

x_1 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{5}{2}, \qquad x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = 1

Szybciej: $2(x-1)(x+3) - (x-1) = (x-1)(2x+5)$ , co daje od razu te same miejsca zerowe. Nie wolno natomiast dzielić obu stron przez $x - 1$ , bo znak tego wyrażenia zależy od $x$ .

Krok 3. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, ramiona paraboli idą w górę, więc wartości dodatnie są na zewnątrz miejsc zerowych.

Odpowiedź

$x \in \left(-\infty, -\frac{5}{2}\right) \cup (1, +\infty)$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 27 - równanie w postaci iloczynowej (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 27Równania i nierówności2 pktOtwarte

Rozwiąż równanie

(x^2-1)(x^2-2x)=0

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników.

Pierwszy czynnik: $x^2 - 1 = 0$ , więc $x^2 = 1$ , czyli $x = 1$ lub $x = -1$ .

Drugi czynnik: $x^2 - 2x = x(x - 2) = 0$ , więc $x = 0$ lub $x = 2$ .

Odpowiedź

$x = -1$ , $x = 0$ , $x = 1$ lub $x = 2$ .

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 28 - dowód nierówności (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 28Równania i nierówności2 pktOtwarte

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych

a

b

prawdziwa jest nierówność

a(a-2b)+2b^2\gt 0

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Rozpisujemy lewą stronę i dzielimy $2b^2$ na $b^2 + b^2$ :

a(a - 2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 = (a - b)^2 + b^2

Liczby $a$ i $b$ są różne, więc $a - b \neq 0$ i $(a - b)^2 > 0$ . Do tego $b^2 \ge 0$ . Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia. Bez założenia $a \neq b$ dostalibyśmy tylko nierówność nieostrą, bo dla $a = b = 0$ wyrażenie jest równe $0$ .

Odpowiedź

$a(a - 2b) + 2b^2 = (a - b)^2 + b^2 > 0$ dla $a \neq b$ , co należało wykazać.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 29 - trójkąt równoboczny, dowód (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 29Planimetria2 pktOtwarte

Trójkąt

ABC

jest równoboczny. Punkt

E

leży na wysokości

CD

tego trójkąta oraz

|CE|=\frac{3}{4}|CD|

. Punkt

F

leży na boku

BC

i odcinek

EF

jest prostopadły do

BC

(zobacz rysunek). Wykaż, że

|CF|=\frac{9}{16}|CB|

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1. Niech $a$ będzie długością boku trójkąta. Wysokość trójkąta równobocznego to $|CD| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ , więc:

|CE| = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a\sqrt{3}}{8}

Krok 2. Trójkąty $CEF$ i $CBD$ są prostokątne (kąty proste przy $F$ i $D$ ) i mają wspólny kąt przy wierzchołku $C$ . Mają więc równe kąty, czyli są podobne.

Krok 3. Z podobieństwa:

\frac{|CF|}{|CD|} = \frac{|CE|}{|CB|} \quad\Rightarrow\quad |CF| = \frac{|CE| \cdot |CD|}{|CB|} = \frac{\frac{3a\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{9a}{16}

Bok $CB$ ma długość $a$ , więc $|CF| = \frac{9}{16}|CB|$ .

Odpowiedź

$|CF| = \frac{9}{16}|CB|$ , co należało wykazać.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Planimetria

Zadanie 30 - prawdopodobieństwo, dwa rzuty kostką (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 30Prawdopodobieństwo2 pktOtwarte

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

A

polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wszystkich wyników dwóch rzutów jest $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$ .

Zdarzenie $A$ to pary z piątką w pierwszym rzucie ( $6$ par) albo w drugim ( $6$ par). Para $(5, 5)$ jest w obu grupach, więc liczymy ją raz: $|A| = 6 + 6 - 1 = 11$ . To samo daje zdarzenie przeciwne: bez żadnej piątki jest $5 \cdot 5 = 25$ par, a $36 - 25 = 11$ .

P(A) = \frac{11}{36}

Odpowiedź

$P(A) = \frac{11}{36}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Prawdopodobieństwo

Zadanie 31 - tangens kąta ostrego (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 31Trygonometria2 pktOtwarte

Kąt

\alpha

jest ostry i spełnia warunek

\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{\cos \alpha }=4

. Oblicz tangens kąta

\alpha

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Kąt jest ostry, więc $\cos\alpha \neq 0$ i możemy pomnożyć obie strony przez $\cos\alpha$ :

2\sin\alpha + 3\cos\alpha = 4\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad 2\sin\alpha = \cos\alpha

Dzielimy przez $\cos\alpha$ i korzystamy z $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ :

2\operatorname{tg}\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}

Odpowiedź

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Zadanie 32 - kwadrat w układzie współrzędnych (otwarte, 4 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 32Geometria analityczna4 pktOtwarte

Dany jest kwadrat

ABCD

, w którym

A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)

. Przekątna

BD

tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu

y=\frac{4}{3}x

. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych

AC

BD

oraz pole kwadratu

ABCD

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1. Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc prosta $AC$ ma współczynnik kierunkowy $-\frac{3}{4}$ , bo $\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$ .

Krok 2. Prosta $AC$ przechodzi przez $A$ :

-\frac{5}{3} = -\frac{3}{4} \cdot 5 + b \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{20}{12} + \frac{45}{12} = \frac{25}{12}, \qquad AC\colon\ y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12}

Krok 3. Punkt przecięcia przekątnych:

\frac{4}{3}x = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12} \quad \Big/ \cdot 12 \quad\Rightarrow\quad 16x = -9x + 25 \quad\Rightarrow\quad x = 1, \qquad y = \frac{4}{3}

Krok 4. Przekątne kwadratu dzielą się na połowy, więc $|AC| = 2|AS|$ :

|AS| = \sqrt{(1 - 5)^2 + \left(\frac{4}{3} + \frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5, \qquad |AC| = 10

Krok 5. Pole kwadratu z przekątnej: $P = \frac{1}{2}|AC|^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50$ .

Odpowiedź

punkt przecięcia przekątnych $S = \left(1, \frac{4}{3}\right)$ , pole kwadratu $50$ .

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 33 - iloraz ciągu geometrycznego (otwarte, 4 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 33Ciągi4 pktOtwarte

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego

(a_n)

, określonego dla

n\ge1

, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek

6a_1-5a_2+a_3=0

. Oblicz iloraz

q

tego ciągu należący do przedziału

\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1. Zapisujemy wyrazy przez $a_1$ i $q$ : $a_2 = a_1 q$ , $a_3 = a_1 q^2$ . Wtedy:

6a_1 - 5a_1 q + a_1 q^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_1(q^2 - 5q + 6) = 0

Krok 2. Wyrazy są dodatnie, więc $a_1 \neq 0$ i zostaje równanie kwadratowe:

q^2 - 5q + 6 = 0, \qquad \Delta = 25 - 24 = 1, \qquad q = 2 \ \text{lub} \ q = 3

Krok 3. Sprawdzamy przedział, porównując kwadraty liczb dodatnich: $(2\sqrt{2})^2 = 8$ i $(3\sqrt{2})^2 = 18$ . Liczba $2$ ma kwadrat $4 < 8$ , więc leży poza przedziałem. Liczba $3$ ma kwadrat $9$ , a $8 \le 9 \le 18$ , więc do przedziału należy.

Odpowiedź

$q = 3$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Zadanie 34 - objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego (otwarte, 5 pkt) ↗

Matura maj 2020Zadanie 34Stereometria5 pktOtwarte

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny

ABCDS

, którego krawędź boczna ma długość

6

(zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy

\sqrt{7}

. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1. Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, a $H$ wysokością ostrosłupa. Kąt nachylenia ściany bocznej leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $H$ i $\frac{a}{2}$ (odległość środka podstawy od krawędzi). Z tangensa:

\frac{H}{\frac{a}{2}} = \sqrt{7} \quad\Rightarrow\quad H = \frac{a\sqrt{7}}{2}

Krok 2. Krawędź boczna jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $H$ i połowie przekątnej podstawy $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ :

\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{7}}{2}\right)^2 = 6^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{2a^2 + 7a^2}{4} = 36 \quad\Rightarrow\quad a^2 = 16, \quad a = 4

Krok 3. Wysokość: $H = \frac{4\sqrt{7}}{2} = 2\sqrt{7}$ .

Krok 4. Objętość:

V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{7} = \frac{32\sqrt{7}}{3}

Odpowiedź

$V = \frac{32\sqrt{7}}{3}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Błąd 1: procent liczony od złej wartości

W zadaniu 4 podwyżkę liczy się od ceny po obniżce, a nie od ceny wyjściowej. Obniżka o $20\%$ i podwyżka o $20\%$ nie wracają do punktu wyjścia: $0{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96$ . Potrzebna podwyżka to $25\%$ .

Błąd 2: brak zmiany znaku nierówności

W zadaniu 5 po wymnożeniu nawiasów mamy $3 - 3x \gt -6x - 2$ . Jeśli przeniesiesz wyrazy tak, że zostanie $5 \gt -3x$ , to przy dzieleniu przez $-3$ musisz odwrócić znak: $x \gt -\frac{5}{3}$ . Bez zmiany znaku wychodzi przedział z odpowiedzi D.

Błąd 3: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą

W zadaniu 10 podzielenie obu stron przez $x - 2$ gubi jedyne rozwiązanie $x = 2$ i prowadzi do błędnej odpowiedzi A. W zadaniu 26 podzielenie nierówności przez $x - 1$ jest błędem z innego powodu: nie znasz znaku tego wyrażenia, więc nie wiesz, czy zmienić kierunek nierówności. W obu przypadkach bezpieczniej jest przenieść wszystko na jedną stronę i wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

Błąd 4: wartość największa zawsze w wierzchołku

W zadaniu 8 największą wartością jest $1$ , bo pierwsza współrzędna wierzchołka, $2$ , należy do przedziału $\langle 1, 4 \rangle$ . Gdyby wierzchołek leżał poza przedziałem, trzeba by porównać wartości na jego końcach: tutaj $f(1) = 0$ i $f(4) = -3$ , i to są odpowiedzi B i A.

Błąd 5: niepełne uzasadnienie w dowodzie

W zadaniu 28 sama postać $(a - b)^2 + b^2$ to za mało. Trzeba napisać, dlaczego suma jest dodatnia, a nie tylko nieujemna: $a \neq b$ , więc $(a - b)^2 > 0$ . W zadaniu 29 trzeba wskazać, dlaczego trójkąty są podobne, zanim ułożysz proporcję.

Błąd 6: rachunki na ułamkach

W zadaniu 32 współrzędna $-\frac{5}{3}$ i współczynnik $-\frac{3}{4}$ prowadzą do równania z ułamkami. Najpewniej sprowadzić je do wspólnego mianownika $12$ albo pomnożyć całe równanie przez $12$ , zamiast liczyć na przybliżeniach dziesiętnych.

Błąd 7: pomylone funkcje trygonometryczne

W zadaniu 19 cosinus jednego kąta ostrego trójkąta prostokątnego to sinus drugiego: $\sin\beta = \cos\alpha$ , więc $2\cos\alpha - \sin\beta = \cos\alpha$ . W zadaniu 31 kluczowe jest zauważenie, że $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha$ .

Błąd 8: podwójnie policzone zdarzenie

W zadaniu 30 para $(5, 5)$ ma piątkę w obu rzutach. Kto doda $6$ par z piątką w pierwszym rzucie i $6$ z piątką w drugim, policzy ją dwa razy i dostanie $\frac{12}{36}$ zamiast $\frac{11}{36}$ . Zdarzenie przeciwne ( $36 - 25$ ) chroni przed tym błędem.

Jak przygotować się na podobny arkusz

Poniżej działy, które sprawdzał arkusz z 2020 roku, z numerami zadań do powtórki.

Systematyczne ćwiczenie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa wróciła w tym arkuszu w zadaniach 7-9 i w nierówności z zadania 26. Powinieneś umieć:

•przechodzić między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową,
•wyznaczać wierzchołek paraboli i oś symetrii,
•znajdować największą i najmniejszą wartość w przedziale,
•rozwiązywać nierówności kwadratowe.

Ćwicz zadania z tego zakresu regularnie, najlepiej codziennie.

Pogłębianie wiedzy o ciągach

Ciągi arytmetyczne i geometryczne pojawiły się w zadaniach 14, 15 i 33:

•znaj i stosuj wzory na $n$ -ty wyraz,
•umiej obliczać sumy początkowych wyrazów,
•zapisuj kolejne wyrazy przez $a_1$ i $r$ albo $a_1$ i $q$ , jak w zadaniu 33.

Opanowanie trygonometrii

Trygonometria była w zadaniach 19 i 31:

•zapamiętaj wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów $30^\circ$ , $45^\circ$ i $60^\circ$ ,
•znaj definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym,
•stosuj tożsamości $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ i $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .

Rysowanie i analiza geometrii analitycznej

Układ współrzędnych ułatwia rozwiązywanie wielu zadań z geometrii analitycznej. W tym arkuszu były to zadania 18, 20 i 32:

•obliczanie długości odcinka,
•równanie prostej przez dwa punkty,
•proste prostopadłe i punkt przecięcia dwóch prostych.

Nie zapominaj o planimetrii

Geometria płaska (planimetria) to zadania 17, 22 i 29:

•kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg,
•pola wielokątów,
•podobieństwo trójkątów, twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie Talesa.

Rozwiązywanie zadań maturalnych z lat poprzednich

Najlepszy sposób na przygotowanie to rozwiązywanie całych arkuszy z poprzednich lat. Po arkuszu z 2020 roku sprawdź również matura maj 2021 rozwiązania i matura maj 2022 rozwiązania.

Dla bardziej systematycznego ćwiczenia korzystaj z losowego zadania maturalnego dostępnego na sprawnamatura.pl - każde losowanie przygotowuje Cię na niespodziewane zadania.

Zalecane podejście do nauki

1.Systematyczność - ucz się 30-45 minut dziennie, a nie w ostatniej chwili
2.Zróżnicowanie - zmieniaj rodzaje zadań, żeby ćwiczyć rozpoznawanie, którą metodę wybrać
3.Analiza błędów - po każdym teście sprawdź, gdzie robiłeś błędy
4.Wyjaśnianie koncepcji - tłumaczenie komuś innemu dobrze utrwala wiedzę
5.Czasomierz - ćwicz rozwiązywanie zadań pod presją czasu; ten arkusz trwał 170 minut, a obecna matura podstawowa trwa 180 minut

Podsumowanie

Arkusz z 2020 roku sprawdzał materiał z całej podstawy: od potęg, logarytmów i procentów, przez funkcje, równania i ciągi, po geometrię płaską, analityczną i przestrzenną oraz prawdopodobieństwo. Najwięcej punktów dawały trzy ostatnie zadania otwarte: kwadrat w układzie współrzędnych, ciąg geometryczny i ostrosłup, razem 13 z 50.

Kluczem do sukcesu było:

•systematyczne ćwiczenie podstawowych pojęć,
•rozumienie, a nie tylko zapamiętywanie procedur,
•praktykowanie rozwiązywania zadań otwartych z pełnym uzasadnieniem,
•regularny kontakt z zadaniami z poprzednich lat.

Jeśli przygotowujesz się do matury w 2027 roku, pamiętaj, że ten arkusz jest w formule 2015, a Ty zdajesz w formule 2023: inny jest czas, układ i część typów zadań. Same umiejętności z tego arkusza, takie jak równania, funkcje, ciągi i geometria, nadal się przydają.

Matematyka to kwestia praktyki. Im więcej zadań rozwiążesz, tym pewniej poczujesz się na egzaminie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

O arkuszu Matura maj 2020

Zadania zamknięte (1-25) - omówienie szczegółowe

Zadania 1-6: liczby, potęgi, logarytmy, procenty i równania

Zadania 7-13: funkcje, równania i proste

Zadania 14-16: ciągi i funkcja liniowa

Zadania 17-20: planimetria, geometria analityczna i trygonometria

Zadania 21-23: kombinatoryka, planimetria i statystyka

Zadania 24-25: stereometria

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Błąd 1: procent liczony od złej wartości

Błąd 2: brak zmiany znaku nierówności

Błąd 3: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą

Błąd 4: wartość największa zawsze w wierzchołku

Błąd 5: niepełne uzasadnienie w dowodzie

Błąd 6: rachunki na ułamkach

Błąd 7: pomylone funkcje trygonometryczne

Błąd 8: podwójnie policzone zdarzenie

Jak przygotować się na podobny arkusz

Systematyczne ćwiczenie funkcji kwadratowej

Pogłębianie wiedzy o ciągach

Opanowanie trygonometrii

Rysowanie i analiza geometrii analitycznej

Nie zapominaj o planimetrii

Rozwiązywanie zadań maturalnych z lat poprzednich

Zalecane podejście do nauki

Podsumowanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Czytaj dalej

Matura czerwiec 2019 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Matura maj 2019 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku

Matura maj 2021 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku