Przejdź do treści

Matura maj 2021 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku

Omówienie arkusza z maja 2021 (poziom podstawowy, 35 zadań, 45 punktów): klucz odpowiedzi do wszystkich zadań zamkniętych, wybrane zadania zamknięte rozwiązane krok po kroku i pełne rozwiązania siedmiu zadań otwartych.

Opublikowano: · zaktualizowano · 9 min czytania

Spis treści

O arkuszu Matura maj 2021

Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym odbył się 5 maja 2021 roku. Był to arkusz formuły 2015, przygotowany według wymagań egzaminacyjnych, które na maturę 2021 ograniczono w związku z pandemią COVID-19. Dlatego arkusz był krótszy niż w latach wcześniejszych: miał 45 punktów zamiast 50 i 7 zadań otwartych zamiast 9 (dla porównania matura z maja 2020 miała 25 zadań zamkniętych, 9 otwartych i 50 punktów).

Arkusz składał się z 35 zadań:

  • •28 zadań zamkniętych (numery 1-28), każde za 1 punkt,
  • •7 zadań otwartych (numery 29-35): sześć za 2 punkty i zadanie 35 za 5 punktów.

Na rozwiązanie było 170 minut. Do zdania matury potrzeba co najmniej 30% punktów, a 30% z 45 to 13,5, więc w praktyce 14 punktów.

Zadania zamknięte idą w arkuszu działami: najpierw liczby, procenty i logarytmy, potem nierówności i funkcje, ciągi, trygonometria z planimetrią, a na końcu geometria analityczna, prawdopodobieństwo, kombinatoryka i statystyka. Najliczniejsza jest planimetria. Wśród zadań otwartych są nierówność kwadratowa, dowód nierówności, funkcja liniowa, równanie wymierne, trójkąty podobne, prawdopodobieństwo i zadanie z geometrii analitycznej za 5 punktów.

Zadania zamknięte (1-28) - omówienie

Zadania zamknięte omawiamy w grupach, w kolejności z arkusza. W każdej grupie jedno lub dwa zadania rozwiązujemy krok po kroku, a odpowiedzi do wszystkich 28 zadań zamkniętych są w tabeli na końcu tej części.

Liczby rzeczywiste, procenty i logarytmy (zadania 1-5)

Zadanie 1 sprawdza działania na potęgach, zadanie 2 obliczenia procentowe, zadanie 3 część wspólną dwóch przedziałów liczbowych, zadanie 4 własności logarytmów, a zadanie 5 zamianę ułamka okresowego na zwykły.

Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 4Logarytmy1 pkt
Suma 2log⁡10+log⁡1032\log\sqrt{10}+\log 10^3 jest równa
  • A22
  • B33
  • C44
  • D55

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Logarytm bez zapisanej podstawy ma podstawę 1010. Współczynnik przed logarytmem wchodzi do wykładnika liczby logarytmowanej:

2log⁡10=log⁡(10)2=log⁡10=12\log\sqrt{10}=\log\left(\sqrt{10}\right)^2=\log 10=1

Drugi składnik liczymy wprost: log⁡103=3\log 10^3=3. Zatem

2log⁡10+log⁡103=1+3=42\log\sqrt{10}+\log 10^3=1+3=4
Odpowiedź: C

44

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Logarytmy
Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2021

Zadanie 5 - Ułamek okresowy (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 5Inne1 pkt
Różnica 0,(3)−23330,(3)-\frac{23}{33} jest równa
  • A−0,(39)-0{,}(39)
  • B−39100-\frac{39}{100}
  • C−0,36-0{,}36
  • D−411-\frac{4}{11}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Ułamek okresowy 0,(3)0,(3) to 13\frac{1}{3}, czyli 1133\frac{11}{33}. Odejmujemy ułamki o wspólnym mianowniku:

1133−2333=−1233=−411\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=-\frac{12}{33}=-\frac{4}{11}

Odpowiedź A jest pułapką: −411=−0,(36)-\frac{4}{11}=-0,(36), a nie −0,(39)-0,(39).

Odpowiedź: D

−411-\frac{4}{11}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie

Nierówności, układy równań i funkcje (zadania 6-12)

Zadanie 6 to nierówność liniowa, w której przy dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak. Zadanie 7 sprawdza własności funkcji g(x)=f(x)−2g(x)=f(x)-2 na podstawie wykresu ff, zadanie 8 geometryczną interpretację układu równań, zadanie 9 warunek równoległości prostych, zadanie 10 obliczanie wartości funkcji wymiernej, zadanie 11 punkt na wykresie funkcji wykładniczej, a zadanie 12 monotoniczność funkcji kwadratowej zapisanej w postaci iloczynowej.

Zadanie 9 - Proste równoległe (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 9Równania i nierówności1 pkt
Proste o równaniach y=3x−5y=3x-5 oraz y=m−32x+92y=\frac{m-3}{2}x+\frac{9}{2} są równoległe, gdy
  • Am=1m=1
  • Bm=3m=3
  • Cm=6m=6
  • Dm=9m=9

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Proste y=ax+by=ax+b są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy aa. Pierwsza prosta ma a=3a=3, więc

m−32=3⇒m−3=6⇒m=9\frac{m-3}{2}=3 \quad\Rightarrow\quad m-3=6 \quad\Rightarrow\quad m=9

Wyrazy wolne są różne (−5-5 i 92\frac{9}{2}), więc proste nie pokrywają się.

Odpowiedź: D

m=9m=9

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 12 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 12Funkcja kwadratowa1 pkt
Funkcja kwadratowa ff określona wzorem f(x)=−2(x+1)(x−3)f(x) = −2(x + 1)(x − 3) jest malejąca w przedziale
  • A⟨1,+∞)\langle 1,+\infty )
  • B(−∞,1⟩(-\infty ,1\rangle
  • C(−∞,−8⟩(-\infty ,-8\rangle
  • D⟨−8,+∞)\langle -8,+\infty )

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: x=−1x=-1 oraz x=3x=3. Współczynnik przy x2x^2 to −2-2, więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi:

p=−1+32=1p=\frac{-1+3}{2}=1

Parabola z ramionami w dół rośnie do wierzchołka i maleje za nim, więc funkcja jest malejąca w przedziale ⟨1,+∞)\langle 1,+\infty).

Odpowiedź: A

⟨1,+∞)\langle 1,+\infty)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa

Ciągi (zadania 13-15)

Trzy zadania z ciągów: ciąg geometryczny z niewiadomą w środkowym wyrazie (13), liczba niedodatnich wyrazów ciągu danego wzorem (14) i własność wyrazów ciągu arytmetycznego (15).

Zadanie 14 - Ciąg określony wzorem (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 14Ciągi1 pkt
Ciąg (bn)(b_n) jest określony wzorem bn=3n2−25nb_n=3n^2-25n dla każdej liczby naturalnej n≥1n\ge1. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu (bn)(b_n) jest równa
  • A1414
  • B1313
  • C99
  • D88

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wyraz jest niedodatni, gdy bn≤0b_n\le 0:

3n2−25n≤0⇔n(3n−25)≤03n^2-25n\le 0 \quad\Leftrightarrow\quad n(3n-25)\le 0

Dla n≥1n\ge 1 czynnik nn jest dodatni, więc musi zachodzić 3n−25≤03n-25\le 0, czyli n≤253=813n\le\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}. Warunek spełniają n=1,2,…,8n=1,2,\ldots,8, czyli osiem wyrazów. Sprawdzenie: b8=192−200=−8b_8=192-200=-8, a b9=243−225=18b_9=243-225=18.

Odpowiedź: D

88

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Zadanie 15 - Ciąg arytmetyczny (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 15Ciągi1 pkt
Ciąg arytmetyczny (an)(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1n\ge1. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek a3+a5=58a_3+a_5=58. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy
  • A2828
  • B2929
  • C3333
  • D4040

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Zapisujemy oba wyrazy przez a1a_1 i różnicę rr:

a3+a5=(a1+2r)+(a1+4r)=2a1+6r=58a_3+a_5=(a_1+2r)+(a_1+4r)=2a_1+6r=58

Po podzieleniu przez 22 dostajemy a1+3r=29a_1+3r=29, a to jest właśnie a4a_4. Ten sam wynik daje własność ciągu arytmetycznego: wyraz środkowy jest średnią sąsiednich, a4=a3+a52=29a_4=\frac{a_3+a_5}{2}=29.

Odpowiedź: B

2929

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Trygonometria i planimetria (zadania 16-24)

To najliczniejsza grupa w arkuszu. Zadanie 16 to przekształcenie wyrażenia trygonometrycznego, a zadanie 18 pole trójkąta prostokątnego obliczane z tangensa kąta. Pozostałe zadania to planimetria: kąt między styczną a cięciwą okręgu (17), obwód trójkąta równobocznego o danym polu (19), twierdzenie Pitagorasa w trójkącie podzielonym wysokością (20), kąty w okręgu (21), kąty w równoległoboku (22), liczba przekątnych wielokąta (23) i pola kół (24).

Zadanie 16 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 16Trygonometria1 pkt
Dla każdego kąta ostrego α\alpha iloczyn cos⁡α1−sin⁡2α⋅1−cos⁡2αsin⁡α\frac{\cos \alpha }{1-\sin^{2} \alpha }\cdot \frac{1-\cos^{2} \alpha }{\sin \alpha } jest równy
  • Asin⁡α\sin \alpha
  • Btg⁡α\operatorname{tg} \alpha
  • Ccos⁡α\cos \alpha
  • Dsin⁡2α\sin^{2} \alpha

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1 wynika, że 1−sin⁡2α=cos⁡2α1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha oraz 1−cos⁡2α=sin⁡2α1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha. Podstawiamy:

cos⁡αcos⁡2α⋅sin⁡2αsin⁡α=1cos⁡α⋅sin⁡α=sin⁡αcos⁡α=tg⁡α\frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha
Odpowiedź: B

tg⁡α\operatorname{tg}\alpha

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Zadanie 23 - Przekątne wielokąta (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 23Planimetria1 pkt
W każdym nn–kącie wypukłym (n≥3n\ge 3) liczba przekątnych jest równa n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2}. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o 2525 większa od liczby boków, jest
  • Asiedmiokąt.
  • Bdziesięciokąt.
  • Cdwunastokąt.
  • Dpiętnastokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wielokąt o nn bokach ma n(n−3)2\frac{n(n-3)}{2} przekątnych. Szukamy nn, dla którego przekątnych jest o 2525 więcej niż boków:

n(n−3)2=n+25⇒n2−3n=2n+50⇒n2−5n−50=0\frac{n(n-3)}{2}=n+25 \quad\Rightarrow\quad n^2-3n=2n+50 \quad\Rightarrow\quad n^2-5n-50=0

Δ=25+200=225\Delta=25+200=225, Δ=15\sqrt{\Delta}=15, więc n=5+152=10n=\frac{5+15}{2}=10 albo n=5−152=−5n=\frac{5-15}{2}=-5. Liczba boków jest dodatnia, zostaje n=10n=10. Sprawdzenie: dziesięciokąt ma 10⋅72=35\frac{10\cdot 7}{2}=35 przekątnych, a 35=10+2535=10+25.

Odpowiedź: B

dziesięciokąt

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Planimetria

Geometria analityczna, prawdopodobieństwo, kombinatoryka i statystyka (zadania 25-28)

Zadanie 25 to pole kwadratu, gdy znamy wierzchołek i punkt przecięcia przekątnych. Zadanie 26 to prawdopodobieństwo wylosowania końców przekątnej sześcianu, zadanie 27 zliczanie liczb trzycyfrowych z cyframi z danego zbioru, a zadanie 28 mediana z niewiadomą.

Zadanie 26 - Prawdopodobieństwo (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 26Prawdopodobieństwo1 pkt
Z wierzchołków sześcianu ABCDEFGHABCDEFGH losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu ABCDEFGHABCDEFGH, jest równe
  • A17\frac{1}{7}
  • B47\frac{4}{7}
  • C114\frac{1}{14}
  • D37\frac{3}{7}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Losujemy jednocześnie dwa z ośmiu wierzchołków, więc kolejność się nie liczy:

∣Ω∣=(82)=8⋅72=28|\Omega|=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28

Przekątna sześcianu łączy wierzchołki położone symetrycznie względem środka bryły. Sześcian ma 4 takie przekątne (przekątnych ścian nie liczymy), więc ∣A∣=4|A|=4 i

P(A)=428=17P(A)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}
Odpowiedź: A

17\frac{1}{7}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Prawdopodobieństwo

Zadanie 28 - Mediana (1 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 28Statystyka1 pkt
Sześciowyrazowy ciąg liczbowy (1, 2, 2x, x+2, 5, 6)(1,\ 2,\ 2x,\ x+2,\ 5,\ 6) jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa 44. Wynika stąd, że
  • Ax=1x=1
  • Bx=32x=\frac{3}{2}
  • Cx=2x=2
  • Dx=83x=\frac{8}{3}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Ciąg jest już uporządkowany niemalejąco i ma sześć wyrazów, więc mediana to średnia arytmetyczna trzeciego i czwartego wyrazu:

2x+(x+2)2=4⇒3x+2=8⇒x=2\frac{2x+(x+2)}{2}=4 \quad\Rightarrow\quad 3x+2=8 \quad\Rightarrow\quad x=2

Sprawdzenie: dla x=2x=2 ciąg to (1,2,4,4,5,6)(1, 2, 4, 4, 5, 6), jest niemalejący, a jego mediana to 4+42=4\frac{4+4}{2}=4. Więcej o średniej i medianie znajdziesz w dziale statystyka.

Odpowiedź: C

x=2x=2

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Statystyka

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Każdą odpowiedź sprawdziliśmy z rozwiązaniem zadania. Numer zadania prowadzi do jego interaktywnej wersji.

ZadanieOdpowiedź
1B. 101610^{16}
2B. 5252
3A. 66
4C. 44
5D. −411-\frac{4}{11}
6B. (−∞,0⟩(-\infty, 0\rangle
7A. Liczba f(2)+g(2)f(2)+g(2) jest równa −2-2.
8A. układ y=x+1y=x+1 i y=−2x+4y=-2x+4
9D. m=9m=9
10B. −1-1
11C. (0,−1)(0,-1)
12A. ⟨1,+∞)\langle 1,+\infty)
13D. x=53x=\frac{5}{3}
14D. 88
15B. 2929
16B. tg⁡α\operatorname{tg}\alpha
17C. 40∘40^\circ
18D. 645\frac{64}{5}
19A. 44
20A. 34\sqrt{34}
21D. 40∘40^\circ
22B. 70∘70^\circ
23B. dziesięciokąt
24C. 5\sqrt{5}
25B. 136136
26A. 17\frac{1}{7}
27B. 6060
28C. x=2x=2

Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadania 29-34 były warte po 2 punkty, zadanie 35 5 punktów, razem 17 z 45 punktów arkusza. W zadaniach otwartych egzaminator ocenia tok rozumowania, dlatego w rozwiązaniach zapisujemy każdy krok.

Zadanie 29 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 29Równania i nierówności2 pktOtwarte
Rozwiąż nierówność x2−5x≤14x^2-5x\le 14
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Przenosimy wszystko na lewą stronę: x2−5x−14≤0x^2-5x-14\le 0.

Δ=(−5)2−4⋅1⋅(−14)=25+56=81,Δ=9\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,\qquad \sqrt{\Delta}=9 x1=5−92=−2,x2=5+92=7x_1=\frac{5-9}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{5+9}{2}=7

Współczynnik przy x2x^2 jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi, razem z nimi.

Odpowiedź:

x∈⟨−2,7⟩x\in\langle -2, 7\rangle

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 30 - Dowód nierówności (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 30Równania i nierówności2 pktOtwarte
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a,ba, b i cc takich, że a<ba\lt b, spełniona jest nierówność ab<a+cb+c\frac{a}{b}\lt \frac{a+c}{b+c}
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Liczby bb i b+cb+c są dodatnie, więc mnożymy obie strony nierówności przez b(b+c)>0b(b+c)>0 i znak się nie zmienia:

a(b+c)<b(a+c)⇔ab+ac<ab+bc⇔ac<bc⇔c(a−b)<0a(b+c)<b(a+c) \quad\Leftrightarrow\quad ab+ac<ab+bc \quad\Leftrightarrow\quad ac<bc \quad\Leftrightarrow\quad c(a-b)<0

Z założeń c>0c>0 i a−b<0a-b<0, więc iloczyn c(a−b)c(a-b) jest ujemny. Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem wyjściowa nierówność jest prawdziwa.

Odpowiedź:

nierówność jest równoważna c(a−b)<0c(a-b)<0, co zachodzi dla c>0c>0 i a<ba<b.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 31 - Funkcja liniowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 31Funkcja liniowa2 pktOtwarte
Funkcja liniowa ff przyjmuje wartość 22 dla argumentu 00, a ponadto f(4)−f(2)=6f(4)-f(2)=6. Wyznacz wzór funkcji ff.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Funkcja liniowa ma wzór f(x)=ax+bf(x)=ax+b. Z warunku f(0)=2f(0)=2 mamy b=2b=2. Drugi warunek:

f(4)−f(2)=(4a+2)−(2a+2)=2a=6⇒a=3f(4)-f(2)=(4a+2)-(2a+2)=2a=6 \quad\Rightarrow\quad a=3

Sprawdzenie: f(4)−f(2)=14−8=6f(4)-f(2)=14-8=6.

Odpowiedź:

f(x)=3x+2f(x)=3x+2

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja liniowa

Zadanie 32 - Równanie wymierne (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 32Równania i nierówności2 pktOtwarte
Rozwiąż równanie 3x+23x−2=4−x\frac{3x+2}{3x-2}=4-x
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Założenie: 3x−2≠03x-2\neq 0, czyli x≠23x\neq\frac{2}{3}. Mnożymy obie strony przez 3x−23x-2:

3x+2=(4−x)(3x−2)=−3x2+14x−8⇒3x2−11x+10=03x+2=(4-x)(3x-2)=-3x^2+14x-8 \quad\Rightarrow\quad 3x^2-11x+10=0

Δ=121−120=1\Delta=121-120=1, więc x1=11−16=53x_1=\frac{11-1}{6}=\frac{5}{3} i x2=11+16=2x_2=\frac{11+1}{6}=2. Oba wyniki spełniają założenie. Sprawdzenie dla x=2x=2: 84=2=4−2\frac{8}{4}=2=4-2, a dla x=53x=\frac{5}{3}: 73=4−53\frac{7}{3}=4-\frac{5}{3}.

Odpowiedź:

x=53x=\frac{5}{3} lub x=2x=2

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 33 - Trójkąty podobne (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 33Geometria analityczna2 pktOtwarte
Trójkąt równoboczny ABCABC ma pole równe 939\sqrt{3}. Prosta równoległa do boku BCBC przecina boki ABAB i ACAC - odpowiednio - w punktach KK i LL. Trójkąty ABCABC i AKLAKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy 23\frac{2}{3}. Oblicz długość boku trójkąta AKLAKL.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Najpierw bok trójkąta ABCABC z pola trójkąta równobocznego:

a234=93⇒a2=36⇒a=6\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad a^2=36 \quad\Rightarrow\quad a=6

Punkty KK i LL leżą na bokach ABAB i ACAC, więc trójkąt AKLAKL jest mniejszy od ABCABC, a jako trójkąt podobny do równobocznego też jest równoboczny. Jego boki stanowią 23\frac{2}{3} boków trójkąta ABCABC (w arkuszu CKE ten sam stosunek zapisano odwrotnie: boki trójkątów ABCABC i AKLAKL mają się jak 32\frac{3}{2}):

∣AK∣=23⋅6=4|AK|=\frac{2}{3}\cdot 6=4
Odpowiedź:

każdy bok trójkąta AKLAKL ma długość 44.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 34 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 34Prawdopodobieństwo2 pktOtwarte
Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia AA polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa 44 lub 55 lub 66.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wynik dwóch rzutów to para uporządkowana, więc ∣Ω∣=6⋅6=36|\Omega|=6\cdot 6=36. Wypisujemy pary o danej sumie:

  • •suma 4: (1,3),(2,2),(3,1)(1,3), (2,2), (3,1), czyli 3 pary,
  • •suma 5: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), czyli 4 pary,
  • •suma 6: (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), czyli 5 par.

Razem ∣A∣=3+4+5=12|A|=3+4+5=12, więc P(A)=1236=13P(A)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}.

Odpowiedź:

P(A)=13P(A)=\frac{1}{3}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Prawdopodobieństwo

Zadanie 35 - Geometria analityczna (otwarte, 5 pkt) ↗

Matura maj 2021Zadanie 35Funkcja kwadratowa5 pktOtwarte
Punkty A=(−20,12)A =(−20, 12) i B=(7,3)B = (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABCABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC|. Wierzchołek CC leży na osi OyOy układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka CC oraz obwód tego trójkąta.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Wierzchołek CC leży na osi OyOy, więc C=(0,y)C=(0,y). Z warunku ∣AC∣=∣BC∣|AC|=|BC| porównujemy kwadraty długości:

202+(y−12)2=72+(y−3)220^2+(y-12)^2=7^2+(y-3)^2 400+y2−24y+144=49+y2−6y+9⇒544−24y=58−6y⇒18y=486⇒y=27400+y^2-24y+144=49+y^2-6y+9 \quad\Rightarrow\quad 544-24y=58-6y \quad\Rightarrow\quad 18y=486 \quad\Rightarrow\quad y=27

Zatem C=(0,27)C=(0,27). Długości boków:

∣AC∣=202+152=625=25,∣BC∣=72+242=625=25|AC|=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{625}=25,\qquad |BC|=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{625}=25 ∣AB∣=272+92=810=910|AB|=\sqrt{27^2+9^2}=\sqrt{810}=9\sqrt{10}

Obwód trójkąta to 25+25+910=50+91025+25+9\sqrt{10}=50+9\sqrt{10}.

Odpowiedź:

C=(0,27)C=(0,27), obwód 50+91050+9\sqrt{10}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa

Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Poniżej miejsca w zadaniach tego arkusza, w których łatwo o pomyłkę.

W nierównościach liniowych trzeba pamiętać o zmianie znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną. W zadaniu 6 po pomnożeniu przez 22 i uproszczeniu dostajemy −5x≥0-5x\ge 0, a pominięcie zmiany znaku przy dzieleniu przez −5-5 prowadzi do odpowiedzi A zamiast B.

W logarytmach częstym błędem jest pisanie log⁡a+log⁡b=log⁡(a+b)\log a+\log b=\log(a+b), podczas gdy poprawnie jest log⁡a+log⁡b=log⁡(ab)\log a+\log b=\log(ab). Trzeba też pamiętać o dziedzinie logarytmu: liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Kilka zadań wymaga odrzucenia jednego z rozwiązań: w zadaniu 13 ujemne xx dałoby ujemny wyraz 3x3x, w zadaniu 23 liczba boków nie może być równa −5-5, a w zadaniu 14 numer wyrazu ciągu jest liczbą naturalną od 11, więc n=0n=0 nie wchodzi do wyniku. W równaniu wymiernym z zadania 32 trzeba zapisać założenie x≠23x\neq\frac{2}{3}, nawet jeśli żaden pierwiastek go nie narusza.

W zadaniu 26 łatwo pomylić przekątne sześcianu z przekątnymi ścian. W dowodzie z zadania 30 trzeba napisać, dlaczego mnożenie przez b(b+c)b(b+c) nie zmienia znaku nierówności, a w zadaniu 35 obwód wymaga długości wszystkich trzech boków, nie tylko ramion.

Jak przygotować się na podobny arkusz

Arkusz z maja 2021 sprawdzał przede wszystkim podstawy. Przejdź systematycznie przez wszystkie działy, zwłaszcza funkcje (w tym funkcję kwadratową), równania i nierówności, ciągi, trygonometrię, planimetrię i geometrię analityczną. W tym arkuszu nie było zadania ze stereometrii, ale w innych latach ten dział się pojawia, więc go nie pomijaj.

Nie wystarczy czytać rozwiązań, trzeba samemu rozwiązywać zadania. Zrób ten arkusz na czas (170 minut), a dopiero potem porównaj odpowiedzi z kluczem i rozwiązaniami powyżej.

Matura z maja 2022 powstała według tych samych ograniczonych wymagań i ma ten sam układ: 28 zadań zamkniętych, 7 otwartych i 45 punktów, więc dobrze nadaje się na drugą próbę. Matura z maja 2020 ma jeszcze pełny układ z 50 punktami.

Między arkuszami rozwiązuj losowe zadania z całego zakresu, żeby nie ćwiczyć ciągle tego samego działu.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Prawdziwe zadania z matur CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Rozwiąż ten arkusz sam, zadanie po zadaniu.

Rozwiąż arkusz: matura maj 2021

Arkusz CKE z rozwiązaniami

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Czytaj dalej

Arkusz maturalny

Matura maj 2020 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku

Arkusz z matematyki z 2020 roku (termin główny, który odbył się w czerwcu), poziom podstawowy: odpowiedzi do wszystkich 25 zadań zamkniętych i pełne rozwiązania 9 zadań otwartych.

Arkusz maturalny

Matura czerwiec 2019 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Matura z matematyki, sesja dodatkowa czerwiec 2019: rozkład kategorii, poziom trudności, 8 zadań rozwiązanych krok po kroku i lista wszystkich 34 zadań z linkami do rozwiązań.

Arkusz maturalny

Matura maj 2022 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku

Omówienie arkusza z maja 2022 (poziom podstawowy, 35 zadań, 45 punktów): klucz odpowiedzi do wszystkich zadań zamkniętych, wybrane zadania zamknięte rozwiązane krok po kroku i pełne rozwiązania siedmiu zadań otwartych.