Matura maj 2021 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu Matura maj 2021

Arkusz z maja 2021 roku stanowił wyjątkową edycję egzaminu maturalnego z matematyki. Ze względu na pandemię COVID-19 i związane z nią utrudnienia w nauczaniu, Centralna Komisja Egzaminacyjna zdecydowała się na pewne uproszczenia w strukturze egzaminu. Arkusz zawierał 25 zadań zamkniętych oraz zadania otwarte, z czego znaczna część miała charakter bezpośrednio sprawdzający podstawowe umiejętności uczniów.

Trudność tego arkusza uważana jest za zbliżoną do średniej z poprzednich lat, jednak duży nacisk położony był na solidne opanowanie zagadnień podstawowych. W porównaniu z innymi latami brakowało zaawansowanych problemów na styku kilku działów matematyki. Zamiast tego egzaminatorzy skupili się na przejrzystym sprawdzeniu umiejętności uczniów w obrębie poszczególnych działów: funkcji kwadratowej, planimetrii, logarytmów, statystyki, stereometrii i ciągów.

Wśród najczęściej testowanych zagadnień znalazły się: rozwiązywanie równań i nierówności, analiza wykresu funkcji, zadania geometryczne na płaszczyźnie i w przestrzeni oraz podstawowe zagadnienia kombinatoryki i statystyki. Warto zwrócić uwagę, że w 2021 roku zmniejszono liczbę zadań otwartych wymagających rozbudowanego rozumowania - każde zadanie miało jasno określony cel obliczeniowy.

Zadania zamknięte (1-25) - omówienie

Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne (zadania 1-5)

Początkowe zadania badały umiejętność upraszczania wyrażeń algebraicznych, działań na pierwiastkach i potęgach oraz porównywania liczb. Szczególnie częste były zadania polegające na racjonalizacji mianownika oraz przekształcaniu wzorów. Uczniów sprawdzano w zakresie szybkiego oszacowania wartości wyrażeń zawierających pierwiastki i logarytmy.

Funkcje i ich własności (zadania 6-10)

Ta grupa zadań skupiała się na funkcjach elementarnych - liniowej, kwadratowej i wymiernej. Najczęściej pojawiały się pytania o dziedzinę i zbiór wartości funkcji, miejsca zerowe oraz monotoniczność. Uczniowie musieli potrafić odczytywać informacje z wykresu oraz określać wpływ parametrów na kształt wykresu. Szczególną uwagę poświęcano funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i wierzchołkowej.

Równania i nierówności (zadania 11-15)

W tej sekcji dominowały zadania na rozwiązywanie równań stopnia drugiego, równań wymiernych oraz nierówności liniowych i kwadratowych. Wiele zadań dotyczyło interpretacji geometrycznej rozwiązań - co oznacza punkt wspólny wykresu z osią OX lub przecięcie dwóch funkcji.

Trygonometria i geometria analityczna (zadania 16-20)

Zadania trygonometryczne głównie sprawdzały znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów szczególnych oraz umiejętność rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych. Geometria analityczna obejmowała równania prostych, okręgów, obliczanie odległości punktów i długości odcinków.

Statystyka, kombinatoryka i stereometria (zadania 21-25)

Ostatnia grupa była najbardziej zróżnicowana. Pojawiały się zadania na obliczanie średniej, mediany i odchylenia standardowego. Kombinatoryka obejmowała proste zadania na permutacje i kombinacje. Ze stereometrii najczęściej pytano o pola powierzchni i objętości brył - graniastosłupów, ostrosłupów i brył obrotowych.

Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Funkcja kwadratowa i optymalizacja

W arkuszu z maja 2021 typowo pojawiały się zadania, w których należało znaleźć wymiary figury spełniającej warunki optymalizacyjne. Charakterystyczny problem: dwa wierzchołki prostokąta leżą na paraboli $y = -x^2 + 4$, a dwa pozostałe na osi OX. Szukamy prostokąta o największym polu.

Niech wierzchołkami prostokąta będą $A = (-a, 0)$, $B = (a, 0)$, $C = (a, -a^2 + 4)$, $D = (-a, -a^2 + 4)$, gdzie $0 < a < 2$.

Szerokość prostokąta to $2a$, wysokość to $-a^2 + 4$. Pole powierzchni:

$$P(a) = 2a \cdot (-a^2 + 4) = -2a^3 + 8a$$

Obliczamy pochodną: $P'(a) = -6a^2 + 8$. Przyrównując do zera: $-6a^2 + 8 = 0$, czyli $a^2 = \frac{4}{3}$, skąd $a = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Sprawdzenie drugiej pochodnej: $P''(a) = -12a < 0$ dla $a > 0$, więc otrzymaliśmy maksimum.

Wymiary prostokąta: szerokość $2a = \frac{4\sqrt{3}}{3}$, wysokość $-a^2 + 4 = \frac{8}{3}$. Maksymalne pole: $P = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{32\sqrt{3}}{9}$.

Planimetria - trójkąt i twierdzenie sinusów

W arkuszu z maja 2021 pojawiały się zadania wykorzystujące twierdzenie sinusów i cosinusów. Charakterystyczne zadanie: w trójkącie ABC wiadomo, że $|AB| = 8$, $\angle ACB = 60°$, a pole trójkąta wynosi $16\sqrt{3}$. Znaleźć długość promienia okręgu opisanego.

Ze wzoru na pole trójkąta:
$$P = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \sin(\angle ACB)$$
$$16\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Stąd $|AC| \cdot |BC| = 64$.

Z twierdzenia sinusów:
$$\frac{|AB|}{\sin(\angle ACB)} = 2R$$
$$\frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$$
$$R = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Więcej zadań z zakresu planimetrii znajdziesz w sekcji poświęconej planimetrii.

Logarytmy - równanie logarytmiczne

Arkusz zawierał zadania na równania logarytmiczne wymagające zastosowania własności logarytmów. Typowe zadanie: rozwiąż równanie $\log_2(x + 1) + \log_2(x + 3) = 3$.

Dziedzina: $x > -1$. Wykorzystując własność sumy logarytmów:
$$\log_2[(x + 1)(x + 3)] = 3$$
$$(x + 1)(x + 3) = 2^3 = 8$$
$$x^2 + 4x + 3 = 8$$
$$x^2 + 4x - 5 = 0$$
$$(x + 5)(x - 1) = 0$$

Stąd $x = -5$ lub $x = 1$. Sprawdzenie w dziedzinie: $x = -5$ nie spełnia warunku $x > -1$. Jedynym rozwiązaniem jest $x = 1$.

Weryfikacja: $\log_2(2) + \log_2(4) = 1 + 2 = 3$. Poprawnie.

Aby lepiej opanować logarytmy, zajrzyj do pełnego przewodnika o logarytmach.

Statystyka - miary rozproszenia

W maju 2021 wiele zadań dotyczyło statystyki. Dla zestawu liczb $2, 4, 4, 6, 8$ oblicz średnią, medianę i odchylenie standardowe.

Średnia arytmetyczna:
$$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 6 + 8}{5} = \frac{24}{5} = 4{,}8$$

Mediana: porządkując dane $2, 4, 4, 6, 8$, mediana to element środkowy - równa 4.

Wariancja:
$$s^2 = \frac{(2 - 4{,}8)^2 + (4 - 4{,}8)^2 + (4 - 4{,}8)^2 + (6 - 4{,}8)^2 + (8 - 4{,}8)^2}{5} = \frac{20{,}8}{5} = 4{,}16$$

Odchylenie standardowe: $s = \sqrt{4{,}16} \approx 2{,}04$.

Więcej o statystyce znajdziesz w dedykowanym artykule.

Ciągi arytmetyczne i ich sumy

Zadania na ciągi w 2021 roku dotyczyły głównie ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Typowe zadanie: wyraz pierwszy ciągu arytmetycznego wynosi 3, a różnica $d = 2$. Znaleźć sumę pierwszych 20 wyrazów.

Wyraz ogólny: $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 1$.

Dla $n = 20$: $a_{20} = 41$.

$$S_{20} = \frac{20(a_1 + a_{20})}{2} = \frac{20(3 + 41)}{2} = \frac{20 \cdot 44}{2} = 440$$

Szczegółowe omówienie ciągów znajdziesz w artykule o ciągach.

Stereometria - ostrosłup prawidłowy

Stereometria obejmowała głównie zadania na objętości i pola powierzchni. Typowe zadanie: ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy długości 6 i wysokość 8. Oblicz objętość.

Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku $a = 6$):
$$P_p = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$$ Objętość:
$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 8 = 24\sqrt{3}$$

Więcej zadań ze stereometrii znajdziesz w artykule o stereometrii.

Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Analiza prac z maja 2021 wykazała kilka charakterystycznych kategorii błędów.

Wielu uczniów miało problemy z własnościami logarytmów. Częstym błędem było pisanie $\log(a) + \log(b) = \log(a + b)$, podczas gdy poprawnie jest $\log(a) + \log(b) = \log(ab)$. Uczniowie czasem zapominali też o dziedzinie logarytmu - wszystkie argumenty muszą być dodatnie.

W zadaniach na optymalizację uczniowie zapominali sprawdzić warunki brzegowe funkcji, nie weryfikowali, czy znalezione ekstremum spełnia ograniczenia (np. wymiary muszą być dodatnie) oraz mylili maksimum lokalne z globalnym.

W planimetrii częste problemy obejmowały niepoprawne stosowanie twierdzenia cosinusów (źle wstawiane znaki), mylenie wzoru na pole trójkąta - używanie $\frac{1}{2}ab$ zamiast $\frac{1}{2}ab \sin C$ oraz błędy w zastosowaniu twierdzenia sinusów.

Szczególnie ważne w równaniach z pierwiastkami lub logarytmami było sprawdzanie rozwiązań - uczniowie czasem pomijali ten krok, tracąc punkty za pierwiastki pozorne. W statystyce natomiast problem stanowiło zaokrąglanie wyników pośrednich, co prowadziło do błędu w wyniku końcowym.

Jak przygotować się na podobny arkusz

Arkusz z maja 2021 wymagał solidnego opanowania podstaw. Najważniejsze jest systematyczne przejście przez wszystkie działy - zwłaszcza funkcje (w tym funkcję kwadratową), równania i nierówności, trygonometrię oraz geometrię (zarówno planimetrię, jak i stereometrię).

Nie wystarczy czytać rozwiązania - musisz samodzielnie rozwiązywać zadania. Proponuj sobie co najmniej 5 zadań dziennie z każdego działu i regularne sprawdziany symulacyjne.

Aby zobaczyć, jak trudność arkuszy się zmienia, warto porównać maj 2021 z poprzednimi latami. Sprawdź maturę z maja 2020 oraz maturę z maja 2022, aby zobaczyć trendy w trudności i tematyce.

Kiedy czujesz się przytłoczony przygotowaniami, spróbuj rozwiązać losowe zadanie - czasem zmiana tematu pomaga odświeżyć umysł i wrócić do pracy z nową energią.

Powodzenia w przygotowaniach! Pamiętaj, że konsekwencja i regularna praktyka to klucz do sukcesu na maturze z matematyki.