Matura maj 2021 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Wstęp

Matura z matematyki z maja 2021 roku była wyjątkowa z kilku powodów. Po raz pierwszy od wielu lat egzamin odbył się po roku nauki zdalnej i hybrydowej spowodowanej pandemią COVID-19. CKE dostosowała wymagania egzaminacyjne, ale zakres materiału pozostał zbliżony do lat poprzednich. Arkusz z 2021 roku jest doskonałym materiałem do powtórek, ponieważ zawiera zadania z wszystkich kluczowych działów matematyki na poziomie podstawowym.

O arkuszu Matura maj 2021

Arkusz maturalny z matematyki z maja 2021 roku miał standardową strukturę. Część pierwsza to 25 zadań zamkniętych (25 punktów), część druga to zadania otwarte (25 punktów). Łącznie 50 punktów. Próg zdawalności: 30%, czyli 15 punktów.

Dominujące działy w arkuszu 2021:

Zadania zamknięte (1-25) - omówienie

Zadania z liczb rzeczywistych

Arkusz 2021 zawierał typowe pytania o obliczenia z potęgami i pierwiastkami. Kluczowe wzory:

Potęgowanie: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $rac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Pierwiastki: \sqrt[n]{a} = a^{rac{1}{n}}, $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$

Przykładowe zadanie: Uprość wyrażenie $rac{2^5 \cdot 2^3}{2^6}$.

rac{2^5 \cdot 2^3}{2^6} = rac{2^{5+3}}{2^6} = rac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4

Zadania z nierówności

W arkuszu 2021 typowe zadanie z nierówności dotyczyło nierówności kwadratowej. Schemat rozwiązania:

1. Znajdź miejsca zerowe funkcji kwadratowej
2. Narysuj szkic paraboli
3. Odczytaj przedziały, w których parabolą jest powyżej lub poniżej osi OX

Przykład: Rozwiąż nierówność $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Miejsca zerowe: $x^2 - 5x + 6 = 0$
x = rac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = rac{5 \pm 1}{2}
$$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$$ Ponieważ $a = 1 > 0$ (ramiona paraboli skierowane ku górze), parabolą jest poniżej osi OX między pierwiastkami:
$$x \in [2, 3]$$

Zadania z geometrii na płaszczyźnie

W 2021 roku pojawiły się pytania o pole i obwód figur płaskich. Kluczowe wzory:

Pole trójkąta: P = rac{1}{2} a h_a lub P = rac{1}{2} ab \sin\gamma

Pole trapezu: P = rac{(a+b) \cdot h}{2}, gdzie $a$ i $b$ to podstawy, $h$ to wysokość

Pole koła: $P = \pi r^2$, obwód: $C = 2\pi r$

Twierdzenie Pitagorasa: $a^2 + b^2 = c^2$ (gdzie $c$ to przeciwprostokątna)

Więcej zadań z planimetrii ćwicz w dziale Planimetria - trójkąty i czworokąty.

Zadania z prawdopodobieństwa i kombinatoryki

Typowe zadanie zamknięte: W urnie jest 4 kule czerwone i 6 kul białych. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę czerwoną?

P( ext{czerwona}) = rac{4}{4 + 6} = rac{4}{10} = 0{,}4

Kombinatoryka - ważne wzory:

Przykładowe zadanie: Na ile sposobów można wybrać 3 osoby spośród 10?

inom{10}{3} = rac{10!}{3! \cdot 7!} = rac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = rac{720}{6} = 120

Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadanie z ciągu arytmetycznego

W arkuszu z 2021 roku pojawiło się zadanie wymagające zastosowania wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego.

Przykład typowy: Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $a_1 = 3$ i różnicę $r = 4$. Oblicz sumę pierwszych 20 wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:
$$a_{20} = a_1 + 19r = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$$
S_{20} = rac{20 \cdot (a_1 + a_{20})}{2} = rac{20 \cdot (3 + 79)}{2} = rac{20 \cdot 82}{2} = 10 \cdot 82 = 820

Zadanie z funkcji kwadratowej - analiza

Zadanie z funkcji kwadratowej w 2021 roku wymagało zazwyczaj:
1. Wyznaczenia wierzchołka paraboli
2. Podania przedziałów monotoniczności
3. Wyznaczenia zakresu funkcji lub obszaru pod parabolą

Przykład: Funkcja $f(x) = -x^2 + 4x + 5$. Wyznacz wierzchołek i określ zbiór wartości.

Rozwiązanie:
x_W = -rac{b}{2a} = -rac{4}{2 \cdot (-1)} = -rac{4}{-2} = 2
$$y_W = f(2) = -4 + 8 + 5 = 9$$

Wierzchołek: $W = (2, 9)$.

Ponieważ $a = -1 < 0$, parabolą jest skierowana ramionami ku dołowi. Zbiór wartości: $ZW = (-\infty, 9]$.

Funkcja jest rosnąca dla $x \in (-\infty, 2)$ i malejąca dla $x \in (2, +\infty)$.

Więcej o funkcji kwadratowej: Funkcja kwadratowa na maturze - kompletny przewodnik.

Zadanie ze stereometrii - ostrosłup

Zadanie: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma podstawę o boku $a = 6$ cm i wysokość $h = 4$ cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

Rozwiązanie - objętość:
V = rac{1}{3} P_p \cdot h = rac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 4 = rac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48 ext{ cm}^3

Rozwiązanie - pole powierzchni:
Apotema ściany bocznej: l = \sqrt{h^2 + \left(rac{a}{2} ight)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 cm

Pole jednej ściany bocznej: P_b = rac{1}{2} \cdot a \cdot l = rac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15 cm²

Pole powierzchni całkowitej:
$$P_c = P_p + 4 P_b = 36 + 4 \cdot 15 = 36 + 60 = 96 ext{ cm}^2$$

Więcej zadań ze stereometrii: Stereometria - bryły i obliczenia.

Zadanie z geometrii analitycznej - okrąg i prosta

W 2021 roku pojawił się typ zadania badający wzajemne położenie okręgu i prostej.

Równanie okręgu o środku $S = (p, q)$ i promieniu $r$: $(x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2$

Odległość punktu od prostej $ax + by + c = 0$:
d = rac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Prosta jest styczna do okręgu, gdy $d = r$ (odległość środka od prostej równa promieniowi).

Ćwicz więcej zadań z geometrii analitycznej: Geometria analityczna na maturze.

Zadanie z trygonometrii

W zadaniach otwartych 2021 typowe było obliczanie cosinusa lub sinusa kąta trójkąta z danych boków.

Przykład: W trójkącie $ABC$: $AB = 5$, $BC = 7$, $AC = 8$. Oblicz \cos(ngle ABC).

Stosując twierdzenie cosinusów (kąt B jest przy wierzchołku B, naprzeciwko boku AC = b = 8):
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$
$$64 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos B$$
$$64 = 74 - 70 \cos B$$
$$70 \cos B = 10$$
\cos B = rac{1}{7}

Trygonometria na maturze omówiona szczegółowo: Trygonometria - wzory i zadania maturalne.

Najczęstsze błędy zdających w 2021 roku

Rok 2021 był trudny z powodu ograniczonego czasu nauki stacjonarnej. Analizując typowe błędy z arkuszy tego okresu:

1. Błędne stosowanie wzoru na $n$-ty wyraz ciągu. Wiele osób pisało $a_n = a_1 + n \cdot r$ zamiast poprawnego $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$. Pamiętaj: dla $n = 1$ wzór musi dać $a_1 = a_1 + 0 \cdot r$ - dlatego $(n-1)$, nie $n$.

2. Mylenie pola i objętości bryły. W zadaniach z ostrosłupem lub walcem trzeba dokładnie przeczytać pytanie: czy chodzi o pole powierzchni całkowitej, czy o objętość.

3. Nieuwzględnienie przypadku $a = -1$ przy nierównościach kwadratowych. Gdy ramiona paraboli są skierowane ku dołowi, przedziały, w których $f(x) \geq 0$, zmieniają się.

4. Obliczenia logarytmiczne. Uczniowie często mylą $\log_a(x+y)$ z $\log_a x + \log_a y$. Pamiętaj: suma logarytmów to logarytm iloczynu, a NIE logarytm sumy.

5. Zaokrąglenia na etapach pośrednich. Zaokrąglaj tylko wynik końcowy, a nie wyniki pośrednie - błąd zaokrąglenia może narastać i dać złą odpowiedź.

Jak przygotować się na podobny arkusz

Aby osiągnąć dobry wynik na maturze, warto:

1. Rozwiązać co najmniej 5 pełnych arkuszy maturalnych z poprzednich lat w warunkach zbliżonych do egzaminu (czas 170 minut, bez pomocy kolegów)
2. Po każdym arkuszu analizować popełnione błędy i powtarzać ten dział
3. Regularnie ćwiczyć obliczenia bez kalkulatora
4. Nauczyć się na pamięć kluczowych wzorów (trygonometria, ciągi, wzory stereometryczne)

Najlepszy trening to rozwiązywanie losowych zadań maturalnych z wszystkich działów. Powodzenia w przygotowaniach!

Sprawdź też rozwiązania z roku 2022: Matura maj 2022 - rozwiązania.

Podsumowanie

Matura z matematyki z maja 2021 roku to wartościowy materiał do powtórek. Mimo trudnych okoliczności roku pandemicznego, arkusz był dobrze skonstruowany i dawał szansę na zdanie wszystkim, którzy solidnie powtórzyli materiał. Kluczem do sukcesu jest systematyczność i regularne rozwiązywanie zadań z różnych działów.