Przejdź do treści

Matura maj 2022 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku

Omówienie arkusza z maja 2022 (poziom podstawowy, 35 zadań, 45 punktów): klucz odpowiedzi do wszystkich zadań zamkniętych, wybrane zadania zamknięte rozwiązane krok po kroku i pełne rozwiązania siedmiu zadań otwartych.

Opublikowano: · zaktualizowano · 11 min czytania

Spis treści

O arkuszu Matura maj 2022

Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym odbył się 5 maja 2022 roku. Był to arkusz formuły 2015, przygotowany, tak jak rok wcześniej, według wymagań egzaminacyjnych ograniczonych w związku z pandemią COVID-19. Poniżej znajdziesz klucz odpowiedzi do wszystkich zadań zamkniętych, wybrane zadania zamknięte rozwiązane krok po kroku i pełne rozwiązania wszystkich zadań otwartych.

Matura z matematyki w maju 2022 roku składała się z 35 zadań: 28 zadań zamkniętych (numery 1-28, każde za 1 punkt) i 7 zadań otwartych (numery 29-35: sześć za 2 punkty i zadanie 35 za 5 punktów). Łącznie można było zdobyć 45 punktów, a na rozwiązanie było 170 minut. Do zdania matury potrzeba co najmniej 30% punktów, a 30% z 45 to 13,5, więc w praktyce 14 punktów.

Zadania zamknięte idą w arkuszu działami: potęgi, logarytmy i procenty, równania i nierówności, funkcje, ciągi, trygonometria i planimetria, geometria analityczna, stereometria, a na końcu kombinatoryka i statystyka. Zadania otwarte to nierówność kwadratowa (29), suma ciągu arytmetycznego (30), dowód nierówności (31), trygonometria (32), planimetria (33), prawdopodobieństwo (34) i funkcja kwadratowa za 5 punktów (35).

Zadania zamknięte (1-28) - omówienie

Zadania zamknięte omawiamy w grupach, w kolejności z arkusza. W każdej grupie jedno lub dwa zadania rozwiązujemy krok po kroku, a odpowiedzi do wszystkich 28 zadań zamkniętych są w tabeli na końcu tej części.

Potęgi, pierwiastki, logarytmy i procenty (zadania 1-5)

Zadanie 1 to kwadrat różnicy z pierwiastkami, zadanie 2 wartość wyrażenia przy warunku 2x=3y2x=3y, zadanie 3 działania na logarytmach, zadanie 4 dwie kolejne obniżki procentowe, a zadanie 5 potęga o wykładniku wymiernym.

Zadanie 3 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 3Logarytmy1 pkt
Liczba 4log⁡42+2log⁡484\log_42+2\log_48 jest równa
  • A6log⁡4106\log_410
  • B1616
  • C55
  • D6log⁡4166\log_416

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Współczynnik przed logarytmem wchodzi do wykładnika liczby logarytmowanej:

4log⁡42+2log⁡48=log⁡424+log⁡482=log⁡416+log⁡4644\log_4 2+2\log_4 8=\log_4 2^4+\log_4 8^2=\log_4 16+\log_4 64

Ponieważ 42=164^2=16 i 43=644^3=64, mamy log⁡416=2\log_4 16=2 oraz log⁡464=3\log_4 64=3, więc cała liczba jest równa 2+3=52+3=5.

Odpowiedź: C

55

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Logarytmy
Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2022

Zadanie 4 - Procenty (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 4Procenty1 pkt
Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10%10\% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78 73278\ 732 zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do 11 zł, równa
  • A98 73298\ 732 zł
  • B97 20097\ 200 zł
  • C95 26695\ 266 zł
  • D94 47894\ 478 zł

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Oznaczmy cenę początkową przez xx. Po pierwszej obniżce o 10%10\% cena to 0,9x0{,}9x, po drugiej 0,9⋅0,9x=0,81x0{,}9\cdot 0{,}9x=0{,}81x. Stąd

0,81x=78 732⇒x=78 7320,81=97 2000{,}81x=78\,732 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{78\,732}{0{,}81}=97\,200

Sprawdzenie: 0,9⋅97 200=87 4800{,}9\cdot 97\,200=87\,480 i 0,9⋅87 480=78 7320{,}9\cdot 87\,480=78\,732. Dwie obniżki o 10%10\% to nie to samo co jedna obniżka o 20%20\%: przy 0,8x=78 7320{,}8x=78\,732 wyszłoby 98 41598\,415 zł, a takiej odpowiedzi nie ma.

Odpowiedź: B

97 20097\ 200 zł

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Procenty

Równania, nierówności i układy równań (zadania 6-8)

Zadanie 6 to układ dwóch równań liniowych, w którym trzeba ustalić znaki rozwiązania, zadanie 7 nierówność liniowa z ułamkami, a zadanie 8 równanie w postaci iloczynowej.

Zadanie 7 - Nierówność liniowa (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 7Równania i nierówności1 pkt
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 25−x3>x5\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt \frac{x}{5} jest przedział
  • A(−∞,0)(-\infty, 0)
  • B(0,+∞)(0, +\infty)
  • C(−∞,34)\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)
  • D(34,+∞)\left(\frac{3}{4},+\infty\right)

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Mnożymy obie strony przez 1515, czyli wspólny mianownik. Liczba jest dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia:

6−5x>3x⇒6>8x⇒x<346-5x>3x \quad\Rightarrow\quad 6>8x \quad\Rightarrow\quad x<\frac{3}{4}
Odpowiedź: C

(−∞,34)\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 8 - Równanie w postaci iloczynowej (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 8Równania i nierówności1 pkt
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania 2x(x2−9)(x+1)=02x(x^2-9)(x+1)=0 jest równy
  • A(−3)(-3)
  • B33
  • C00
  • D99

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero:

2x=0∨x2−9=0∨x+1=02x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \quad\lor\quad x+1=0

Rozwiązania to x=0x=0, x=3x=3, x=−3x=-3 i x=−1x=-1. Jednym z nich jest zero, więc iloczyn wszystkich rozwiązań jest równy 00.

Odpowiedź: C

00

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Funkcje: wykresy, funkcja liniowa i kwadratowa (zadania 9-12)

Zadanie 9 to odczytywanie wartości funkcji z wykresu, zadanie 10 przesunięcie wykresu wzdłuż osi OxOx, zadanie 11 miejsce zerowe funkcji liniowej, a zadanie 12 postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Zadanie 11 - Funkcja liniowa (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 11Funkcja liniowa1 pkt
Miejscem zerowym funkcji liniowej ff określonej wzorem f(x)=−13(x+3)+5f(x)=-\frac{1}{3}(x+3)+5 jest liczba
  • A(−3)(-3)
  • B92\frac{9}{2}
  • C55
  • D1212

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Miejsce zerowe to argument, dla którego f(x)=0f(x)=0:

−13(x+3)+5=0⇒13(x+3)=5⇒x+3=15⇒x=12-\frac{1}{3}(x+3)+5=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{3}(x+3)=5 \quad\Rightarrow\quad x+3=15 \quad\Rightarrow\quad x=12

Sprawdzenie: f(12)=−13⋅15+5=0f(12)=-\frac{1}{3}\cdot 15+5=0.

Odpowiedź: D

1212

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja liniowa

Zadanie 12 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 12Funkcja kwadratowa1 pkt
Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=3x2+bx+cf(x)=3x^2+bx+c jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(−3,2)W=(-3,2). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to
  • Af(x)=3(x−3)2+2f(x)=3(x-3)^2+2
  • Bf(x)=3(x+3)2+2f(x)=3(x+3)^2+2
  • Cf(x)=(x−3)2+2f(x)=(x-3)^2+2
  • Df(x)=(x+3)2+2f(x)=(x+3)^2+2

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Postać kanoniczna to f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q, gdzie W=(p,q)W=(p,q). Dla W=(−3,2)W=(-3,2) dostajemy f(x)=a(x+3)2+2f(x)=a(x+3)^2+2. Współczynnik aa jest ten sam co w postaci ogólnej, czyli a=3a=3.

Odpowiedzi C i D mają a=1a=1, a odpowiedź A ma zły znak przy 33 w nawiasie.

Odpowiedź: B

f(x)=3(x+3)2+2f(x)=3(x+3)^2+2

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa

Ciągi arytmetyczne i geometryczne (zadania 13-15)

Zadanie 13 to obliczenie wyrazu ciągu danego wzorem, zadanie 14 różnica ciągu arytmetycznego, a zadanie 15 iloraz ciągu geometrycznego. Wzory na wyraz ogólny i sumę znajdziesz w dziale ciągi.

Zadanie 14 - Ciąg arytmetyczny (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 14Ciągi1 pkt
W ciągu arytmetycznym (an)(a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1n\ge1, a5=−31a_5=-31 oraz a10=−66a_{10}=-66. Różnica tego ciągu jest równa
  • A(−7)(-7)
  • B(−19,4)(-19{,}4)
  • C77
  • D19,419{,}4

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Od piątego do dziesiątego wyrazu jest pięć kroków, więc a10=a5+5ra_{10}=a_5+5r:

−66=−31+5r⇒5r=−35⇒r=−7-66=-31+5r \quad\Rightarrow\quad 5r=-35 \quad\Rightarrow\quad r=-7
Odpowiedź: A

(−7)(-7)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Zadanie 15 - Ciąg geometryczny (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 15Ciągi1 pkt
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego (an)(a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1n\ge1, są dodatnie i 9a5=4a39a_5=4a_3. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy
  • A23\frac{2}{3}
  • B32\frac{3}{2}
  • C29\frac{2}{9}
  • D92\frac{9}{2}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

W ciągu geometrycznym a5=a3⋅q2a_5=a_3\cdot q^2. Podstawiamy do warunku:

9a3q2=4a3⇒q2=499a_3q^2=4a_3 \quad\Rightarrow\quad q^2=\frac{4}{9}

Dzielenie przez a3a_3 jest dozwolone, bo a3>0a_3>0. Stąd q=23q=\frac{2}{3} albo q=−23q=-\frac{2}{3}, ale przy ujemnym ilorazie wyrazy miałyby na przemian różne znaki. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc q=23q=\frac{2}{3}.

Odpowiedź: A

23\frac{2}{3}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Trygonometria i planimetria (zadania 16-20)

Zadanie 16 sprawdza związki między funkcjami trygonometrycznymi kątów, które dają razem 90∘90^\circ. Zadania 17-20 to planimetria: kąt środkowy i wpisany (17), pole zakreskowanej figury przy rombie ASBPASBP, którego trzy wierzchołki leżą na okręgu (18), pole trójkąta równobocznego o danej wysokości (19) i pole równoległoboku (20). Więcej o tych wzorach w dziale trygonometria.

Zadanie 16 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 16Trygonometria1 pkt
Liczba cos⁡12∘⋅sin⁡78∘+sin⁡12∘⋅cos⁡78∘\cos 12^\circ \cdot \sin 78^\circ +\sin 12^\circ \cdot \cos 78^\circ jest równa
  • A12\frac{1}{2}
  • B22\frac{\sqrt{2}}{2}
  • C32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • D11

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Kąty 12∘12^\circ i 78∘78^\circ dają razem 90∘90^\circ, więc cos⁡12∘=sin⁡78∘\cos 12^\circ=\sin 78^\circ i sin⁡12∘=cos⁡78∘\sin 12^\circ=\cos 78^\circ. Po podstawieniu:

sin⁡78∘⋅sin⁡78∘+cos⁡78∘⋅cos⁡78∘=sin⁡278∘+cos⁡278∘=1\sin 78^\circ\cdot\sin 78^\circ+\cos 78^\circ\cdot\cos 78^\circ=\sin^2 78^\circ+\cos^2 78^\circ=1

Ostatnia równość to jedynka trygonometryczna.

Odpowiedź: D

11

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Zadanie 20 - Pole równoległoboku (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 20Planimetria1 pkt
Boki równoległoboku mają długości 66 i 1010, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę 120∘120^\circ. Pole tego równoległoboku jest równe
  • A30330\sqrt{3}
  • B3030
  • C60360\sqrt{3}
  • D6060

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Pole równoległoboku o bokach aa, bb i kącie α\alpha między nimi to P=absin⁡αP=ab\sin\alpha. Ze wzoru redukcyjnego sin⁡120∘=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡60∘=32\sin 120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, więc

P=6⋅10⋅32=303P=6\cdot 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}
Odpowiedź: A

30330\sqrt{3}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Planimetria

Geometria analityczna (zadania 21-24)

Cztery zadania z geometrii analitycznej: prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (21), warunek prostopadłości prostych (22), środek odcinka (23) i przekątna kwadratu o danych sąsiednich wierzchołkach (24).

Zadanie 23 - Środek odcinka (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 23Geometria analityczna1 pkt
Punkty K=(4,−10)K=(4,-10) i L=(b,2)L=(b,2) są końcami odcinka KLKL. Pierwsza współrzędna środka odcinka KLKL jest równa (−12)(−12). Wynika stąd, że
  • Ab=−28b=-28
  • Bb=−14b=-14
  • Cb=−24b=-24
  • Db=−10b=-10

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Pierwsza współrzędna środka odcinka to średnia pierwszych współrzędnych końców:

4+b2=−12⇒4+b=−24⇒b=−28\frac{4+b}{2}=-12 \quad\Rightarrow\quad 4+b=-24 \quad\Rightarrow\quad b=-28
Odpowiedź: A

b=−28b=-28

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 24 - Przekątna kwadratu (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 24Geometria analityczna1 pkt
Punkty A=(−4,4)A=(-4,4) i B=(4,0)B=(4,0) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCDABCD. Przekątna tego kwadratu ma długość
  • A4104\sqrt{10}
  • B424\sqrt{2}
  • C454\sqrt{5}
  • D474\sqrt{7}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Punkty AA i BB są sąsiednimi wierzchołkami, więc odcinek ABAB jest bokiem kwadratu:

∣AB∣=(4−(−4))2+(0−4)2=64+16=80=45|AB|=\sqrt{(4-(-4))^2+(0-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}

Przekątna kwadratu o boku aa ma długość a2a\sqrt{2}, więc d=45⋅2=410d=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{10}.

Odpowiedź: A

4104\sqrt{10}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Stereometria (zadania 25-26)

Zadanie 25 to objętość graniastosłupa prostego o podstawie rombu, a zadanie 26 pole powierzchni ostrosłupa wyciętego z sześcianu. Wzory na objętości i pola brył zebraliśmy w dziale stereometria.

Zadanie 25 - Graniastosłup (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 25Stereometria1 pkt
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 77 cm i 1010 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 22 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa
  • A560 cm3560\ \text{cm}^3
  • B280 cm3280\ \text{cm}^3
  • C2803 cm3\frac{280}{3}\ \text{cm}^3
  • D5603 cm3\frac{560}{3}\ \text{cm}^3

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Pole rombu to połowa iloczynu przekątnych: Pp=7⋅102=35 cm2P_p=\frac{7\cdot 10}{2}=35\ \text{cm}^2. Dłuższa przekątna ma 1010 cm, więc wysokość graniastosłupa to H=10−2=8H=10-2=8 cm.

V=Pp⋅H=35⋅8=280 cm3V=P_p\cdot H=35\cdot 8=280\ \text{cm}^3

Odpowiedź A to wynik bez dzielenia iloczynu przekątnych przez 22, a odpowiedzi C i D pojawiają się przy wzorze na objętość ostrosłupa, z czynnikiem 13\frac{1}{3}.

Odpowiedź: B

280 cm3280\ \text{cm}^3

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Kombinatoryka i statystyka (zadania 27-28)

Zadanie 27 to zliczanie liczb czterocyfrowych z regułą mnożenia, a zadanie 28 średnia arytmetyczna z niewiadomą.

Zadanie 27 - Kombinatoryka (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 27Liczby rzeczywiste1 pkt
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 55 jest
  • A9⋅8⋅7⋅29\cdot 8\cdot 7\cdot 2
  • B9⋅10⋅10⋅19\cdot 10\cdot 10\cdot 1
  • C9⋅10⋅10⋅29\cdot 10\cdot 10\cdot 2
  • D9⋅9⋅8⋅19\cdot 9\cdot 8\cdot 1

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Liczba podzielna przez 55 kończy się cyfrą 00 albo 55, a nieparzysta nie może kończyć się zerem, więc cyfra jedności to 55 (jedna możliwość). Cyfra tysięcy to dowolna z cyfr 11-99 (dziewięć możliwości), a cyfry setek i dziesiątek to dowolne z 00-99 (po dziesięć możliwości). Cyfry mogą się powtarzać, więc z reguły mnożenia takich liczb jest 9⋅10⋅10⋅1=9009\cdot 10\cdot 10\cdot 1=900.

Odpowiedź: B

9⋅10⋅10⋅19\cdot 10\cdot 10\cdot 1

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Liczby rzeczywiste

Zadanie 28 - Średnia arytmetyczna (1 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 28Statystyka1 pkt
Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: 2x, 4, 6, 8, 11, 132x,\ 4,\ 6,\ 8,\ 11,\ 13 jest równa 55. Wynika stąd, że
  • Ax=−1x=-1
  • Bx=7x=7
  • Cx=−6x=-6
  • Dx=6x=6

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Suma sześciu liczb podzielona przez 66 daje 55:

2x+4+6+8+11+136=5⇒2x+42=30⇒x=−6\frac{2x+4+6+8+11+13}{6}=5 \quad\Rightarrow\quad 2x+42=30 \quad\Rightarrow\quad x=-6
Odpowiedź: C

x=−6x=-6

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Statystyka

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Każdą odpowiedź sprawdziliśmy z rozwiązaniem zadania. Numer zadania prowadzi do jego interaktywnej wersji.

ZadanieOdpowiedź
1A. 22
2B. 136\frac{13}{6}
3C. 55
4B. 97 20097\ 200 zł
5A. 32⋅343^2\cdot\sqrt[4]{3}
6B. x0>0x_0>0 i y0<0y_0<0
7C. (−∞,34)\left(-\infty, \frac{3}{4}\right)
8C. 00
9B. (−8)(-8)
10D. g(x)=f(x+2)g(x)=f(x+2)
11D. 1212
12B. f(x)=3(x+3)2+2f(x)=3(x+3)^2+2
13D. (−16)(-16)
14A. (−7)(-7)
15A. 23\frac{2}{3}
16D. 11
17B. 180∘−α2−γ180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma
18D. 12π12\pi
19D. 36336\sqrt{3}
20A. 30330\sqrt{3}
21B. (−9)(-9)
22C. proste ll oraz mm
23A. b=−28b=-28
24A. 4104\sqrt{10}
25B. 280 cm3280\ \text{cm}^3
26D. 3+32a2\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2
27B. 9⋅10⋅10⋅19\cdot 10\cdot 10\cdot 1
28C. x=−6x=-6

Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadania 29-34 były warte po 2 punkty, zadanie 35 5 punktów, razem 17 z 45 punktów arkusza. W zadaniach otwartych egzaminator ocenia tok rozumowania, dlatego w rozwiązaniach zapisujemy każdy krok.

Zadanie 29 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 29Równania i nierówności2 pktOtwarte
Rozwiąż nierówność: 3x2−2x−9≥73x^2-2x-9\ge7
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Przenosimy 77 na lewą stronę: 3x2−2x−16≥03x^2-2x-16\ge 0.

Δ=(−2)2−4⋅3⋅(−16)=4+192=196,Δ=14\Delta=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-16)=4+192=196,\qquad \sqrt{\Delta}=14 x1=2−146=−2,x2=2+146=83x_1=\frac{2-14}{6}=-2,\qquad x_2=\frac{2+14}{6}=\frac{8}{3}

Parabola ma ramiona skierowane w górę (a=3>0a=3>0), więc wartości nieujemne przyjmuje na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi, razem z nimi.

Odpowiedź:

x∈(−∞,−2⟩∪⟨83,+∞)x\in(-\infty,-2\rangle\cup\left\langle \frac{8}{3},+\infty\right)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 30 - Suma ciągu arytmetycznego (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 30Ciągi2 pktOtwarte
W ciągu arytmetycznym ana_n, określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1n\ge1, a1=−1a_1=-1 i a4=8a_4=8. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Najpierw różnica ciągu: a4=a1+3ra_4=a_1+3r, czyli 8=−1+3r8=-1+3r i r=3r=3. Setny wyraz to a100=a1+99r=−1+297=296a_{100}=a_1+99r=-1+297=296. Suma stu początkowych wyrazów:

S100=a1+a1002⋅100=−1+2962⋅100=295⋅50=14 750S_{100}=\frac{a_1+a_{100}}{2}\cdot 100=\frac{-1+296}{2}\cdot 100=295\cdot 50=14\,750
Odpowiedź:

S100=14 750S_{100}=14\,750

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Ciągi

Zadanie 31 - Dowód nierówności (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 31Równania i nierówności2 pktOtwarte
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej aa i każdej liczby rzeczywistej bb takich, że b≠ab\ne a, spełniona jest nierówność a2+b22>(a+b2)2\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Rozwijamy prawą stronę i mnożymy obie strony przez 4>04>0:

a2+b22>a2+2ab+b24⇔2a2+2b2>a2+2ab+b2⇔a2−2ab+b2>0⇔(a−b)2>0\frac{a^2+b^2}{2}>\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\Leftrightarrow\quad 2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2 \quad\Leftrightarrow\quad a^2-2ab+b^2>0 \quad\Leftrightarrow\quad (a-b)^2>0

Ponieważ a≠ba\neq b, liczba a−ba-b jest różna od zera, a kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni. Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność jest prawdziwa.

Odpowiedź:

nierówność jest równoważna (a−b)2>0(a-b)^2>0, co zachodzi dla a≠ba\neq b.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 32 - Trygonometria (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 32Trygonometria2 pktOtwarte
Kąt α\alpha jest ostry i tg⁡α=2\operatorname{tg} \alpha =2. Oblicz wartość wyrażenia sin⁡2α\sin^{2} \alpha.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Z tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=2\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2 mamy cos⁡α=sin⁡α2\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{2}. Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:

sin⁡2α+sin⁡2α4=1⇒54sin⁡2α=1⇒sin⁡2α=45\sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{4}\sin^2\alpha=1 \quad\Rightarrow\quad \sin^2\alpha=\frac{4}{5}

Ten sam wynik daje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 22 i 11: przeciwprostokątna ma długość 5\sqrt{5}, więc sin⁡α=25\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}} i sin⁡2α=45\sin^2\alpha=\frac{4}{5}.

Odpowiedź:

sin⁡2α=45\sin^2\alpha=\frac{4}{5}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Zadanie 33 - Planimetria (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 33Planimetria2 pktOtwarte
Dany jest trójkąt równoramienny ABCABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣|AC|=|BC|. Dwusieczna kąta BACBAC przecina bok BCBC w takim punkcie DD, że trójkąty ABCABC i BDABDA są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta BACBAC.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Oznaczmy ∣∢BAC∣=α|\sphericalangle BAC|=\alpha. Trójkąt ABCABC jest równoramienny o podstawie ABAB, więc ∣∢ABC∣=α|\sphericalangle ABC|=\alpha, a ∣∢ACB∣=180∘−2α|\sphericalangle ACB|=180^\circ-2\alpha. Dwusieczna dzieli kąt BACBAC na połowy, więc ∣∢BAD∣=α2|\sphericalangle BAD|=\frac{\alpha}{2}.

W trójkącie BDABDA kąt przy wierzchołku BB to ten sam kąt ABCABC, równy α\alpha. Trójkąt podobny do równoramiennego ABCABC też ma dwa kąty równe α\alpha i jeden równy 180∘−2α180^\circ-2\alpha. Kąt BADBAD równy α2\frac{\alpha}{2} jest mniejszy od α\alpha, więc to on odpowiada kątowi ACBACB, a kąt BDABDA jest równy α\alpha. Z sumy kątów trójkąta BDABDA:

α2+α+α=180∘⇒52α=180∘⇒α=72∘\frac{\alpha}{2}+\alpha+\alpha=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}\alpha=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha=72^\circ

Sprawdzenie: trójkąt ABCABC ma kąty 72∘,72∘,36∘72^\circ, 72^\circ, 36^\circ, a trójkąt BDABDA kąty 36∘,72∘,72∘36^\circ, 72^\circ, 72^\circ, więc rzeczywiście są podobne.

Odpowiedź:

∣∢BAC∣=72∘|\sphericalangle BAC|=72^\circ

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Planimetria

Zadanie 34 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 34Prawdopodobieństwo2 pktOtwarte
Ze zbioru dziewięcioelementowego M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie AA polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru MM, których iloczyn jest równy 2424. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia AA.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Losujemy kolejno ze zwracaniem, więc wynikiem jest para uporządkowana i ∣Ω∣=9⋅9=81|\Omega|=9\cdot 9=81. Iloczyn 2424 z czynników od 11 do 99 dają tylko 3⋅83\cdot 8 i 4⋅64\cdot 6 (bo 2⋅122\cdot 12 i 1⋅241\cdot 24 wychodzą poza zbiór). Każdą parę liczymy w obu kolejnościach:

A={(3,8),(8,3),(4,6),(6,4)},∣A∣=4A=\{(3,8),(8,3),(4,6),(6,4)\},\qquad |A|=4 P(A)=481P(A)=\frac{4}{81}

Więcej przykładów w dziale prawdopodobieństwo.

Odpowiedź:

P(A)=481P(A)=\frac{4}{81}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Prawdopodobieństwo

Zadanie 35 - Funkcja kwadratowa (otwarte, 5 pkt) ↗

Matura maj 2022Zadanie 35Funkcja kwadratowa5 pktOtwarte
Wykres funkcji kwadratowej ff określonej wzorem f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c ma z prostą o równaniu y=6y=6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty A=(−5,0)A=(-5,0) i B=(3,0)B=(3,0) należą do wykresu funkcji ff. Oblicz wartości współczynników aa, bb oraz cc.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Punkty AA i BB leżą na osi OxOx, więc x=−5x=-5 i x=3x=3 to miejsca zerowe funkcji. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między nimi:

p=−5+32=−1p=\frac{-5+3}{2}=-1

Prosta pozioma przecina parabolę w dwóch punktach, w jednym albo w żadnym. Dokładnie jeden punkt wspólny oznacza, że prosta y=6y=6 przechodzi przez wierzchołek, więc q=6q=6 i W=(−1,6)W=(-1,6). Postać kanoniczna to f(x)=a(x+1)2+6f(x)=a(x+1)^2+6. Podstawiamy punkt B=(3,0)B=(3,0):

0=a⋅42+6⇒16a=−6⇒a=−380=a\cdot 4^2+6 \quad\Rightarrow\quad 16a=-6 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3}{8}

Przekształcamy do postaci ogólnej:

f(x)=−38(x2+2x+1)+6=−38x2−34x−38+488=−38x2−34x+458f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x+1)+6=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}+\frac{48}{8}=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}

Sprawdzenie dla A=(−5,0)A=(-5,0): −758+308+458=0-\frac{75}{8}+\frac{30}{8}+\frac{45}{8}=0.

Odpowiedź:

a=−38a=-\frac{3}{8}, b=−34b=-\frac{3}{4}, c=458c=\frac{45}{8}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa

Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Poniżej miejsca w zadaniach tego arkusza, w których łatwo o pomyłkę.

W zadaniach algebraicznych łatwo zapomnieć o zmianie znaku przy przeniesieniu wyrazu na drugą stronę. W zadaniu 29 po przeniesieniu 77 wyraz wolny to −16-16, a nie −2-2. Przy wzorze na pierwiastki x=−b±Δ2ax=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} trzeba uważać na znak bb: tu b=−2b=-2, więc −b=2-b=2.

W funkcji kwadratowej pomaga pamiętanie, że współczynnik aa jest taki sam w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (zadanie 12), a pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi (zadanie 35). W zadaniu 10 trzeba pamiętać, że wykres y=f(x+2)y=f(x+2) to wykres ff przesunięty o 22 w lewo, nie w prawo.

W ciągach łatwo pomylić wzory dla ciągu arytmetycznego i geometrycznego. W zadaniu 15 trzeba też odrzucić ujemny iloraz, bo wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.

W stereometrii warto rozpisać długości krawędzi bryły, zanim zacznie się liczyć pola. W zadaniu 26 krawędzie BEBE, BGBG i EGEG ostrosłupa są przekątnymi ścian sześcianu, więc mają długość a2a\sqrt{2}, a nie aa.

W prawdopodobieństwie trzeba ustalić, czy kolejność ma znaczenie. W zadaniu 34 losujemy kolejno ze zwracaniem, więc (3,8)(3,8) i (8,3)(8,3) to dwa różne zdarzenia elementarne, a ∣Ω∣=81|\Omega|=81. Wynik końcowy warto skrócić.

Jak przygotować się na podobny arkusz

Efektywne przygotowanie do matury z matematyki wymaga systematycznego podejścia. Zacznij od podstaw: zanim przystąpisz do trudniejszych zadań, upewnij się, że rozumiesz wszystkie podstawowe pojęcia. Jeśli nie czujesz się pewnie z funkcją kwadratową, poświęć temu tematowi dodatkowy czas, bo w tym arkuszu dotyczyły jej zadania 12 i 35, a nierówności kwadratowej zadanie 29.

Rozwiązywanie starych arkuszy to ważna część przygotowań. Matura z maja 2021 ma ten sam układ: 28 zadań zamkniętych, 7 otwartych i 45 punktów. Przejrzyj też arkusz z maja 2020, który ma jeszcze pełne 50 punktów, lub arkusz z maja 2023 w nowej formule. Porównanie kilku edycji egzaminu pokazuje, które typy zadań się powtarzają.

Ćwiczenie na czas jest równie ważne jak znajomość materiału. Ten arkusz rozwiąż w 170 minut, tyle trwał egzamin. Zaczynaj od zadań zamkniętych (zwykle szybszych), zaznaczaj trudne zadania i wracaj do nich później, a przede wszystkim czytaj uważnie treść każdego zadania.

Jeśli ciągi sprawiają Ci problemy, poświęć im szczególną uwagę. Gdy stereometria jest trudna, rysuj bryły i rozpisuj długości krawędzi. Rozwiąż kilkadziesiąt zadań z obszarów, które idą Ci najsłabiej.

Skorzystaj z funkcji losowego zadania, aby rozwiązywać zadania z różnych obszarów, a nie tylko z jednego działu.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Prawdziwe zadania z matur CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Rozwiąż ten arkusz sam, zadanie po zadaniu.

Rozwiąż arkusz: matura maj 2022

Arkusz CKE z rozwiązaniami

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Czytaj dalej

Arkusz maturalny

Matura maj 2021 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku

Omówienie arkusza z maja 2021 (poziom podstawowy, 35 zadań, 45 punktów): klucz odpowiedzi do wszystkich zadań zamkniętych, wybrane zadania zamknięte rozwiązane krok po kroku i pełne rozwiązania siedmiu zadań otwartych.

Arkusz maturalny

Matura maj 2020 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku

Arkusz z matematyki z 2020 roku (termin główny, który odbył się w czerwcu), poziom podstawowy: odpowiedzi do wszystkich 25 zadań zamkniętych i pełne rozwiązania 9 zadań otwartych.

Arkusz maturalny

Matura maj 2023 - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania

Arkusz matury z matematyki, maj 2023, z zadaniami do rozwiązania w aplikacji. Rozkład kategorii i lista zadań z tego arkusza dostępnych w naszej bazie.