Matura maj 2022 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

Wstęp

Matura z matematyki z maja 2022 roku to jeden z ostatnich arkuszy przed reformą programową. Tysiące absolwentów liceów i techników podchodziło do tego egzaminu po przerwie pandemicznej, kiedy program nauczania był realizowany częściowo zdalnie. Arkusz ten charakteryzuje się dobrą reprezentacją wszystkich działów i umiarkowanym poziomem trudności. W tym artykule omówimy szczegółowo wszystkie typy zadań, które pojawiły się w tym arkuszu, wraz z pełnym tokiem rozumowania.

O arkuszu Matura maj 2022

Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym składa się z dwóch części. Pierwsza część obejmuje 25 zadań zamkniętych (wybór jednej odpowiedzi spośród czterech), każde za 1 punkt. Druga część to zadania otwarte, za które można uzyskać od 2 do 6 punktów każde. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów.

W arkuszu z maja 2022 roku szczególnie mocno reprezentowane były następujące działy:

Próg zdawalności wynosi 30% sumy punktów, czyli 15 punktów. Aby zdać maturę, wystarczy odpowiedzieć poprawnie na 15 z 50 możliwych punktów.

Zadania zamknięte (1-25) - omówienie

Zadania z funkcji i równań (typowe schematy)

W grupie zadań zamkniętych arkusza z 2022 roku standardowo pojawiały się zadania dotyczące:

Dziedziny i wartości funkcji. Typowe zadanie prosi o wyznaczenie dziedziny funkcji, np. f(x) = rac{1}{\sqrt{x-2}}. Dziedzina to zbiór tych $x$, dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie i mianownik różny od zera:

$$x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$$

Dziedzina: $(2, +\infty)$.

Wyróżnik trójmianu kwadratowego. Sprawdzenie liczby rozwiązań równania $ax^2 + bx + c = 0$ za pomocą wyróżnika:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Gdy $\Delta > 0$ - dwa rozwiązania, gdy $\Delta = 0$ - jedno rozwiązanie, gdy $\Delta < 0$ - brak rozwiązań rzeczywistych.

Wartości funkcji trygonometrycznych. Typowe pytanie dotyczy obliczenia $\sin 30°$, $\cos 45°$, $an 60°$ itp. Warto pamiętać tabelę wartości:

Zadania z ciągów

Arkusz z 2022 roku zawierał typowe pytania o ciągi arytmetyczne i geometryczne.

Dla ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$:

$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$$

Suma $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n = rac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}

Dla ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

Typowe zadanie: dany jest ciąg arytmetyczny, w którym $a_3 = 10$ oraz $a_7 = 22$. Wyznaczyć $a_1$.

Rozwiązanie: Z warunków układamy układ równań:
$$a_1 + 2r = 10$$
$$a_1 + 6r = 22$$

Odejmując pierwsze od drugiego: $4r = 12$, czyli $r = 3$. Stąd $a_1 = 10 - 2 \cdot 3 = 4$.

Zadania z prawdopodobieństwa

W tej grupie typowe pytanie dotyczy klasycznej definicji prawdopodobieństwa lub reguły dodawania. Prawdopodobieństwo klasyczne:

P(A) = rac{ ext{liczba zdarzeń sprzyjających}}{ ext{liczba wszystkich zdarzeń}}

Przykładowe zadanie: Z talii 52 kart losujemy jedną kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to as?

P( ext{as}) = rac{4}{52} = rac{1}{13}

Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadanie z geometrii analitycznej (typowy schemat)

W arkuszach CKE z lat 2020-2023 bardzo często pojawiało się zadanie polegające na wyznaczeniu równania prostej lub okręgu oraz zbadaniu wzajemnego położenia prostej i okręgu.

Przykład typowy: Dana jest prosta $l: y = 2x - 1$ oraz punkt $A = (3, 2)$. Znaleźć równanie prostej prostopadłej do $l$ przechodzącej przez $A$.

Rozwiązanie:

Więcej o geometrii analitycznej na maturze przeczytasz na stronie Geometria analityczna - zadania maturalne.

Zadanie z funkcji kwadratowej

Typowe zadanie otwarte z funkcji kwadratowej w arkuszach CKE polega na wyznaczeniu wierzchołka paraboli, osi symetrii oraz podaniu przedziałów monotoniczności.

Dla funkcji $f(x) = ax^2 + bx + c$:

ight)

Przykład: Dana jest funkcja $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Wyznaczyć wierzchołek i miejsca zerowe.

Rozwiązanie:
$$a = 1, b = -6, c = 5$$
x_W = -rac{-6}{2 \cdot 1} = 3
$$y_W = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$$
Wierzchołek: $W = (3, -4)$. Miejsca zerowe:
$$\Delta = 36 - 20 = 16$$
x_1 = rac{6 - 4}{2} = 1, \quad x_2 = rac{6 + 4}{2} = 5

Funkcja kwadratowa szczegółowo omówiona jest w artykule Funkcja kwadratowa krok po kroku na maturze.

Zadanie ze stereometrii

W arkuszu z maja 2022 roku pojawiło się zadanie dotyczące graniastosłupa lub ostrosłupa. Typowa struktura:

Przykład typowy: Graniastosłup prostokątny ma podstawę o wymiarach $3 imes 4$ cm i wysokość $5$ cm. Obliczyć przekątną graniastosłupa.

Rozwiązanie:
1. Przekątna podstawy: $d_p = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cm
2. Przekątna graniastosłupa: $d = \sqrt{d_p^2 + h^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ cm

Więcej zadań ze stereometrii znajdziesz w dziale Stereometria - bryły przestrzenne.

Zadanie z logarytmów

Typowe zadanie: Obliczyć wartość wyrażenia $\log_2 32 + \log_3 27$.

Rozwiązanie:
$$\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$$
$$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$
$$\log_2 32 + \log_3 27 = 5 + 3 = 8$$

Warto pamiętać własności logarytmów:

Zadanie z trygonometrii

W arkuszu z 2022 roku typowe zadanie z trygonometrii dotyczyło obliczenia wartości funkcji trygonometrycznych kąta lub wyznaczenia boku trójkąta z twierdzenia sinusów lub cosinusów.

Twierdzenie cosinusów:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$$

Twierdzenie sinusów:
rac{a}{\sinlpha} = rac{b}{\sineta} = rac{c}{\sin\gamma} = 2R

Przykład: W trójkącie $ABC$ mamy $a = 5$, $b = 7$, $\gamma = 60°$. Obliczyć bok $c$.

c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 70 \cdot rac{1}{2} = 74 - 35 = 39
$$c = \sqrt{39}$$

Więcej o trygonometrii maturalnej przeczytasz w artykule Trygonometria na maturze - wzory i zadania.

Najczęstsze błędy w arkuszu z 2022 roku

Na podstawie analizy typowych odpowiedzi zdających w latach 2020-2022 można wskazać kilka kategorii błędów:

1. Błędy rachunkowe przy wyznaczaniu wyróżnika. Zdający często mylą znaki przy obliczaniu $\Delta = b^2 - 4ac$, szczególnie gdy $a$ lub $c$ są ujemne. Zawsze zapisuj wzór pełny przed podstawianiem liczb.

2. Nieuwzględnienie warunków dziedziny. Przy zadaniach z pierwiastkami lub logarytmami trzeba pamiętać, że argument musi być dodatni. Np. dla $\log(x-2)$ warunek to $x - 2 > 0$, czyli $x > 2$.

3. Błędne zapamiętanie wartości trygonometrycznych. Uczniowie mylą $\sin 30°$ z $\cos 30°$. Pomocna mnemonika: sin rośnie z kątem od 0 do 90 stopni, więc $\sin 30° < \sin 60°$, czyli rac{1}{2} < rac{\sqrt{3}}{2}.

4. Pominięcie jednostek w zadaniach słownych. W zadaniach z geometrii lub fizyki zawsze podawaj jednostki przy wyniku końcowym.

5. Niestaranna analiza rysunku. W zadaniach z geometrii analitycznej przed przystąpieniem do obliczeń warto naszkicować układ współrzędnych i zaznaczyć podane dane.

Jak przygotować się na podobny arkusz

Jeżeli chcesz zdać maturę z matematyki na poziomie zbliżonym do arkusza z 2022 roku, skup się na:

Najlepszą metodą przygotowania jest rozwiązywanie zadań z różnych kategorii i analiza popełnionych błędów. Warto też zapoznać się z arkuszem z roku 2021: Matura maj 2021 - rozwiązania.

Na platformie sprawnamatura.pl znajdziesz ponad 2400 zadań maturalnych z rozwiązaniami, posortowanych według działów i poziomu trudności. Regularne ćwiczenie to klucz do sukcesu na egzaminie.

Podsumowanie

Matura z maja 2022 roku reprezentuje typowy, dobrze zrównoważony arkusz CKE. Zadania sprawdzały umiejętności z wszystkich kluczowych działów programu klasy licealnej. Dzięki solidnemu przygotowaniu i znajomości wzorów każdy maturzysta jest w stanie przekroczyć próg zdawalności.

Pamiętaj: na maturze nie musisz rozwiązać wszystkich zadań idealnie. Ważne jest, żeby zebrać jak najwięcej pewnych punktów z zadań, które znasz dobrze. Powodzenia!