Trygonometria na maturze - wzory, tabela wartości i zadania

Wstęp

Trygonometria to jeden z działów matematyki maturalnej, który sprawia uczniom najwięcej trudności, a jednocześnie jest regularnie obecny w każdym arkuszu CKE. W arkuszach z lat 2018-2025 trygonometria pojawia się co roku co najmniej 2-3 razy w zadaniach zamkniętych i przynajmniej raz w zadaniach otwartych. Dobra znajomość wzorów trygonometrycznych i umiejętność ich stosowania to gwarancja zdobycia cennych punktów. W tym przewodniku znajdziesz wszystkie kluczowe wzory, definicje i metody rozwiązywania zadań trygonometrycznych na maturze.

Definicje funkcji trygonometrycznych

Definicja w trójkącie prostokątnym

Dla ostrego kąta lpha w trójkącie prostokątnym:

\sinlpha = rac{ ext{przyprostokątna naprzeciwległa}}{ ext{przeciwprostokątna}} = rac{a}{c}

\coslpha = rac{ ext{przyprostokątna przyległa}}{ ext{przeciwprostokątna}} = rac{b}{c}

anlpha = rac{ ext{przyprostokątna naprzeciwległa}}{ ext{przyprostokątna przyległa}} = rac{a}{b}

\cotlpha = rac{ ext{przyprostokątna przyległa}}{ ext{przyprostokątna naprzeciwległa}} = rac{b}{a}

Prosta reguła zapamiętywania: SOH-CAH-TOA (z angielskiego: Sine = Opposite/Hypotenuse, Cosine = Adjacent/Hypotenuse, Tangent = Opposite/Adjacent).

Definicja jednostkowa (okrąg jednostkowy)

Dla dowolnego kąta lpha, jeśli punkt $P$ leży na okręgu jednostkowym (o promieniu 1) i kąt między osią OX a promieniem OP wynosi lpha, to:

Dzięki tej definicji możemy obliczać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów większych niż 90°.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Najważniejsze wartości, które musisz znać na pamięć:

Pomocnicza wskazówka: Dla sinusa wartości dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° to kolejno rac{\sqrt{0}}{2}, rac{\sqrt{1}}{2}, rac{\sqrt{2}}{2}, rac{\sqrt{3}}{2}, rac{\sqrt{4}}{2}. Dla cosinusa jest odwrotnie.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

To wzory, które muszą być w Twojej głowie - często pojawiają się wprost w zadaniach maturalnych:

Tożsamość Pitagorasa (najważniejsza!):
\sin^2lpha + \cos^2lpha = 1

Z niej wynikają:
\sin^2lpha = 1 - \cos^2lpha
\cos^2lpha = 1 - \sin^2lpha

Związek tangensa i cotangensa z sinusem i cosinusem:
anlpha = rac{\sinlpha}{\coslpha}
\cotlpha = rac{\coslpha}{\sinlpha}

Wzór na tg i ctg:
anlpha \cdot \cotlpha = 1

Wzory redukcyjne (przydatne do obliczania wartości dla kątów > 90°):
\sin(180° - lpha) = \sinlpha
\cos(180° - lpha) = -\coslpha
\sin(90° - lpha) = \coslpha
\cos(90° - lpha) = \sinlpha

Twierdzenie sinusów i cosinusów

Twierdzenie sinusów

W trójkącie o bokach $a, b, c$ i kątach lpha, eta, \gamma naprzeciwko tych boków:

rac{a}{\sinlpha} = rac{b}{\sineta} = rac{c}{\sin\gamma} = 2R

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Twierdzenia sinusów używamy, gdy znamy:

Twierdzenie cosinusów

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \coslpha
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \coseta
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma$$

Twierdzenia cosinusów używamy, gdy znamy:

Ważna obserwacja: Gdy kąt lpha = 90°, to $\cos 90° = 0$, a wzór redukuje się do twierdzenia Pitagorasa: $a^2 = b^2 + c^2$. To dowód, że twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów.

Pole trójkąta ze wzoru trygonometrycznego

Pole trójkąta można obliczyć nie tylko przez P = rac{1}{2} a h_a, ale też:

P = rac{1}{2} ab \sin\gamma

gdzie $a, b$ to dwa boki, a $\gamma$ to kąt między nimi. Ten wzór jest niezwykle użyteczny w zadaniach maturalnych!

Przykład: Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 8, a kąt między nimi wynosi 30°. Oblicz pole.

P = rac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = rac{1}{2} \cdot 48 \cdot rac{1}{2} = 12

Typowe zadania maturalne z trygonometrii - przykłady

Zadanie 1: Obliczanie wartości wyrażenia

Treść: Oblicz wartość wyrażenia $2\sin^2 45° + \cos 60°$.

Rozwiązanie:
2\sin^2 45° + \cos 60° = 2 \cdot \left(rac{\sqrt{2}}{2} ight)^2 + rac{1}{2} = 2 \cdot rac{2}{4} + rac{1}{2} = 2 \cdot rac{1}{2} + rac{1}{2} = 1 + rac{1}{2} = rac{3}{2}

Zadanie 2: Wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznej

Treść: Kąt lpha jest ostry i \sinlpha = rac{3}{5}. Oblicz \coslpha i anlpha.

Rozwiązanie:
Z tożsamości Pitagorasa:
\cos^2lpha = 1 - \sin^2lpha = 1 - rac{9}{25} = rac{16}{25}

Ponieważ lpha jest ostry (kąt z przedziału $(0°, 90°)$), cosinus jest dodatni:
\coslpha = rac{4}{5}

anlpha = rac{\sinlpha}{\coslpha} = rac{3/5}{4/5} = rac{3}{4}

Zadanie 3: Zastosowanie twierdzenia cosinusów

Treść: W trójkącie $ABC$: $a = 7$, $b = 8$, $c = 9$. Oblicz \coslpha.

Rozwiązanie:
\coslpha = rac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = rac{64 + 81 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 9} = rac{96}{144} = rac{2}{3}

Zadanie 4: Obliczenie boku z twierdzenia sinusów

Treść: W trójkącie $ABC$: lpha = 45°, eta = 60°, $c = 10$. Oblicz bok $a$.

Rozwiązanie:
Najpierw wyznaczamy kąt $\gamma = 180° - 45° - 60° = 75°$.

Ze wzoru na sinus sumy: \sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = rac{\sqrt{2}}{2} \cdot rac{\sqrt{3}}{2} + rac{\sqrt{2}}{2} \cdot rac{1}{2} = rac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}

Z twierdzenia sinusów:
rac{a}{\sinlpha} = rac{c}{\sin\gamma}
a = rac{c \cdot \sinlpha}{\sin\gamma} = rac{10 \cdot \sin 45°}{\sin 75°} = rac{10 \cdot rac{\sqrt{2}}{2}}{rac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = rac{5\sqrt{2}}{rac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = rac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}

Równania trygonometryczne

Na maturze podstawowej rzadko pojawiają się pełne równania trygonometryczne, ale mogą się pojawić proste równania w stylu:

Przykład: Rozwiąż równanie \sinlpha = rac{\sqrt{3}}{2} dla lpha \in (0°, 180°).

Rozwiązanie: Z tabeli wartości wiemy, że \sin 60° = rac{\sqrt{3}}{2}. Ponieważ sinus jest też równy $rac{\sqrt{3}}{2}$ dla lpha = 120° (bo $\sin(180°-60°) = \sin 60°$), oba te kąty są rozwiązaniem:
lpha = 60° \quad ext{lub} \quad lpha = 120°

Trygonometria a planimetria i stereometria

Trygonometria często łączy się z innymi działami:

W planimetrii trygonometria służy do obliczania pól trójkątów i wielokątów, gdy dana jest długość boku i kąt. Więcej w dziale Planimetria - zadania maturalne.

W stereometrii trygonometria pojawia się przy wyznaczaniu kątów dwuściennych i kątów między prostą a płaszczyzną. Więcej w dziale Stereometria - bryły i obliczenia.

W geometrii analitycznej trygonometria pomaga przy obliczaniu kąta między prostymi. Więcej: Geometria analityczna na maturze.

Typowe błędy w zadaniach trygonometrycznych

Błąd 1: Mylenie sin i cos. Uczniowie często podstawiają cosinus tam, gdzie powinni podstawić sinus. Zapamiętaj: sinus = przeciwprostokątna/przeciwprostokątna (naprzeciwko kąta), cosinus = przyległa/przeciwprostokątna.

Błąd 2: Zapominanie o tożsamości Pitagorasa. Gdy w zadaniu dany jest sinus, a potrzebny cosinus (lub odwrotnie) - zawsze stosuj \sin^2lpha + \cos^2lpha = 1.

Błąd 3: Nieprawidłowe zastosowanie twierdzenia cosinusów. Wzór a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\coslpha - kąt lpha musi być naprzeciwko boku $a$. Pilnuj odpowiedniości między bokami a kątami.

Błąd 4: Zapomnienie o wartościach kątów tępych. Dla lpha \in (90°, 180°): sinus jest dodatni, cosinus i tangens są ujemne. To ma znaczenie przy sprawdzaniu wyników.

Podsumowanie i plan nauki

Trygonometria to dział, który można opanować dzięki regularnym ćwiczeniom. Plan minimum:

1. Naucz się na pamięć tabeli wartości trygonometrycznych (0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°)
2. Zapamiętaj i przećwicz tożsamość Pitagorasa oraz wzory na tan i cot
3. Naucz się stosować twierdzenie sinusów i cosinusów
4. Rozwiąż co najmniej 20 zadań z trygonometrii z poprzednich arkuszy maturalnych

Ćwicz różne typy zadań w dziale Trygonometria - zadania maturalne lub klikaj losowe zadania z wszystkich działów. Sprawdź też arkusze maturalne: Matura maj 2022 - rozwiązania.