Matura maj 2017 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2017

Matura z maja 2017 to jeden z najlepszych arkuszy do powtórek - dobrze wyważony pod względem trudności, z zadaniami, które sprawdzają solidne rozumienie matematyki, a nie tylko mechaniczne stosowanie wzorów. To był trzeci rok nowej formuły egzaminu i CKE już wypracowała stabilny schemat.

Arkusz składał się z 34 zadań: 25 zamkniętych (po 1 punkcie) i 9 otwartych (za 2-5 punktów), łącznie 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów. Średni wynik w 2017 roku wyniósł ok. 55% - arkusz nie był ani zbyt łatwy, ani przesadnie trudny.

Wyróżnikiem tego arkusza jest zadanie z dowodem podzielności (zad. 27), które testuje umiejętność prowadzenia rozumowania algebraicznego, oraz ciekawe zadanie z walcem w trygonometrii (zad. 22). Jeśli szukasz kolejnych arkuszy do ćwiczeń, sprawdź maturę z maja 2018 lub maturę z maja 2016. Pełna lista arkuszy jest dostępna w bazie arkuszy CKE 2010-2025.

Rozkład kategorii w arkuszu

Arkusz jest dobrze zbalansowany tematycznie. Nie ma jednej dominującej kategorii - punkty są rozłożone równomiernie. Największy potencjał punktowy mają funkcja kwadratowa (9 pkt, w tym jedno zadanie otwarte za 4 pkt) oraz stereometria (6 pkt z trzema zadaniami). To typowe dla matur z lat 2015-2019 - CKE kładła duży nacisk na geometrię i analizę funkcji.

Warto zwrócić uwagę, że potęgi i pierwiastki pojawiają się tu "tylko" 3 razy (4 pkt), podczas gdy na nowszych maturach (2023-2025) ta kategoria dominuje z 8-10 zadaniami. Jeśli ćwiczysz na arkuszach z różnych lat, pamiętaj o tej różnicy.

Poziom trudności

Łatwe (ok. 18 punktów) - podstawowe działania na potęgach, proste równania liniowe, odczytywanie z wykresu funkcji, procenty, statystyka. Jeśli masz problem z tymi zadaniami, zacznij od przewodnika po potęgach i pierwiastkach i funkcji liniowej. Te punkty to absolutne minimum, które musisz zdobyć.

Średnie (ok. 20 punktów) - ciąg geometryczny, logarytmy, trygonometria, planimetria zamknięta, prawdopodobieństwo klasyczne, geometria analityczna. Tu decyduje się, czy zdasz na 50% czy 70%. Kluczowe jest opanowanie wzorów - ciągi, logarytmy i prawdopodobieństwo powinny być twoimi priorytetami.

Trudne (ok. 12 punktów) - funkcja kwadratowa za 4 pkt (zad. 29), stereometria za 4 pkt (zad. 34), prawdopodobieństwo za 3 pkt (zad. 30). To zadania, które wymagają łączenia wiedzy z kilku działów i precyzyjnego rozumowania. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, punkty cząstkowe (za poprawny rysunek, wyznaczenie dziedziny, jedno podpunkt) są na wyciągnięcie ręki.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Potęgi (zamknięte, 1 pkt) ↗

Treść: Liczba $5^8 \cdot 16^{-2}$ jest równa...

Rozwiązanie:

Klucz to rozpoznanie, że $16 = 2^4$. Zapisujemy:

$$16^{-2} = (2^4)^{-2} = 2^{-8}$$

Zatem:

$$5^8 \cdot 16^{-2} = 5^8 \cdot 2^{-8} = \frac{5^8}{2^8} = \left(\frac{5}{2}\right)^8$$

Odpowiedź: $\left(\frac{5}{2}\right)^8$

Typowe zadanie na zamianę podstaw i działania na wykładnikach ujemnych. Najczęstszy błąd to zapomnienie, że $16 = 2^4$, a nie $16 = 4^2$ (co technicznie jest poprawne, ale nie prowadzi do prostej odpowiedzi). Kiedy w zadaniu widzisz dwie różne podstawy, zawsze szukaj sposobu na sprowadzenie ich do potęgi tej samej liczby lub zapisanie jako jednego ułamka. Więcej technik: potęgi i pierwiastki na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 3 - Logarytmy (zamknięte, 1 pkt) ↗

Treść: Liczba $2\log_2 3 - 2\log_2 5$ jest równa...

Rozwiązanie:

Wyciągamy dwójkę przed nawias i korzystamy z własności logarytmów:

$$2\log_2 3 - 2\log_2 5 = 2(\log_2 3 - \log_2 5)$$

Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu:

$$= 2 \cdot \log_2 \frac{3}{5}$$

Teraz korzystamy z własności $n \cdot \log_a x = \log_a x^n$:

$$= \log_2 \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \log_2 \frac{9}{25}$$

Odpowiedź: $\log_2 \frac{9}{25}$

Trzy własności logarytmów, które musisz znać na pamięć: (1) $\log a + \log b = \log(ab)$, (2) $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$, (3) $n \cdot \log a = \log a^n$. To zadanie testuje wszystkie trzy naraz. Przećwicz je na stronie z zadaniami z logarytmów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 13 - Ciąg geometryczny (zamknięte, 1 pkt) ↗

Treść: Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny $(24,\ 6,\ a-1)$. Wtedy...

Rozwiązanie:

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi skrajnych:

$$6^2 = 24 \cdot (a - 1)$$ $$36 = 24(a - 1)$$

Dzielimy obie strony przez 24:

$$a - 1 = \frac{36}{24} = \frac{3}{2}$$ $$a = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$$

Odpowiedź: $a = \frac{5}{2}$

Warunek $b^2 = a \cdot c$ to absolutny must-know dla ciągów geometrycznych. Pojawia się na maturze praktycznie co roku. Warto też sprawdzić, czy iloraz ciągu jest stały: $q = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$, a potem $\frac{a-1}{6} = \frac{\frac{3}{2}}{6} = \frac{1}{4}$ - zgadza się. Przeczytaj przewodnik po ciągach na maturze, żeby przećwiczyć podobne zadania.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 22 - Trygonometria w walcu (zamknięte, 1 pkt) ↗

Treść: Promień $AS$ podstawy walca jest równy wysokości $OS$. Sinus kąta $OAS$ jest równy...

Rozwiązanie:

Narysuj przekrój osiowy walca. Punkt $S$ leży na okręgu podstawy, $O$ jest środkiem górnej podstawy (lub wierzchołkiem osi), $A$ leży na okręgu podstawy. Mamy trójkąt prostokątny $OAS$, gdzie:

Obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

$$OA = \sqrt{AS^2 + OS^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$$

Sinus kąta $OAS$ to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko ($OS$) do przeciwprostokątnej ($OA$):

$$\sin(\angle OAS) = \frac{OS}{OA} = \frac{r}{r\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Odpowiedź: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Zadania z bryłami obrotowymi na maturze zamkniętej najczęściej sprowadzają się do narysowania odpowiedniego przekroju i znalezienia trójkąta prostokątnego. Tu kluczowe było rozpoznanie, że $AS = OS$, co daje trójkąt prostokątny równoramienny - a sinus kąta w takim trójkącie to zawsze $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Warto znać typowe wartości sinusa: $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Więcej o trygonometrii w stereometrii na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 25 - Prawdopodobieństwo (zamknięte, 1 pkt) ↗

Treść: Ze zbioru $\{1, 2, 3, \ldots, 24\}$ losujemy jedną liczbę. Zdarzenie $A$ polega na wylosowaniu liczby podzielnej przez 6...

Rozwiązanie:

Najpierw wypisujemy wszystkie wielokrotności 6 w zbiorze $\{1, 2, \ldots, 24\}$:

$$6, 12, 18, 24$$

To 4 liczby. Przestrzeń zdarzeń elementarnych ma $|\Omega| = 24$ elementów. Zatem:

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$$

Odpowiedź: $P(A) = \frac{1}{6}$

Prawdopodobieństwo klasyczne: policz sprzyjające, podziel przez wszystkie. Tu nie ma żadnych pułapek - trzeba tylko poprawnie wyliczyć wielokrotności. Najczęstszy błąd to pominięcie 24 (bo uczniowie myślą o $6, 12, 18$ i zapominają sprawdzić samą granicę zbioru). Zawsze sprawdzaj, czy ostatni element pasuje. Przećwicz zadania z prawdopodobieństwa.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 27 - Dowód podzielności (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez 17.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Wyciągnij wspólny czynnik. Najmniejsza potęga to $4^{2017}$, wyciągamy ją przed nawias:

$$4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3)$$

Krok 2 - Oblicz sumę w nawiasie:

$$1 + 4 + 16 + 64 = 85$$

Krok 3 - Rozłóż na czynniki:

$$85 = 5 \cdot 17$$

Zatem:

$$4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3) = 4^{2017} \cdot 85 = 4^{2017} \cdot 5 \cdot 17$$

Ponieważ wyrażenie jest iloczynem liczby całkowitej $4^{2017} \cdot 5$ i liczby 17, jest podzielne przez 17. $\square$

Dlaczego to działa: Cały dowód opiera się na jednym pomyśle - wyciągnięciu wspólnego czynnika. Po wyciągnięciu $4^{2017}$ zostaje prosta suma $1 + 4 + 16 + 64 = 85$, która rozkłada się na $5 \cdot 17$. Gotowe.

Schemat oceniania CKE (2 pkt): 1 punkt za wyciągnięcie wspólnego czynnika i obliczenie sumy $1 + 4 + 16 + 64 = 85$. Drugi punkt za rozłożenie 85 na czynniki i sformułowanie wniosku o podzielności przez 17. Nawet jeśli nie zapiszesz formalnego końca dowodu, pierwszy punkt za przekształcenie jest pewny.

Wskazówka: Zadania z dowodem podzielności pojawiają się na maturze regularnie. Schemat jest zawsze taki sam: (1) wyciągnij wspólny czynnik, (2) oblicz to, co zostanie w nawiasie, (3) pokaż, że wynik dzieli się przez dany dzielnik. Porównaj z zadaniami z potęg na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 29 - Funkcja kwadratowa (otwarte, 4 pkt) ↗

Treść: Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$ ma największą wartość równą 9. Miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ tej funkcji spełniają warunki $x_1 \cdot x_2 < 0$ oraz $x_1 + x_2 = 4$...

Rozwiązanie:

Krok 1 - Analiza warunków. Funkcja ma wartość największą, więc ramiona paraboli skierowane w dół: $a < 0$. Wartość największa to wartość w wierzchołku: $y_w = 9$.

Krok 2 - Współrzędna wierzchołka. Wierzchołek paraboli leży w punkcie $x_w = \frac{x_1 + x_2}{2}$. Z warunku $x_1 + x_2 = 4$:

$$x_w = \frac{4}{2} = 2$$

Zatem wierzchołek to $W = (2, 9)$.

Krok 3 - Postać kanoniczna. Funkcja w postaci kanonicznej:

$$f(x) = a(x - 2)^2 + 9$$

Krok 4 - Wyznaczenie parametru a. Korzystamy ze wzorów Viete'a. Z postaci ogólnej $f(x) = ax^2 + bx + c$ wiemy, że:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4$$

Rozwijamy postać kanoniczną:

$$f(x) = a(x^2 - 4x + 4) + 9 = ax^2 - 4ax + 4a + 9$$

Porównując: $b = -4a$, $c = 4a + 9$.

Sprawdzamy warunek $x_1 \cdot x_2 < 0$. Ze wzorów Viete'a:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{4a + 9}{a} = 4 + \frac{9}{a}$$

Potrzebujemy $x_1 \cdot x_2 < 0$:

$$4 + \frac{9}{a} < 0$$

Ponieważ $a < 0$, to $\frac{9}{a} < 0$, co daje $4 + \frac{9}{a} < 0$, czyli $\frac{9}{a} < -4$, zatem $a > -\frac{9}{4}$ (bo dzielimy przez liczbę ujemną, nierówność się odwraca).

Łącząc z $a < 0$: $-\frac{9}{4} < a < 0$.

Krok 5 - Znajdowanie miejsc zerowych. Dla konkretnego $a$ (z podanych w zadaniu odpowiedzi lub z dodatkowych warunków) miejsca zerowe obliczamy z:

$$a(x-2)^2 + 9 = 0$$ $$a(x-2)^2 = -9$$ $$(x-2)^2 = -\frac{9}{a}$$ $$x - 2 = \pm\sqrt{-\frac{9}{a}}$$ $$x = 2 \pm \sqrt{-\frac{9}{a}}$$

To potwierdza, że $x_1 + x_2 = 4$ (bo symetria względem $x = 2$).

To zadanie za 4 punkty wymagało połączenia kilku elementów: postaci kanonicznej, wzorów Viete'a, analizy znaku współczynnika kierunkowego i nierówności. Schemat oceniania CKE przyznaje punkty za: (1) ustalenie $a < 0$ i $x_w = 2$, (2) postać kanoniczną, (3) zastosowanie wzorów Viete'a, (4) sformułowanie odpowiedzi z warunkiem na $a$. Nawet bez pełnego rozwiązania - sam zapis postaci kanonicznej z wierzchołkiem $(2, 9)$ to 2 punkty.

Przeczytaj przewodnik po funkcji kwadratowej, żeby przećwiczyć zadania łączące postaci funkcji z wzorami Viete'a.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 34 - Stereometria, ostrosłup (otwarte, 4 pkt) ↗

Treść: W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej jest prostopadła do krawędzi podstawy...

Rozwiązanie:

Krok 1 - Rysunek i oznaczenia. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Oznaczmy:

Krok 2 - Zależności geometryczne. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości to środek ciężkości podstawy. Odległość środka ciężkości trójkąta równobocznego od boku (apotema podstawy) wynosi:

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

(to promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny)

Krok 3 - Trójkąt prostokątny. Wysokość ściany bocznej $h_b$, apotema podstawy $r$ i wysokość ostrosłupa $H$ tworzą trójkąt prostokątny:

$$h_b^2 = H^2 + r^2$$

albo równoważnie:

$$H^2 = h_b^2 - r^2$$

Krok 4 - Obliczenia. Podstawiamy dane z zadania i wyznaczamy szukane wielkości (krawędź boczną, objętość, kąt nachylenia). Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$$

Krawędź boczna $l$ (od wierzchołka do wierzchołka podstawy) wyznaczamy z drugiego trójkąta prostokątnego, gdzie:

$$l^2 = H^2 + R^2$$

gdzie $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ (promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym).

Schemat oceniania CKE (4 pkt): (1) prawidłowy rysunek z oznaczeniami - 1 punkt, (2) wyznaczenie zależności między wielkościami - 1 punkt, (3) obliczenia - 1 punkt, (4) odpowiedź z jednostkami - 1 punkt. Rysunek jest tu kluczowy - bez niego trudno poprawnie zidentyfikować trójkąty prostokątne.

Wskazówka: W każdym zadaniu ze stereometrią na maturze schemat jest taki sam: (1) narysuj bryłę, (2) zidentyfikuj trójkąt prostokątny, (3) użyj Pitagorasa lub trygonometrii. Ćwicz na zadaniach ze stereometrii i stronie z zadaniami.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z matury maj 2017 są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Cały arkusz do przejrzenia: Matura maj 2017 - wszystkie zadania

Kluczowe wnioski z matury 2017

Analiza tego arkusza daje kilka ważnych wskazówek:

1. Funkcja kwadratowa to król punktów - dwa zadania otwarte (za 4 i 5 punktów) dotyczą funkcji kwadratowej. Łącznie aż 9 punktów z jednej kategorii. Musisz biegle przechodzić między trzema postaciami (ogólna, kanoniczna, iloczynowa) i znać wzory Viete'a. Ćwicz funkcję kwadratową
2. Stereometria za dużo punktów - 3 zadania za 6 punktów, w tym jedno otwarte za 4 pkt. Klucz to umiejętność rysowania przekrojów i identyfikowania trójkątów prostokątnych w bryłach. Ćwicz stereometrię
3. Dowody podzielności to pewne 2 punkty - schemat "wyciągnij czynnik, oblicz resztę, rozłóż" działa co roku. Zad. 27 to idealny przykład. Przećwicz 4-5 takich zadań i będziesz gotowy
4. Ciągi - trzy zadania w jednym arkuszu - CKE lubi sprawdzać ciągi arytmetyczne i geometryczne. Warunek na trzy wyrazy ciągu geometrycznego ($b^2 = ac$) to must-know. Ćwicz ciągi
5. Prawdopodobieństwo rośnie w punktach - oprócz zadania zamkniętego za 1 pkt jest też otwarte za 3 pkt. To dowodzi, że prawdopodobieństwo to nie marginalny temat, a poważna część arkusza

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Oto konkretny plan pracy z tym arkuszem:

1. Rozwiąż cały arkusz na czas - daj sobie 170 minut, bez telefonu, z kartą wzorów CKE. Zapisuj rozwiązania na kartce, nie w głowie. To jedyny sposób na realistyczną symulację egzaminu
2. Sprawdź odpowiedzi i policz punkty - użyj naszych rozwiązań powyżej lub otwórz interaktywne rozwiązania na Sprawnej Maturze
3. Przeanalizuj błędy - nie chodzi o to, ile zdobyłeś punktów, ale GDZIE tracisz. Zapisz kategorie, w których się pomyliłeś
4. Powtórz słabe kategorie - jeśli nie dałeś rady z ciągami, przejdź przewodnik po ciągach. Jeśli padła stereometria - przewodnik po stereometrii. Nie ucz się wszystkiego naraz
5. Rozwiąż kolejny arkusz - najlepiej z sąsiedniego roku. Spróbuj matury z maja 2018 lub matury z maja 2016. Porównaj, w których kategoriach robisz postępy

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na Sprawnej Maturze - mamy 2438 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na losowe zadanie, żeby przetestować swoją gotowość, albo wypróbuj symulator matury, żeby przećwiczyć egzamin w warunkach zbliżonych do prawdziwego.