Matura maj 2017 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Rozwiązanie:

Klucz to rozpoznanie, że $16 = 2^4$. Zapisujemy:

Zatem:

Typowe zadanie na zamianę podstaw i działania na wykładnikach ujemnych. Najczęstszy błąd to zapomnienie, że $16 = 2^4$, a nie $16 = 4^2$ (co technicznie jest poprawne, ale nie prowadzi do prostej odpowiedzi). Kiedy w zadaniu widzisz dwie różne podstawy, zawsze szukaj sposobu na sprowadzenie ich do potęgi tej samej liczby lub zapisanie jako jednego ułamka. Więcej technik: potęgi i pierwiastki na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Wyciągamy dwójkę przed nawias i korzystamy z własności logarytmów:

Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu:

Teraz korzystamy z własności $n \cdot \log_a x = \log_a x^n$:

Trzy własności logarytmów, które musisz znać na pamięć: (1) $\log a + \log b = \log(ab)$, (2) $\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$, (3) $n \cdot \log a = \log a^n$. To zadanie testuje wszystkie trzy naraz. Przećwicz je na stronie z zadaniami z logarytmów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi skrajnych:

Dzielimy obie strony przez 24:

Warunek $b^2 = a \cdot c$ to absolutny must-know dla ciągów geometrycznych. Pojawia się na maturze praktycznie co roku. Warto też sprawdzić, czy iloraz ciągu jest stały: $q = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$, a potem $\frac{a-1}{6} = \frac{\frac{3}{2}}{6} = \frac{1}{4}$ - zgadza się. Przeczytaj przewodnik po ciągach na maturze, żeby przećwiczyć podobne zadania.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Skoro $AS$ jest promieniem podstawy, to $S$ jest środkiem podstawy, a $A$ leży na jej okręgu. Odcinek $OS$ to wysokość walca, więc leży na osi walca i jest prostopadły do podstawy. Mamy trójkąt prostokątny $OAS$, gdzie:

• •$AS = r$ (promień podstawy)
• •$OS = r$ (wysokość walca, bo $AS = OS$)
• •kąt prosty przy $S$ (wysokość jest prostopadła do podstawy)

Obliczamy przeciwprostokątną z twierdzenia Pitagorasa:

Sinus kąta $OAS$ to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko ($OS$) do przeciwprostokątnej ($OA$):

Zadania z bryłami obrotowymi na maturze zamkniętej najczęściej sprowadzają się do narysowania odpowiedniego przekroju i znalezienia trójkąta prostokątnego. Tu kluczowe było rozpoznanie, że $AS = OS$, co daje trójkąt prostokątny równoramienny - a sinus kąta w takim trójkącie to zawsze $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Warto znać typowe wartości sinusa: $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Więcej o trygonometrii w stereometrii na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Wszystkich wyników jest $|\Omega| = 24$.

Wypisujemy dzielniki liczby 24, szukając ich parami ($1 \cdot 24$, $2 \cdot 12$, $3 \cdot 8$, $4 \cdot 6$):

To 8 liczb, więc $|A| = 8$:

Dzielniki najwygodniej wypisywać parami, których iloczyn daje 24. Wtedy trudno pominąć któryś z nich, a łatwo zapomnieć o samych krańcach: 1 i 24 też są dzielnikami. Przećwicz zadania z prawdopodobieństwa.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Wyciągnij wspólny czynnik

   Najmniejsza potęga to $4^{2017}$, wyciągamy ją przed nawias:

   $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020} = 4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3)$
2. Krok 2

   Oblicz sumę w nawiasie:

   $1 + 4 + 16 + 64 = 85$
3. Krok 3

   Rozłóż na czynniki:

   $85 = 5 \cdot 17$

   Zatem:

   $4^{2017}(1 + 4 + 4^2 + 4^3) = 4^{2017} \cdot 85 = 4^{2017} \cdot 5 \cdot 17$

   Ponieważ wyrażenie jest iloczynem liczby całkowitej $4^{2017} \cdot 5$ i liczby 17, jest podzielne przez 17. $\square$

   Dlaczego to działa: Cały dowód opiera się na jednym pomyśle - wyciągnięciu wspólnego czynnika. Po wyciągnięciu $4^{2017}$ zostaje prosta suma $1 + 4 + 16 + 64 = 85$, która rozkłada się na $5 \cdot 17$. Gotowe.

   Schemat oceniania CKE (2 pkt): 1 punkt za wyciągnięcie wspólnego czynnika i obliczenie sumy $1 + 4 + 16 + 64 = 85$. Drugi punkt za rozłożenie 85 na czynniki i sformułowanie wniosku o podzielności przez 17. Nawet jeśli nie zapiszesz formalnego końca dowodu, pierwszy punkt za przekształcenie jest pewny.

   Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Kierunek ramion

   Funkcja ma wartość największą, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, a największa wartość to druga współrzędna wierzchołka: $q = 6$.

2. Krok 2

   Pierwsza współrzędna wierzchołka

   Punkty $(-6, \frac{3}{2})$ i $(0, \frac{3}{2})$ mają tę samą wartość, więc leżą symetrycznie względem osi paraboli. Oś przechodzi przez środek odcinka między nimi:

   $p = \frac{-6 + 0}{2} = -3$

   Wierzchołek to $W = (-3, 6)$.

3. Krok 3

   Postać kanoniczna

   $f(x) = a(x - p)^2 + q = a(x + 3)^2 + 6$
4. Krok 4

   Współczynnik $a$

   Podstawiamy punkt $(0, \frac{3}{2})$:

   $\frac{3}{2} = a(0 + 3)^2 + 6 \implies 9a = \frac{3}{2} - 6 = -\frac{9}{2} \implies a = -\frac{1}{2}$

   Wynik jest ujemny, co zgadza się z krokiem 1.

Kluczowa obserwacja: równe wartości $f(-6) = f(0)$ oznaczają, że oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między $-6$ i $0$. Bez tego trzeba by rozwiązywać układ trzech równań z niewiadomymi $a$, $b$, $c$. Przeczytaj przewodnik po funkcji kwadratowej, żeby przećwiczyć zadania z postacią kanoniczną.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Pole jednej ściany

   Ściany boczne są trzy i jednakowe:

   $P_{ś} = \frac{15\sqrt{3}}{4} : 3 = \frac{5\sqrt{3}}{4}$
2. Krok 2

   Krawędź podstawy

   Ściana to trójkąt o podstawie $a$ i wysokości $h = \frac{5\sqrt{3}}{4}$:

   $\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{5\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{4} \implies a = 2$
3. Krok 3

   Odległość spodka wysokości od krawędzi podstawy

   Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 2 i wysokości $\frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Spodek wysokości ostrosłupa to środek tego trójkąta, oddalony od boku o $\frac{1}{3}$ wysokości:

   $r = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
4. Krok 4

   Wysokość ostrosłupa

   Wysokość ostrosłupa $H$, odcinek $r$ i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny:

   $H^2 = \left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{75}{16} - \frac{1}{3} = \frac{225}{48} - \frac{16}{48} = \frac{209}{48}$$H = \frac{\sqrt{209}}{\sqrt{48}} = \frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}$
5. Krok 5

   Objętość

   Pole podstawy to $P_p = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$:

   $V = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{209}}{12}$

Wynik nie musi być „ładny”: $209 = 11 \cdot 19$, więc pierwiastka nie da się uprościć. Najczęstsza pułapka to wzięcie w kroku 3 odległości środka od wierzchołka ($\frac{2}{3}$ wysokości) zamiast od boku. Wysokość ściany bocznej opada na środek krawędzi podstawy, więc w trójkącie prostokątnym jest odcinek do boku, czyli $\frac{1}{3}$ wysokości. Ćwicz na zadaniach ze stereometrii i stronie z zadaniami.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze