Dany jest okrąg o środku S=(2,3) i promieniu r=5. Który z podanych punktów leży na tym okręgu?
Odpowiedzi do wyboru
- A.A=(-1,7)
- B.B=(2,-3)
- C.C=(3,2)
- D.D=(5,3)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
I sposób - wyznaczając równanie okręgu.
Krok 1. Wyznaczenie równania okręgu.
To zadanie najprościej jest rozwiązać wyznaczając sobie równanie okręgu, które tak naprawdę polega tylko na podstawieniu danych z treści zadania. Okrąg o środku S=(a;b) i promieniu r możemy opisać równaniem:
(x-a)²+(y-b)²=r²
Podstawiając współrzędne S=(2,3) i promień r=5 otrzymamy:
(x-2)²+(y-3)²=5² (x-2)²+(y-3)²=25
Krok 2. Sprawdzenie który z punktów leży na okręgu.
Jeśli punkt leży na okręgu to będzie spełniał to równanie, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą. Musimy więc podstawiać po kolei współrzędne i jak się za chwilę okaże już pierwsza odpowiedź będzie tą poszukiwaną. Podstawiając A=(-1;7) otrzymamy:
(-1-2)²+(7-3)²=25 (-3)²+4²=25 9+16=25 25=25 L=P
To oznacza, że punkt A leży na naszym okręgu i już dalej nie musimy sprawdzać kolejnych punktów.
II sposób - sprawdzając długości poszczególnych odcinków.
Gdybyśmy nie znali zagadnienia jakim jest równanie okręgu, to możemy jeszcze skorzystać ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych. Wyznaczylibyśmy wtedy po kolei długości odcinków SA, SB, SC oraz SD, a prawidłową odpowiedzią będzie ten punkt, który z punktem S stworzy odcinek o długości 5 (bo r=5).
|SA|=√((x_A-x_S)²+(y_A-y_S)²) |SA|=√((-1-2)²+(7-3)²) |SA|=√((-3)²+4²) |SA|=√(9+16) |SA|=√(25) |SA|=5
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.