Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 60
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-maj-2017-30.png]
Krok 2. Wypisanie danych i wykorzystanie ich w Twierdzeniu Pitagorasa.
Zgodnie z treścią zadania:
x - długość pierwszej przyprostokątnej (w cm)
x+14 - długość drugiej przyprostokątnej (w cm)
26 - długość przeciwprostokątnej (w cm)
Możemy zatem ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
x²+(x+14)²=26² x²+x²+28x+196=676 2x²+28x+196=676 2x²+28x-480=0 /:2 x²+14x-240=0
Ostatni krok z podzieleniem obu stron przez 2 nie jest konieczny, ale dzięki temu będziemy bazować na nieco mniejszych liczbach.
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: a=1, b=14, c=-240
Δ=b²-4ac=14²-4 · 1 · (-240)=196-(-960)=1156 √(Δ)=√(1156)=34
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-14-34)/(2 · 1)=-48/2=-24 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-14+34)/(2 · 1)=20/2=10
Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, dlatego zostaje nam jedynie x=10.
Krok 4. Obliczenie obwodu trójkąta.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami z kroku pierwszego, boki trójkąta mają długość 10, 24 oraz 26, zatem obwód tej figury jest równy:
Obw=10+24+26=60[cm]
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.