Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz |∢APC|=α i |∢ABC|=β (zobacz rysunek). Wykaż, że α=180° -2β.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Musimy dostrzec dwie bardzo ważne rzeczy.
Po pierwsze |∢CBR|=|∢BCR|, bo trójkąt CRB jest równoramienny (ramiona mają długość promienia okręgu).
Po drugie |∢PAB|=90° oraz |∢ABR|=90°, bo promienie okręgów poprowadzone do stycznej są do niej prostopadłe.
Spróbujmy więc nanieść na nasz rysunek te oznaczenia i jeszcze może dodatkowo zapiszmy, że |∢PCB|=δ (przyda nam się to w kolejnym kroku):
Krok 2. Wyznaczenie miar kątów γ oraz δ.
Skoro |∢ABR|=90°, to możemy napisać, że:
β+γ=90° γ=90°-β
Kąt δ wyznaczymy z własności kątów przyległych:
|∢PCB|+|∢BCR|=180° δ+γ=180°
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość γ=90°-β otrzymamy:
δ+90°-β=180° δ=90°+β
Krok 3. Wyznaczenie miary kąta α.
Patrzymy na czworokąt ABCP. Suma miar tego czworokąta musi być równa 360°, zatem:
90°+β+δ+α=360° 90°+β+(90°+β)+α=360° 180°+2β+α=360° α=180°-2β
Udało nam się wyznaczyć dokładnie taką samą wartość kąta α jak w treści zadania, więc dowód możemy uznać za skończony.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.