W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa 5√(3)/4, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe 15√(3)/4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=√(209)/12
Krok 1. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.
Wiemy, że wszystkie ściany boczne mają łączną powierzchnię równą 15√(3)/4. Skoro są trzy takie ściany, to każda z nich ma pole powierzchni równe:
P_(śb)=15√(3)/4:3=5√(3)/4
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy a.
W podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny. To oznacza, że każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie a oraz wysokości h=5√(3)/4 (wysokość jest podana w treści zadania). Skoro tak, to z pola trójkąta możemy wyznaczyć długość krawędzi a:
P_(śb)=1/2 a · h 5√(3)/4=1/2 a · 5√(3)/4 /:5√(3)/4 1=1/2 a a=2
Krok 3. Obliczenie długości odcinka DE.
Odcinek DE stanowi 1/3 długości wysokości trójkąta równobocznego (czyli odcinka DB) znajdującego się w podstawie. Ze wzorów na wysokość trójkąta równobocznego wiemy, że:
|DB|=a√(3)/2 |DB|=2√(3)/2 |DB|=√(3)
Skoro odcinek DE ma stanowić 1/3 długości odcinka DB, to:
|DE|=1/3 · √(3)=√(3)/3
Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DES:
|DE|²+|SE|²=|DS|² (√(3)/3)²+|SE|²=(5√(3)/4)² 3/9+|SE|²=25 · 3/16 1/3+|SE|²=75/16 16/48+|SE|²=225/48 |SE|²=225/48-16/48 |SE|²=209/48 |SE|=√(209/48)=√(209)/(4√(3))=√(209) · √(3)/(4√(3) · √(3))=√(627)/12
Krok 5. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie obliczymy według wzoru:
P_p=a²√(3)/4 P_p=2²√(3)/4 P_p=4√(3)/4 P_p=√(3)
Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Skoro P_p=√(3) oraz H=√(627)/12, to objętość ostrosłupa będzie równa:
V=1/3 P_p · H V=1/3√(3) · √(627)/12 V=1/3√(3) · √(209) · √(3)/12 V=1/3 · √(209) · 3/12 V=√(209)/12
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.