Dane są punkty A=(-4,0) i M=(2,9) oraz prosta k o równaniu y=-2x+10. Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostej k z osią Ox układu współrzędnych, a wierzchołek C jest punktem przecięcia prostej k z prostą AM. Oblicz pole trójkąta ABC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 243/7
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zróbmy sobie prosty szkic tej całej sytuacji i zaznaczmy w układzie współrzędnych dane z treści zadania:
Musimy wyznaczyć współrzędne punktu B (potrzebne będą do wyznaczenia długości podstawy) oraz współrzędne punktu C (potrzebne do wyznaczenia wysokości trójkąta).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu B.
Wyznaczenie współrzędnych tego punktu jest stosunkowo dość proste, bo jest to tak naprawdę miejsce zerowe prostej k (tak wynika z treści zadania). Można więc powiedzieć, że B=(x;0) zatem podstawiając te współrzędne do prostej o równaniu y=-2x+10 otrzymamy:
-2x+10=0 -2x=-10 x=5
To oznacza, że B=(5;0).
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty A oraz M.
Skoro znamy współrzędne obydwu tych punktów to możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej albo też zbudować prosty układ równań. Szybciej będzie chyba skorzystać ze wzoru:
(y-y_A)(x_M-x_A)-(y_M-y_A)(x-x_A)=0 (y-0)(2-(-4))-(9-0)(x-(-4))=0 (y-0)(2+4)-9 · (x+4)=0 (y-0) · 6-9 · (x+4)=0 6y-9x-36=0 6y=9x+36 /:6 y=3/2 x+6
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu C.
Stworzymy układ równań składających się z dwóch prostych, których miejscem przecięcia się są właśnie współrzędne punktu C.
y=-2x+10 y=3/2 x+6
Korzystając z metody podstawiania otrzymujemy:
-2x+10=3/2 x+6 / · 2 -4x+20=3x+12 -7x=-8 x=8/7
Współrzędną y obliczmy podstawiając wartość x=8/7 do jednego z równań:
y=-2 · 8/7+10 y=-16/7+10 y=-16/7+70/7 y=54/7
Mamy zatem: C=(8/7;54/7).
Krok 5. Obliczenie pola trójkąta.
Do obliczenia pola trójkąta potrzebujemy jeszcze poznać długości podstawy trójkąta i wysokości.
• Długość podstawy trójkąta: |AB|=5+4=9 (wynika to bezpośrednio z rysunku - pięć jednostek z punktu A do środka układu współrzędnych plus cztery jednostki ze środka układu współrzędnych do punktu B).
• Wysokość trójkąta to tak naprawdę współrzędna igrekowa punktu C, czyli H=54/7.
Pole trójkąta jest więc równe:
P=1/2 · |AB| · H P=1/2 · 9 · 54/7 P=1/2 · 486/7 P=243/7=34 5/7
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.