Z miejscowości A i B oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości B do miejscowości A jedzie ze średnią prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości A do miejscowości B wyjeżdża o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że rowerzysta jadący z miejscowości A przebył do tego miejsca 9/13 całej drogi z A do B. Z jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?

Oznaczmy prędkość rowerzysty jadącego z B do A przez v km/h.

Wtedy prędkość rowerzysty jadącego z A do B wynosi v + 7 km/h.

## Analiza drogi do miejsca spotkania

Rowerzysta z A przebył 9/13 całej drogi, czyli: s_A = 9/13 · 182 = 9 · 182/13 = 1638/13 = 126 km

Rowerzysta z B przebył pozostałą część drogi: s_B = 182 - 126 = 56 km

## Ustalenie czasów jazdy

Oznaczmy przez t czas (w godzinach), który jechał rowerzysta z B do momentu spotkania.

Rowerzysta z A wyjeżdża o 1 godzinę wcześniej, więc jechał t + 1 godzin.

## Układanie równań

Z zależności droga = prędkość · czas otrzymujemy:

Dla rowerzysty z A: 126 = (v + 7)(t + 1)

Dla rowerzysty z B: 56 = v · t

## Rozwiązanie układu równań

Z drugiego równania: t = 56/v

Podstawiamy do pierwszego równania: 126 = (v + 7)(56/v + 1)

126 = (v + 7) · (56 + v)/v

126v = (v + 7)(56 + v)

126v = 56v + v² + 392 + 7v

126v = v² + 63v + 392

0 = v² - 63v + 392

## Rozwiązanie równania kwadratowego

v² - 63v + 392 = 0

Δ= 63² - 4 · 1 · 392 = 3969 - 1568 = 2401 = 49²

v = (63 ± 49)/2

v₁ = (63 + 49)/2 = 112/2 = 56 km/h

v₂ = (63 - 49)/2 = 14/2 = 7 km/h

## Sprawdzenie warunku

Warunek z treści zadania: prędkość rowerzysty z B jest mniejsza od 25 km/h.

- Dla v = 56 km/h: warunek NIE jest spełniony (56 > 25) - Dla v = 7 km/h: warunek jest spełniony (7 < 25) ✓

## Weryfikacja rozwiązania

Dla v = 7 km/h: - Prędkość rowerzysty z B: v = 7 km/h - Prędkość rowerzysty z A: v + 7 = 14 km/h - Czas jazdy rowerzysty z B: t = 56/7 = 8 h - Czas jazdy rowerzysty z A: t + 1 = 9 h - Droga rowerzysty z A: 14 · 9 = 126 km ✓ - Droga rowerzysty z B: 7 · 8 = 56 km ✓

Odpowiedź: Rowerzysta jadący z miejscowości B jechał ze średnią prędkością 7 km/h, a rowerzysta jadący z miejscowości A jechał ze średnią prędkością 14 km/h.