Wykaż, że prawdziwa jest nierówność √(2⁵⁰ + 1) + √(2⁵⁰ - 1) < 2²⁶.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEOznaczymy a = 2⁵⁰ dla uproszczenia zapisu. Musimy wykazać, że: √(a + 1) + √(a - 1) < 2²⁶
Krok 1: Podniesienie obu stron do kwadratu
Podnosimy obie strony nierówności do kwadratu (obie są dodatnie): (√(a + 1) + √(a - 1))² < (2²⁶)²
Rozwijamy lewą stronę: (√(a + 1))² + 2√(a + 1) · √(a - 1) + (√(a - 1))² < 2⁵²
(a + 1) + 2√((a + 1)(a - 1)) + (a - 1) < 2⁵²
2a + 2√(a² - 1) < 2⁵²
Krok 2: Uproszczenie
Dzielimy obie strony przez 2: a + √(a² - 1) < 2⁵¹
Podstawiamy a = 2⁵⁰: 2⁵⁰ + √(2¹⁰⁰ - 1) < 2⁵¹
√(2¹⁰⁰ - 1) < 2⁵¹ - 2⁵⁰
√(2¹⁰⁰ - 1) < 2⁵⁰(2 - 1)
√(2¹⁰⁰ - 1) < 2⁵⁰
Krok 3: Ponowne podniesienie do kwadratu
Podnosimy obie strony do kwadratu: 2¹⁰⁰ - 1 < (2⁵⁰)²
2¹⁰⁰ - 1 < 2¹⁰⁰
-1 < 0
Krok 4: Wniosek
Otrzymaliśmy prawdziwą nierówność -1 < 0.
Ponieważ wszystkie nasze przekształcenia były równoważne (podnosiliśmy do kwadratu liczby dodatnie), wynika z tego, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa: √(2⁵⁰ + 1) + √(2⁵⁰ - 1) < 2²⁶
Co kończy dowód.
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.