Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD (punkty A, B, C, D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe. Udowodnij, że |∢APB| + |∢CRD| = 180°.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKE## Analiza sytuacji
Mamy dwa półokręgi współśrodkowe o środku O: - Wewnętrzny półokrąg o średnicy AB - Zewnętrzny półokrąg o średnicy CD - Punkty A, B, C, D, O leżą na jednej prostej - Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu - Punkt R leży na zewnętrznym półokręgu - Punkty O, P, R są współliniowe (leżą na promieniu)
## Krok 1: Kąt wpisany oparty na średnicy wewnętrznego okręgu
Punkt P leży na półokręgu o średnicy AB.
Z twierdzenia Talesa: kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym.
Zatem: ∢APB = 90°
## Krok 2: Kąt wpisany oparty na średnicy zewnętrznego okręgu
Punkt R leży na półokręgu o średnicy CD.
Analogicznie, z twierdzenia Talesa: ∢CRD = 90°
## Krok 3: Suma kątów
Obliczamy sumę: |∢APB| + |∢CRD| = 90° + 90° = 180°
## Uzasadnienie geometryczne
Kluczowe jest to, że: - Każdy kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) ma miarę 90° - Nie ma znaczenia, gdzie dokładnie leżą punkty P i R na swoich półokręgach - Współliniowość punktów O, P, R nie wpływa na miary kątów ∢APB i ∢CRD, ponieważ każdy z tych kątów jest wyznaczony tylko przez położenie wierzchołka na półokręgu i końce średnicy
## Wniosek
|∢APB| + |∢CRD| = 90° + 90° = 180°
co kończy dowód. ∎
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.