Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat ABCD. Punkt F jest środkiem krawędzi AD, odcinek EF jest wysokością ostrosłupa (patrz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, że |AE|=15, |BE|=17.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 64√(209)/3
Oznaczmy długość boku kwadratu jako a = |AD| = |AB|
Punkt F jest środkiem AD, więc |AF| = |FD| = a/2
Krok 1: Znajdźmy wysokość ostrosłupa
Ponieważ EF jest wysokością ostrosłupa, to EF ⊥ ABCD.
W trójkącie prostokątnym AEF (prostokątnym w F): |AE|² = |AF|² + |EF|² 15² = (a/2)² + h² 225 = a²/4 + h²
gdzie h = |EF| to wysokość ostrosłupa.
Krok 2: Wykorzystajmy drugi warunek z punktem B
Aby znaleźć |BF|, zauważmy, że F to środek AD, a B to wierzchołek kwadratu.
Współrzędne: niech A = (0, 0), D = (a, 0), B = (0, a), C = (a, a).
Wtedy F = (a/2, 0).
Odległość BF w podstawie: |BF|² = (a/2 - 0)² + (0 - a)² = a²/4 + a² = 5a²/4
W trójkącie prostokątnym BEF (prostokątnym w F): |BE|² = |BF|² + |EF|² 17² = 5a²/4 + h² 289 = 5a²/4 + h²
Krok 3: Rozwiążmy układ równań
Z pierwszego równania: h² = 225 - a²/4
Z drugiego równania: h² = 289 - 5a²/4
Przyrównując: 225 - a²/4 = 289 - 5a²/4 225 - 289 = -5a²/4 + a²/4 -64 = -4a²/4 -64 = -a² a² = 64 a = 8
Krok 4: Obliczmy wysokość
h² = 225 - 64/4 = 225 - 16 = 209 h = √(209)
Krok 5: Obliczmy objętość ostrosłupa
Pole podstawy (kwadratu): P_(podst) = a² = 64
Objętość ostrosłupa: V = 1/3 · P_(podst) · h = 1/3 · 64 · √(209) = 64√(209)/3
Odpowiedź: 64√(209)/3
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.