Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |BC| = 30, |AC| = 40, |AB| = 50. Punkt W jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AB w punkcie M. Oblicz długość odcinka CM.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 2√(145)
Dany trójkąt prostokątny ABC z bokami |BC| = 30, |AC| = 40, |AB| = 50. Okrąg wpisany jest styczny do boku AB w punkcie M. Obliczamy |CM|.
Krok 1: Promień okręgu wpisanego
Dla trójkąta prostokątnego z przyprostokątnymi a = 30, b = 40 i przeciwprostokątną c = 50: r = (a + b - c)/2 = (30 + 40 - 50)/2 = 10
Krok 2: Punkt styczności M na boku AB
Z własności stycznych do okręgu: odcinki stycznych z jednego punktu do okręgu mają równe długości.
Oznaczmy: - Okrąg styczny do BC w punkcie P, do AC w punkcie Q, do AB w punkcie M.
Z wierzchołka A: |AQ| = |AM| Z wierzchołka B: |BP| = |BM| Z wierzchołka C: |CP| = |CQ|
Wiemy, że: |AM| + |BM| = 50, |CP| + |BP| = 30, |CQ| + |AQ| = 40.
Ponieważ |CP| = |CQ| = x, |AM| = |AQ| = 40 - x, |BM| = |BP| = 30 - x.
Z warunku |AM| + |BM| = 50: (40 - x) + (30 - x) = 50 70 - 2x = 50 x = 10
Zatem: |AM| = 30, |BM| = 20.
Krok 3: Współrzędne punktów
Umieszczamy trójkąt w układzie współrzędnych. Z rysunku: kąt prosty przy C. - C = (0, 0) - B = (0, 30) - A = (40, 0)
Punkt M leży na AB tak, że |AM| = 30 i |BM| = 20.
M = B + 20/50(A - B) = (0, 30) + 2/5(40, -30) = (0 + 16, 30 - 12) = (16, 18)
Krok 4: Obliczenie |CM|
|CM| = √(16² + 18²) = √(256 + 324) = √(580) = 2√(145)
Odpowiedź: |CM| = 2√(145)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.