Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 10, a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a_n=2 lub a_n=3n-7
Oznacza się pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego przez a₁, a różnicę przez r.
## Warunek 1: Suma pierwszych pięciu wyrazów
Wzór na sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego: S_n = n(2a₁ + (n-1)r)/2
Dla n = 5: S₅ = 5(2a₁ + 4r)/2 = 5 · 2(a₁ + 2r)/2 = 5(a₁ + 2r) = 10
Stąd: a₁ + 2r = 2
## Warunek 2: Wyrazy tworzące ciąg geometryczny
W ciągu arytmetycznym: - a₃ = a₁ + 2r - a₅ = a₁ + 4r - a₁₃ = a₁ + 12r
Aby te wyrazy tworzyły ciąg geometryczny, musi zachodzić: a₅² = a₃ · a₁₃
Podstawia się: (a₁ + 4r)² = (a₁ + 2r)(a₁ + 12r)
Rozwija się lewą stronę: a₁² + 8a₁r + 16r²
Rozwija się prawą stronę: a₁² + 12a₁r + 2a₁r + 24r² = a₁² + 14a₁r + 24r²
Porównuje się: a₁² + 8a₁r + 16r² = a₁² + 14a₁r + 24r² 8a₁r + 16r² = 14a₁r + 24r² -6a₁r - 8r² = 0 -2r(3a₁ + 4r) = 0
Stąd: r = 0 lub 3a₁ + 4r = 0
## Przypadek 1: r = 0
Z warunku a₁ + 2r = 2: a₁ = 2
Wzór ogólny: a_n = 2
## Przypadek 2: 3a₁ + 4r = 0
Stąd: a₁ = -4r/3
Podstawia się do a₁ + 2r = 2: -4r/3 + 2r = 2 -4r/3 + 6r/3 = 2 2r/3 = 2 r = 3
Zatem: a₁ = -4 · 3/3 = -4
Wzór ogólny: a_n = a₁ + (n-1)r = -4 + (n-1) · 3 = -4 + 3n - 3 = 3n - 7
## Odpowiedź
a_n = 2 lub a_n = 3n - 7
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.