Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta równoramiennego ACS jest równe 120 oraz |AC| : |AS| = 10 : 13 . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 20√(313)
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Pole trójkąta ACS wynosi 120, a |AC| : |AS| = 10 : 13.
Krok 1: Wyznaczenie długości |AC| i |AS|
Niech |AC| = 10k i |AS| = 13k.
Trójkąt ACS jest równoramienny (|AS| = |CS| = 13k, bo ostrosłup jest prawidłowy).
Wyznaczamy wysokość trójkąta ACS z wierzchołka S na bok AC. Niech M będzie środkiem AC. Wtedy |AM| = 5k.
|SM| = √(|AS|² - |AM|²) = √(169k² - 25k²) = √(144k²) = 12k
Pole trójkąta ACS: P_(ACS) = 1/2 · |AC| · |SM| = 1/2 · 10k · 12k = 60k² = 120
Zatem k² = 2, czyli k = √(2).
|AC| = 10√(2), |AS| = 13√(2)
Krok 2: Bok kwadratu
Przekątna kwadratu |AC| = a√(2), więc: a√(2) = 10√(2) a = 10
Krok 3: Wysokość ściany bocznej (apotema)
Ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie a = 10 i ramieniu |AS| = 13√(2).
Apotema (wysokość ściany bocznej) - to odległość od wierzchołka S do środka boku podstawy. Niech N będzie środkiem boku AB. Środek kwadratu O jest środkiem przekątnej AC. Odległość od O do środka boku wynosi a/2 = 5.
Wysokość ostrosłupa: |SM| = 12k = 12√(2), ale M jest środkiem przekątnej, więc |SO| = |SM| = 12√(2) (bo M = O - środek przekątnej to środek kwadratu).
Zatem wysokość ostrosłupa h = |SO| = 12√(2).
Apotema h_b (od S do środka boku N): h_b = √(h² + |ON|²) = √((12√(2))² + 5²) = √(288 + 25) = √(313)
Krok 4: Pole powierzchni bocznej
Ostrosłup ma 4 ściany boczne, każda jest trójkątem o podstawie a = 10 i wysokości h_b = √(313):
P_b = 4 · 1/2 · 10 · √(313) = 20√(313)
Odpowiedź: P_b = 20√(313)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.