Kąt między cięciwą AB a styczną do okręgu w punkcie A ma miarę α=62° . Wówczas:
Odpowiedzi do wyboru
- A.β=118°
- B.β=124°
- C.β=138°
- D.β=152°
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Oznaczmy przez S punkt na stycznej do okręgu w punkcie A , tak że ∠SAB = 62° .
Krok 1: Twierdzenie o kącie między cięciwą a styczną
Kąt między cięciwą a styczną w punkcie A jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie, ale z przeciwnej strony.
Jeśli kąt między styczną a cięciwą AB wynosi α= 62° , to kąt wpisany ∠ACB (gdzie C jest punktem na okręgu po przeciwnej stronie cięciwy niż styczna) wynosi również 62° .
Krok 2: Określenie kąta β
Z kontekstu zadania wynika, że β to prawdopodobnie kąt wpisany po drugiej stronie cięciwy AB .
Punkty A , B dzielą okrąg na dwa łuki. Jeśli kąt wpisany z jednej strony (tam gdzie styczna) wynosi 62° , to jest oparty na krótszym łuku.
Krok 3: Wykorzystanie własności kątów wpisanych
Suma kątów wpisanych opartych na dopełniających się łukach wynosi 180° tylko gdy są oparte na łuku półokręgu.
Kąt środkowy odpowiadający łukowi, na którym oparty jest kąt 62° : kąt środkowy = 2 · 62° = 124°
Krok 4: Wyznaczenie β
Kąt β jest kątem wpisanym opartym na łuku dopełniającym do pełnego okręgu: kąt środkowy dla β= 360° - 124° = 236°
Jednak jeśli β jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy 124° , ale widziany z punktu po drugiej stronie cięciwy wewnątrz koła, to: β= (360° - 124°)/2 = 236°/2 = 118°
Ale jeśli β to bezpośrednio kąt środkowy odpowiadający kątowi 62° : β= 2 · 62° = 124°
Odpowiedź: B
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.