Punkt D leży na boku BC trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Odcinek AD dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że |AD| = |CD| oraz |AB| = |BD| (patrz rysunek). Udowodnij, że |∢ADC| = 5 · |∢ACD| .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEOznaczmy α= |∠ACD|
Będziemy wyrażać wszystkie kąty w funkcji α.
## Krok 1: Analiza trójkąta ACD
Trójkąt ACD jest równoramienny z |AD| = |CD|.
Zatem: |∠DAC| = |∠ACD| = α
Ze sumy kątów w trójkącie: |∠ADC| = 180° - α- α= 180° - 2α
## Krok 2: Analiza trójkąta ABD
Trójkąt ABD jest równoramienny z |AB| = |BD|.
Kąt |∠ADB| jest kątem przyległym do |∠ADC|, więc: |∠ADB| = 180° - |∠ADC| = 180° - (180° - 2α) = 2α
Ponieważ |AB| = |BD|, to: |∠BAD| = |∠ADB| = 2α
Ze sumy kątów w trójkącie ABD: |∠ABD| = 180° - 2α- 2α= 180° - 4α
## Krok 3: Analiza trójkąta ABC
Trójkąt ABC jest równoramienny z |AC| = |BC|.
Zatem: |∠CAB| = |∠CBA|
Mamy: |∠CAB| = |∠CAD| + |∠DAB| = α+ 2α= 3α
|∠CBA| = |∠ABD| = 180° - 4α
## Krok 4: Równanie z warunku równoramienności
Z warunku |∠CAB| = |∠CBA|: 3α= 180° - 4α
7α= 180°
α= 180°/7
## Krok 5: Weryfikacja tezy
Obliczamy |∠ADC|: |∠ADC| = 180° - 2α= 180° - 2 · 180°/7 = 180° - 360°/7 = (1260° - 360°)/7 = 900°/7
Sprawdzamy, czy |∠ADC| = 5 · |∠ACD|: 5 · |∠ACD| = 5α= 5 · 180°/7 = 900°/7
Rzeczywiście: |∠ADC| = 900°/7 = 5 · 180°/7 = 5 · |∠ACD|
|∠ADC| = 5 · |∠ACD|
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.