Udowodnij, że jeśli: a) x, y są liczbami rzeczywistymi, to x² + y² ≥ 2xy. b) x, y, z są liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 1, to x² + y² + z² ≥ 1/3.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKE## Część a)
Udowodnimy, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi x² + y² ≥ 2xy.
Dowód:
Przenosimy wszystko na jedną stronę: x² + y² - 2xy ≥ 0 (x - y)² ≥ 0
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x, y ∈ R.
## Część b)
Udowodnimy, że jeśli x + y + z = 1, to x² + y² + z² ≥ 1/3.
Dowód:
Z części a) wiemy, że dla dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a² + b² ≥ 2ab. Stosujemy tę nierówność trzykrotnie: x² + y² ≥ 2xy (1) y² + z² ≥ 2yz (2) x² + z² ≥ 2xz (3)
Dodajemy stronami: 2(x² + y² + z²) ≥ 2(xy + yz + xz) x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz (4)
Teraz korzystamy z warunku x + y + z = 1. Podnosimy do kwadratu: (x + y + z)² = 1 x² + y² + z² + 2(xy + yz + xz) = 1
Zatem: xy + yz + xz = (1 - (x² + y² + z²))/2
Podstawiamy do (4): x² + y² + z² ≥ (1 - (x² + y² + z²))/2
Oznaczmy S = x² + y² + z²: S ≥ (1 - S)/2 2S ≥ 1 - S 3S ≥ 1 S ≥ 1/3
Co kończy dowód.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.