Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f(x)=x²-6x+1 w przedziale ⟨0,1⟩.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: -4
Szukamy najmniejszej wartości funkcji f(x) = x² - 6x + 1 w przedziale ⟨0, 1⟩.
Krok 1: Znajdźmy wierzchołek paraboli
Funkcja jest postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a = 1, b = -6, c = 1.
Współrzędna x wierzchołka: p = -b/(2a) = --6/(2 · 1) = 6/2 = 3
Krok 2: Sprawdźmy, czy wierzchołek leży w przedziale
Wierzchołek jest w punkcie x = 3, a przedział to ⟨0, 1⟩.
Ponieważ 3 ∉ ⟨0, 1⟩, wierzchołek leży poza przedziałem.
Krok 3: Określmy monotoniczność funkcji
Ponieważ a = 1 > 0, parabola ma ramiona skierowane w górę.
Dla x < 3 funkcja jest malejąca, a dla x > 3 funkcja jest rosnąca.
Cały przedział ⟨0, 1⟩ leży na lewo od wierzchołka, więc funkcja jest malejąca w tym przedziale.
Krok 4: Wyznaczmy wartość najmniejszą
Skoro funkcja jest malejąca w ⟨0, 1⟩, to: - największą wartość przyjmuje dla x = 0 (lewy koniec) - najmniejszą wartość przyjmuje dla x = 1 (prawy koniec)
Obliczmy f(1): f(1) = 1² - 6 · 1 + 1 = 1 - 6 + 1 = -4
Odpowiedź: Najmniejsza wartość funkcji w przedziale ⟨0, 1⟩ wynosi -4.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.