Na zewnątrz trójkąta prostokątnego ABC, w którym |∢ACB| = 90 oraz |AC| = 5, |BC| = 12 zbudowano kwadrat ACDE (patrz rysunek). Punkt H leży na prostej AB i kąt |∢EHA| = 90°. Oblicz pole trójkąta HAE.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 750/169
Trójkąt prostokątny ABC z |∠ACB| = 90°, |AC| = 5, |BC| = 12. Na zewnątrz zbudowano kwadrat ACDE. Punkt H leży na prostej AB, |∠EHA| = 90°.
Krok 1: Układ współrzędnych
Z rysunku: A na osi Ox, kwadrat ACDE po lewej stronie. - A = (0, 0) - C = (0, 5) (AC pionowo, |AC| = 5) - B: kąt prosty przy C, |BC| = 12, więc B = (12, 5)
Kwadrat ACDE zbudowany na zewnątrz trójkąta na boku AC: - D = (-5, 5) - E = (-5, 0)
Krok 2: Prosta AB
Kierunek: AB = (12, 5) Równanie parametryczne: (x, y) = (0, 0) + t(12, 5) = (12t, 5t)
Równanie prostej: y = 5/12 x, czyli 5x - 12y = 0.
Krok 3: Punkt H na prostej AB taki, że ∠EHA = 90°
Punkt H leży na prostej AB: H = (12t, 5t).
Wektor HE = (-5 - 12t, -5t) Wektor HA = (-12t, -5t)
Warunek prostopadłości: HE · HA = 0 (-5 - 12t)(-12t) + (-5t)(-5t) = 0 60t + 144t² + 25t² = 0 169t² + 60t = 0 t(169t + 60) = 0
t = 0 daje H = A (odrzucamy). t = -60/169
H = (-720/169, -300/169)
Krok 4: Pole trójkąta HAE
A = (0, 0), E = (-5, 0), H = (-720/169, -300/169)
Podstawa AE leży na osi Ox: |AE| = 5
Wysokość: odległość H od osi Ox to |-300/169| = 300/169
P = 1/2 · 5 · 300/169 = 1500/338 = 750/169
Odpowiedź: 750/169
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.