Czworokąty ABCD i APQR są kwadratami. Udowodnij, że |BP| = |DR|.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEWprowadza się układ współrzędnych z początkiem w punkcie A.
## Ustalenie współrzędnych
Niech bok kwadratu ABCD ma długość a. Umieszczam punkty kwadratu ABCD: - A = (0, 0) - B = (a, 0) - C = (a, a) - D = (0, a)
## Współrzędne punktów kwadratu APQR
Kwadrat APQR ma wierzchołek A wspólny z kwadratem ABCD. Niech bok tego kwadratu ma długość b i niech kwadrat jest obrócony o kąt α względem osi OX.
Wtedy: - A = (0, 0) - P = (bcosα, bsinα) - Q = (bcosα- bsinα, bsinα+ bcosα) - R = (-bsinα, bcosα)
## Obliczenie długości |BP|
|BP|² = (bcosα- a)² + (bsinα- 0)²
|BP|² = b²cos²α- 2abcosα+ a² + b²sin²α
|BP|² = b²(cos²α+ sin²α) + a² - 2abcosα
|BP|² = a² + b² - 2abcosα
## Obliczenie długości |DR|
|DR|² = (-bsinα- 0)² + (bcosα- a)²
|DR|² = b²sin²α+ b²cos²α- 2abcosα+ a²
|DR|² = b²(sin²α+ cos²α) + a² - 2abcosα
|DR|² = a² + b² - 2abcosα
## Wniosek
Ponieważ |BP|² = |DR|² i obie długości są dodatnie, to:
|BP| = |DR|
co należało udowodnić.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.