Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba n(n²+3 n+2) jest podzielna przez 6.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Dowód w rozwiązaniu
Musimy wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 wyrażenie n(n²+3n+2) jest podzielne przez 6.
## Krok 1: Przekształcenie wyrażenia
Najpierw rozkładamy wyrażenie kwadratowe:
n² + 3n + 2 = (n+1)(n+2)
Możemy to sprawdzić: (n+1)(n+2) = n² + 2n + n + 2 = n² + 3n + 2 ✓
Zatem: n(n²+3n+2) = n(n+1)(n+2)
## Krok 2: Analiza iloczynu trzech kolejnych liczb naturalnych
Wyrażenie n(n+1)(n+2) to iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych.
### Podzielność przez 2:
Wśród dowolnych dwóch kolejnych liczb naturalnych przynajmniej jedna jest parzysta.
W naszym przypadku mamy trzy kolejne liczby, więc co najmniej jedna z nich jest parzysta.
Zatem n(n+1)(n+2) jest podzielne przez 2.
### Podzielność przez 3:
Każdą liczbę naturalną można zapisać w postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2 dla pewnego k ∈ N₀.
Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych n, n+1, n+2: - jedna daje resztę 0 przy dzieleniu przez 3 - jedna daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3 - jedna daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3
Zatem dokładnie jedna z tych liczb jest podzielna przez 3.
Stąd n(n+1)(n+2) jest podzielne przez 3.
## Krok 3: Wnioskowanie o podzielności przez 6
Ponieważ: - n(n+1)(n+2) 2 - n(n+1)(n+2) 3 - NWD(2,3) = 1
to na mocy własności podzielności:
n(n+1)(n+2) 6
## Wniosek
Udowodniliśmy, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba n(n²+3n+2) jest podzielna przez 6.
Liczby rzeczywiste: Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych, wartość bezwzględna, przedziały liczbowe i szacowanie wyników bez kalkulatora.