Równania dwukwadratowe - jak rozwiązać przez podstawienie t = x²

Równanie dwukwadratowe to równanie postaci $ax^4 + bx^2 + c = 0$, gdzie $a \neq 0$. Rozwiązujesz je podstawieniem $t = x^2$ z warunkiem $t \ge 0$: najpierw rozwiązujesz zwykłe równanie kwadratowe $at^2 + bt + c = 0$, odrzucasz pierwiastki ujemne, a potem dla każdego dopuszczalnego $t$ wracasz do równania $x^2 = t$ i wyznaczasz $x = \sqrt{t}$ oraz $x = -\sqrt{t}$.

Ta metoda działa nie tylko dla $x^4$. Wymagania CKE dla poziomu podstawowego (Formuła 2023) mówią wprost o równaniach dających się sprowadzić do równań kwadratowych, więc na egzaminie możesz dostać także równanie z $x^6$ i podstawieniem $t = x^3$ albo równanie z powtarzającym się wyrażeniem w nawiasie. W tym poście rozkładam całą metodę na kroki i przechodzę przez pięć rozwiązanych przykładów o rosnącej trudności.

Co to jest równanie dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe to równanie czwartego stopnia, w którym niewiadoma występuje tylko w potęgach parzystych: $ax^4 + bx^2 + c = 0$ przy $a \neq 0$. Nazwa bierze się stąd, że po podstawieniu $t = x^2$ dostajesz "kwadratowe w kwadratowym": równanie $at^2 + bt + c = 0$, które rozwiązujesz standardowo, licząc deltę.

Kluczowa obserwacja: $x^4 = (x^2)^2$. Dzięki temu każde wystąpienie $x^4$ zamieniasz na $t^2$, a każde $x^2$ na $t$. Nie ma tu żadnej nowej teorii, tylko sprytne przepakowanie równania czwartego stopnia w znane ci równanie kwadratowe.

Jedno zastrzeżenie, które ratuje punkty: skoro $t = x^2$, a kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, to interesują cię wyłącznie rozwiązania $t \ge 0$. Ujemne $t$ odrzucasz, zanim wrócisz do $x$.

Jak rozwiązać równanie dwukwadratowe krok po kroku

Cała metoda to cztery ruchy: podstawienie, delta, selekcja pierwiastków, powrót do $x$. Zapisz ją sobie jako stały algorytm, bo w każdym zadaniu wygląda identycznie.

Krok 1: podstaw $t = x^2$ i zapisz warunek $t \ge 0$. Równanie $ax^4 + bx^2 + c = 0$ przechodzi w $at^2 + bt + c = 0$.

Krok 2: rozwiąż równanie kwadratowe względem $t$. Policz deltę i pierwiastki $t_1$, $t_2$ ze wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

Krok 3: odrzuć rozwiązania sprzeczne z warunkiem. Zostają tylko te $t$, które są nieujemne.

Krok 4: wróć do niewiadomej $x$. Dla każdego $t > 0$ równanie $x^2 = t$ daje dwa rozwiązania $x = \sqrt{t}$ i $x = -\sqrt{t}$, a dla $t = 0$ jedno rozwiązanie $x = 0$.

Na koniec warto zrobić szybkie sprawdzenie: podstaw jedno z otrzymanych $x$ do wyjściowego równania i zobacz, czy wychodzi zero.

Rozwiązane przykłady krok po kroku

Zadanie 1: klasyk z czterema rozwiązaniami

Rozwiąż równanie $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Krok 1: podstaw $t = x^2$, $t \ge 0$. Otrzymujesz $t^2 - 5t + 4 = 0$.

Krok 2: policz deltę i pierwiastki. $\Delta = 25 - 16 = 9$, $\sqrt{\Delta} = 3$, więc $t_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$, $t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.

Krok 3: sprawdź warunek. Oba pierwiastki są dodatnie, więc oba zostają.

Krok 4: wróć do $x$. Z $x^2 = 1$ masz $x = 1$ lub $x = -1$, a z $x^2 = 4$ masz $x = 2$ lub $x = -2$. Rozwiązania: $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.

Zadanie 2: jeden pierwiastek trzeba odrzucić

Rozwiąż równanie $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   podstaw $t = x^2$, $t \ge 0$

   Otrzymujesz $t^2 + 3t - 4 = 0$.

2. Krok 2

   policz deltę i pierwiastki

   $\Delta = 9 + 16 = 25$, $\sqrt{\Delta} = 5$, więc $t_1 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$, $t_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$.

3. Krok 3

   odrzuć ujemne $t$

   Pierwiastek $t_1 = -4$ odpada, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. Zostaje $t = 1$.

4. Krok 4

   wróć do $x$

   Z $x^2 = 1$ dostajesz $x = 1$ lub $x = -1$. Równanie czwartego stopnia ma tu tylko dwa rozwiązania.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 3: pierwiastki niewymierne

Rozwiąż równanie $x^4 - 6x^2 + 8 = 0$.

Krok 1: podstaw $t = x^2$, $t \ge 0$. Otrzymujesz $t^2 - 6t + 8 = 0$.

Krok 2: policz deltę i pierwiastki. $\Delta = 36 - 32 = 4$, $\sqrt{\Delta} = 2$, więc $t_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2$, $t_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$.

Krok 3: sprawdź warunek. Oba pierwiastki dodatnie, oba zostają.

Krok 4: wróć do $x$. Z $x^2 = 2$ masz $x = \sqrt{2}$ lub $x = -\sqrt{2}$, a z $x^2 = 4$ masz $x = 2$ lub $x = -2$. Rozwiązania: $x \in \{-2, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2\}$. Nie zaokrąglaj $\sqrt{2}$: na maturze zostawiasz wynik dokładny.

Zadanie 4: podstawienie t równe x do potęgi trzeciej

Rozwiąż równanie $x^6 - 9x^3 + 8 = 0$.

Krok 1: dobierz podstawienie do struktury równania. Skoro $x^6 = (x^3)^2$, podstawiasz $t = x^3$. Uwaga: tym razem BEZ warunku $t \ge 0$, bo sześcian może być ujemny. Otrzymujesz $t^2 - 9t + 8 = 0$.

Krok 2: policz deltę i pierwiastki. $\Delta = 81 - 32 = 49$, $\sqrt{\Delta} = 7$, więc $t_1 = \frac{9 - 7}{2} = 1$, $t_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8$.

Krok 3: wróć do $x$ przez pierwiastek trzeciego stopnia. Z $x^3 = 1$ masz $x = 1$, a z $x^3 = 8$ masz $x = 2$. Równanie $x^3 = t$ ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste, bez żadnego plus minus.

Krok 4: zapisz odpowiedź. $x \in \{1, 2\}$.

Zadanie 5: brak wyrazu wolnego i pułapka dzielenia

Rozwiąż równanie $x^4 = 4x^2$.

Krok 1: przenieś wszystko na jedną stronę. $x^4 - 4x^2 = 0$. Nie dziel obu stron przez $x^2$: dzieląc, zgubisz rozwiązanie $x = 0$.

Krok 2: wyłącz wspólny czynnik przed nawias. $x^2(x^2 - 4) = 0$. To ten sam manewr co przy rozkładaniu wielomianu na czynniki.

Krok 3: skorzystaj z własności iloczynu. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: $x^2 = 0$ lub $x^2 - 4 = 0$.

Krok 4: zapisz wszystkie rozwiązania. Z $x^2 = 0$ masz $x = 0$, a z $x^2 = 4$ masz $x = 2$ lub $x = -2$. Rozwiązania: $x \in \{-2, 0, 2\}$.

Ile rozwiązań ma równanie dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe może mieć 0, 1, 2, 3 albo 4 rozwiązania rzeczywiste. Liczba rozwiązań zależy od tego, ile nieujemnych pierwiastków ma równanie kwadratowe w $t$: każde $t > 0$ daje dwa rozwiązania $x$, pierwiastek $t = 0$ daje jedno rozwiązanie $x = 0$, a każde $t < 0$ nie daje żadnego.

Przykładowo: dwa dodatnie $t$ to cztery rozwiązania (Zadanie 1), jedno dodatnie i jedno ujemne $t$ to dwa rozwiązania (Zadanie 2), a gdy oba $t$ są ujemne albo delta jest ujemna, równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, jak w $x^4 + 3x^2 + 2 = 0$, gdzie $t_1 = -1$ i $t_2 = -2$ oba odpadają. Taka analiza liczby rozwiązań to częsty motyw zadań z parametrem, podobny do dyskusji przy funkcji kwadratowej z parametrem.

Typowe pułapki

• •Brak warunku $t \ge 0$ i branie ujemnych $t$. Z $x^2 = -4$ nie ma rozwiązań rzeczywistych. Jeśli w Zadaniu 2 weźmiesz $t = -4$, doklejasz do odpowiedzi nieistniejące pierwiastki.
• •Zgubione minus przy powrocie do $x$. Równanie $x^2 = 9$ ma dwa rozwiązania: $3$ i $-3$. Zapisanie tylko $x = 3$ to strata połowy odpowiedzi i punktów za zadanie.
• •Dzielenie równania przez $x^2$. W równaniu $x^4 = 4x^2$ dzielenie przez $x^2$ gubi rozwiązanie $x = 0$. Zamiast dzielić, przenieś na jedną stronę i wyłącz $x^2$ przed nawias.
• •Mylenie $t$ z ostateczną odpowiedzią. Wynik $t = 4$ to nie koniec zadania. Odpowiedzią są wartości $x$, więc zawsze wykonaj powrót $x^2 = t$.
• •Automatyczne plus minus przy podstawieniu sześciennym. Dla $t = x^3$ równanie $x^3 = 8$ ma jedno rozwiązanie $x = 2$. Plus minus dotyczy tylko potęg parzystych.

Checklista: co musisz umieć

Metoda podstawienia to jedno z narzędzi w większym temacie równań. Całościową powtórkę zrobisz z przewodnikiem po równaniach i nierównościach na maturze, a wzory Viete'a, które przyspieszają szukanie pierwiastków $t$, znajdziesz w poście o wzorach Viete'a i ich zastosowaniach. Gotowy na trening? Przerób zadania CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami albo zacznij od pojedynczego zadania z równań z arkusza CKE.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie