Dany jest trójkąt ABC o bokach długości: |AB| = 4, |BC| = 5, |AC| = 6. Na tym trójkącie opisano okrąg o środku w punkcie S i promieniu R. Oblicz promień R okręgu opisanego na trójkącie ABC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: R=8√(7)/7
Szukamy promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach a = 5, b = 6, c = 4.
## Krok 1: Obliczamy pole trójkąta ze wzoru Herona
半obwód trójkąta: p = (a + b + c)/2 = (5 + 6 + 4)/2 = 15/2
Wzór Herona: P = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
Obliczamy kolejne czynniki: p - a = 15/2 - 5 = 5/2
p - b = 15/2 - 6 = 3/2
p - c = 15/2 - 4 = 7/2
Podstawiamy: P = √(15/2 · 5/2 · 3/2 · 7/2) = √(15 · 5 · 3 · 7/16)
P = √(1575/16) = √(1575)/4
Upraszczamy √(1575): 1575 = 25 · 63 = 25 · 9 · 7 = 225 · 7
√(1575) = √(225 · 7) = 15√(7)
Zatem: P = 15√(7)/4
## Krok 2: Stosujemy wzór na promień okręgu opisanego
Wzór wiążący promień okręgu opisanego z bokami i polem: R = abc/(4P)
Podstawiamy: R = 5 · 6 · 4/(4 · 15√(7)/4) = 120/(15√(7)) = 8/√(7)
Wymierniamy mianownik: R = 8/√(7) · √(7)/√(7) = 8√(7)/7
Odpowiedź: R = 8√(7)/7
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.