Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y), dane są okrąg O o środku w punkcie S = (3, -4) i prosta k o równaniu 2x - y - 11 = 0. Okrąg O jest styczny do prostej k w punkcie P. Oblicz współrzędne punktu P, w którym okrąg O jest styczny do prostej k.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=(17/5, -21/5)
## Wyznaczenie punktu styczności
Punkt styczności P leży na prostej prostopadłej do k przechodzącej przez środek okręgu S = (3, -4).
Wektor normalny prostej k: 2x - y - 11 = 0 to n = (2, -1).
Punkt P leży na prostej S + t · n: P = (3 + 2t, -4 - t)
## Warunek: P leży na prostej k
Podstawiamy współrzędne P do równania prostej k: 2(3 + 2t) - (-4 - t) - 11 = 0
6 + 4t + 4 + t - 11 = 0
5t - 1 = 0
t = 1/5
## Obliczenie współrzędnych P
P = (3 + 2 · 1/5, -4 - 1/5) = (3 + 2/5, -4 - 1/5) = (17/5, -21/5)
Odpowiedź: P = (17/5, -21/5)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.