Wierzchołki trójkąta ABC leżą na paraboli, która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe 8, punkt C=(1,4) jest wierzchołkiem paraboli, a punkty A i B leżą na osi Ox. Wyznacz wzór funkcji f.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: f(x)=-(x-1)²+4
Skoro C = (1, 4) jest wierzchołkiem paraboli, funkcję możemy zapisać w postaci kanonicznej:
f(x) = a(x - 1)² + 4
gdzie a ≠ 0 to współczynnik, który musimy wyznaczyć.
## Analiza położenia punktów A i B
Punkty A i B leżą na osi Ox, więc są miejscami zerowymi funkcji f. Rozwiązujemy równanie:
a(x - 1)² + 4 = 0
(x - 1)² = -4/a
Aby równanie miało dwa różne rozwiązania rzeczywiste, musi być -4/a > 0, czyli a < 0.
Rozwiązania: x - 1 = ± √(-4/a) = ± 2/√(-a)
x = 1 ± 2/√(-a)
Zatem punkty A i B to: A = (1 - 2/√(-a), 0), B = (1 + 2/√(-a), 0)
## Obliczenie długości podstawy trójkąta
Długość odcinka AB:
|AB| = (1 + 2/√(-a)) - (1 - 2/√(-a)) = 4/√(-a)
## Obliczenie pola trójkąta
Trójkąt ABC ma podstawę AB leżącą na osi Ox i wysokość równą rzędnej punktu C, czyli h = 4.
Pole trójkąta: P = 1/2 · |AB| · h = 1/2 · 4/√(-a) · 4 = 8/√(-a)
## Wyznaczenie współczynnika a
Z warunku P = 8:
8/√(-a) = 8
1/√(-a) = 1
√(-a) = 1
-a = 1
a = -1
## Odpowiedź
Wzór funkcji to:
f(x) = -(x - 1)² + 4
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.