Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=ax²+4x+1. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej funkcji, leży na prostej o równaniu y=-5. Oblicz współrzędne tego wierzchołka.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (-3,-5)
Szukamy współrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x) = ax² + 4x + 1.
## Krok 1: Przypomnienie wzorów na współrzędne wierzchołka
Dla funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c współrzędne wierzchołka W = (p, q) dane są wzorami:
p = -b/(2a)
q = -Δ/(4a) gdzie Δ= b² - 4ac
## Krok 2: Identyfikacja współczynników
W naszej funkcji: - a = a (niewiadoma) - b = 4 - c = 1
## Krok 3: Wykorzystanie warunku o prostej y = -5
Wiemy, że wierzchołek leży na prostej y = -5, więc q = -5.
Obliczamy wyróżnik:
Δ= b² - 4ac = 4² - 4 · a · 1 = 16 - 4a
Zatem:
q = -Δ/(4a) = -(16-4a)/(4a) = -5
## Krok 4: Rozwiązanie równania
-(16-4a)/(4a) = -5
(16-4a)/(4a) = 5
16 - 4a = 20a
16 = 24a
a = 16/24 = 2/3
## Krok 5: Obliczenie współrzędnej p
p = -b/(2a) = -4/(2 · 2/3) = -4/(4/3) = -4 · 3/4 = -3
## Krok 6: Sprawdzenie
Dla a = 2/3:
Δ= 16 - 4 · 2/3 = 16 - 8/3 = 40/3
q = -40/3/(4 · 2/3) = -40/3/(8/3) = -40/8 = -5 ✓
Odpowiedź: Współrzędne wierzchołka to W = (-3, -5)
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.