Różnica największej i najmniejszej wartości, jakie funkcja kwadratowa f(x)=-1/2 x²-2x+6 przyjmuje w przedziale ⟨-3,k⟩ dla k > 0 jest równa 4 1/2. Oblicz k.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: k=1
Wyznacza się wartość k, analizując wartości funkcji w przedziale ⟨-3,k⟩.
## Krok 1: Wyznaczenie wierzchołka paraboli
Funkcja f(x)=-1/2 x²-2x+6 ma współczynnik a=-1/2<0, więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
Współrzędna x wierzchołka: x_w = -b/(2a) = --2/(2 · (-1/2)) = --2/-1 = -2
Wartość w wierzchołku: f(-2) = -1/2 · (-2)² - 2 · (-2) + 6 = -1/2 · 4 + 4 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8
Wierzchołek: W=(-2, 8)
## Krok 2: Analiza przedziału ⟨-3,k⟩
Ponieważ k>0 i wierzchołek jest w x_w=-2, a -3 < -2 < 0 < k, więc wierzchołek leży wewnątrz przedziału ⟨-3,k⟩.
Dla paraboli z ramionami w dół: - Największa wartość = wartość w wierzchołku = f(-2) = 8 - Najmniejsza wartość = mniejsza z wartości na końcach przedziału: f(-3) lub f(k)
## Krok 3: Obliczenie wartości na końcach
Wartość w lewym końcu: f(-3) = -1/2 · (-3)² - 2 · (-3) + 6 = -1/2 · 9 + 6 + 6 = -4,5 + 12 = 7,5
Wartość w prawym końcu (ogólnie): f(k) = -1/2 k² - 2k + 6
## Krok 4: Określenie, który koniec daje minimum
Ponieważ f(-3) = 7,5 i różnica ma wynosić 4,5 = 9/2:
Jeśli minimum jest w x=-3: 8 - 7,5 = 0,5 ≠ 4,5 To nie pasuje.
Zatem minimum musi być w x=k: 8 - f(k) = 4,5 f(k) = 8 - 4,5 = 3,5
## Krok 5: Rozwiązanie równania
-1/2 k² - 2k + 6 = 3,5
-1/2 k² - 2k + 6 - 3,5 = 0
-1/2 k² - 2k + 2,5 = 0
Mnoży się przez (-2): k² + 4k - 5 = 0
Rozwiązuje się równanie kwadratowe: Δ= 16 + 20 = 36
k = (-4 ± 6)/2
k₁ = (-4 + 6)/2 = 1 lub k₂ = (-4 - 6)/2 = -5
Ponieważ k > 0, więc k = 1.
## Weryfikacja
Sprawdza się: f(1) = -1/2 · 1 - 2 · 1 + 6 = -1/2 - 2 + 6 = 3,5 ✓
Różnica: 8 - 3,5 = 4,5 ✓
Odpowiedź: k = 1
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.