Największa wartość funkcji kwadratowej f(x)=a(x-2)²-4, gdzie a ≠ 0, w przedziale domkniętym ⟨-4,-2⟩ jest równa 12. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f w przedziale ⟨-4,-2⟩.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 28/9
Punktem wyjścia jest analiza postaci funkcji i jej własności.
# Analiza funkcji
Funkcja f(x) = a(x-2)² - 4
jest w postaci kanonicznej z wierzchołkiem w punkcie W = (2, -4).
Rozważmy dwa przypadki:
## Przypadek 1: a > 0
Parabola ma ramiona skierowane do góry, więc: - wartość największa w przedziale ⟨-4, -2⟩ jest w punkcie najbardziej oddalonym od wierzchołka - wartość najmniejsza jest w punkcie najbliższym wierzchołkowi
Wierzchołek jest w x = 2, a przedział to ⟨-4, -2⟩.
Odległości od wierzchołka: - |(-4) - 2| = 6 - |(-2) - 2| = 4
Największa wartość: f(-4) = a(-4-2)² - 4 = 36a - 4 = 12
36a - 4 = 12 36a = 16 a = 16/36 = 4/9
Najmniejsza wartość: f(-2) = 4/9(-2-2)² - 4 = 4/9 · 16 - 4
f(-2) = 64/9 - 4 = 64/9 - 36/9 = 28/9
## Przypadek 2: a < 0
Parabola ma ramiona skierowane do dołu, więc: - wartość największa w przedziale ⟨-4, -2⟩ jest w punkcie najbliższym wierzchołkowi
Największa wartość: f(-2) = a(-2-2)² - 4 = 16a - 4 = 12
16a - 4 = 12 16a = 16 a = 1
To jest sprzeczność, bo zakładaliśmy a < 0, a otrzymaliśmy a = 1 > 0.
## Wniosek
Jedyne rozwiązanie: a = 4/9
Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale ⟨-4, -2⟩ wynosi:
f(-2) = 28/9
Odpowiedź: 28/9
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.